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Résistance des matériaux

Contraintes, déformations, loi de Hooke, coefficient de sécurité

🏭 Application industrielle : La RdM est indispensable pour dimensionner les pièces mécaniques : poutres, arbres de transmission, câbles, boulons. Elle garantit que les structures résistent aux efforts sans se rompre.
La Résistance des Matériaux (RdM) étudie comment les solides se déforment et résistent sous l'action de forces.

Quand on applique un effort de traction FF sur une barre de section SS, la matière subit une contrainte : σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S} (en Pa).
Elle se déforme d'une quantité relative : ε=ΔLL0\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0} (sans unité).

Dans le domaine élastique, contrainte et déformation sont proportionnelles : c'est la loi de Hooke σ=E×ε\sigma = E \times \varepsilon, où EE est le module de Young.

Valeurs typiques de EE : acier ≈210\approx 210 GPa, aluminium ≈70\approx 70 GPa, cuivre ≈120\approx 120 GPa, bois ≈10\approx 10-1515 GPa.

Pour garantir la sécurité, on vérifie : σmax⁡≤σes\sigma_{\max} \leq \dfrac{\sigma_e}{s} où σe\sigma_e est la limite élastique et ss le coefficient de sécurité (s=2s = 2 à 55 selon les applications).

📖 Vocabulaire clé

Contrainte (σ\sigma) : Force par unité de surface : σ=F/S\sigma = F/S. Unité : pascal (Pa). En traction σ>0\sigma > 0, en compression σ<0\sigma < 0.
Déformation (ε\varepsilon) : Allongement relatif : ε=ΔL/L0\varepsilon = \Delta L / L_0. Sans unité (souvent en 10−410^{-4} ou en %). Toujours très petit dans le domaine élastique.
Module de Young (EE) : Constante de rigidité du matériau : σ=Eε\sigma = E \varepsilon. Unité : Pa (ou GPa). Plus EE est grand, plus le matériau est rigide.
Coefficient de sécurité (ss) : Rapport s=σe/σmax⁡s = \sigma_e / \sigma_{\max}. Doit être ≥1\geq 1 pour éviter la rupture. Valeurs courantes : s=2s = 2 (acier), s=3s = 3-55 (béton, bois, applications critiques).

📋 Vérifier la résistance d'une pièce en traction

  1. 1 Type de sollicitation : Étape 1 — Identifier la sollicitation : traction, compression, flexion, cisaillement ou torsion ? En Première, on se concentre sur la traction-compression (effort normal).
  2. 2 Calcul de la contrainte : Étape 2 — Calculer la contrainte : σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S} avec FF en N et SS en m². Attention : 11 mm² =10−6= 10^{-6} m². C'est l'erreur de conversion la plus fréquente !
  3. 3 Calcul de la déformation : Étape 3 — Calculer la déformation (si demandée) : ε=σE\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} puis ΔL=ε×L0\Delta L = \varepsilon \times L_0. Ou directement : ΔL=F×L0E×S\Delta L = \dfrac{F \times L_0}{E \times S}.
  4. 4 Vérification de sécurité : Étape 4 — Vérifier la sécurité : s=σeσmax⁡s = \dfrac{\sigma_e}{\sigma_{\max}}. Si s≥srequiss \geq s_{\text{requis}} → pièce correctement dimensionnée. Sinon, augmenter la section SS.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un câble en acier (E=210E = 210 GPa, σe=400\sigma_e = 400 MPa) de section S=50S = 50 mm² et longueur L0=2L_0 = 2 m supporte une charge de F=10 000F = 10\,000 N. Calculer σ\sigma, ε\varepsilon, ΔL\Delta L et le coefficient de sécurité.
Démarche :
  1. Contrainte : σ=FS=10 00050×10−6=200×106\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{10\,000}{50 \times 10^{-6}} = 200 \times 10^6 Pa =200= 200 MPa.
  2. Déformation : ε=σE=200×106210×109≈9,52×10−4\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{200 \times 10^6}{210 \times 10^9} \approx 9{,}52 \times 10^{-4}.
  3. Allongement : ΔL=ε×L0=9,52×10−4×2≈1,90\Delta L = \varepsilon \times L_0 = 9{,}52 \times 10^{-4} \times 2 \approx 1{,}90 mm.
  4. Coefficient de sécurité : s=σeσmax⁡=400200=2s = \dfrac{\sigma_e}{\sigma_{\max}} = \dfrac{400}{200} = 2.
Réponse : σ=200\sigma = 200 MPa, ε≈9,5×10−4\varepsilon \approx 9{,}5 \times 10^{-4}, ΔL≈1,9\Delta L \approx 1{,}9 mm, s=2s = 2.

📏 Relations fondamentales

σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S} (contrainte en Pa)
ε=ΔLL0\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0} (déformation relative)
σ=E×ε\sigma = E \times \varepsilon (loi de Hooke, domaine élastique)
s=σeσmax⁡s = \dfrac{\sigma_e}{\sigma_{\max}} (coefficient de sécurité)
ΔL=F×L0E×S\Delta L = \dfrac{F \times L_0}{E \times S} (allongement en traction)

🎨 Illustration

Loi de Hooke — exemple du cours
Contrainte-déformation σ=f(ε)\sigma = f(\varepsilon) : acier vs aluminium (E≈210E \approx 210 GPa et 7070 GPa)

Reconstruction chiffrée à partir des valeurs du cours : deux droites partant de l'origine, la pente de chacune étant le module de Young EE du matériau (loi de Hooke σ=E×ε\sigma = E \times \varepsilon).

Courbe contrainte-deformation de deux materiaux Deux droites partant de l'origine dans le repere contrainte sigma (MPa) - deformation epsilon (x10-3) : la droite de l'acier (module de Young E=210 GPa) a une pente trois fois plus raide que celle de l'aluminium (E=70 GPa). A epsilon=2x10-3, l'acier atteint sigma=420 MPa et l'aluminium sigma=140 MPa. σ (MPa) Acier — E ≈ 210 GPa Alu — E ≈ 70 GPa 0 0,5 1 1,5 2 ε (×10⁻³) 0 100 200 300 400 420 140
  • 1 Pour une même déformation ε=2×10−3\varepsilon = 2 \times 10^{-3}, l'acier atteint σ=210×109×2×10−3=420×106\sigma = 210 \times 10^9 \times 2\times10^{-3} = 420 \times 10^6 Pa =420= 420 MPa, soit trois fois la contrainte de l'aluminium (σ=70×109×2×10−3=140\sigma = 70 \times 10^9 \times 2\times10^{-3} = 140 MPa).
  • 2 Ce facteur 33 entre les deux pentes correspond exactement au rapport des modules de Young : EacierEalu=21070=3\dfrac{E_{acier}}{E_{alu}} = \dfrac{210}{70} = 3.
  • 3 Plus la pente σ/ε\sigma/\varepsilon est grande, plus le matériau est rigide : à contrainte égale, l'acier se déforme donc trois fois moins que l'aluminium — cohérent avec le quiz du cours (l'aluminium s'allonge davantage sous la même charge).
Ce qu'il faut lire : Compare les pentes plutôt que les valeurs isolées : la droite la plus raide correspond toujours au matériau le plus rigide (le plus grand EE).
Droites σ=Eε\sigma = E\varepsilon tracées avec Eacier=210E_{acier} = 210 GPa et Ealu=70E_{alu} = 70 GPa : à ε=2×10−3\varepsilon = 2\times10^{-3}, σacier=420\sigma_{acier} = 420 MPa contre σalu=140\sigma_{alu} = 140 MPa.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'erreur la plus fréquente est la conversion de la section.

✅ La suggestion

Si S=100S = 100 mm², il faut écrire S=100×10−6S = 100 \times 10^{-6} m² =10−4= 10^{-4} m². Oublier le facteur 10−610^{-6} donne un résultat faux d'un facteur un million !

💡 À retenir

  • La contrainte σ=F/S\sigma = F/S est une force par unité de surface (en Pa ou MPa).
  • La loi de Hooke σ=Eε\sigma = E\varepsilon n'est valable que dans le domaine élastique.
  • Propriétés matériaux : acier E=210E = 210 GPa, alu E=70E = 70 GPa, cuivre E=120E = 120 GPa.
  • Le coefficient de sécurité s=σe/σmax⁡s = \sigma_e / \sigma_{\max} doit toujours dépasser la valeur requise (22 à 55).

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
La RdM est indispensable pour dimensionner les pièces mécaniques : poutres, arbres de transmission, câbles, boulons. Elle garantit que les structures résistent aux efforts sans se rompre.

Mots-clés associés : ContrainteDéformationTractionCompressionModule de Young
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