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Le mouvement et ses descriptions

Référentiel, trajectoire, construction des vecteurs vitesse et accélération par la méthode des positions successives

🌍 Application dans la vie courante : La méthode des positions successives est utilisée pour analyser le geste d'un sportif à partir d'une vidéo ralentie, mesurer la vitesse d'un véhicule par un radar chronophotographique, étudier la trajectoire d'une sonde spatiale à partir de relevés de position, ou encore reconstituer la vitesse d'un objet lors d'un accident à partir d'images de vidéosurveillance.
Décrire le mouvement d'un objet suppose toujours de préciser un référentiel : un solide de référence, associé à une horloge, par rapport auquel on observe le déplacement. Un passager assis dans un train est immobile par rapport au référentiel du train, mais en mouvement par rapport au référentiel terrestre : le mouvement est toujours relatif.

Dans un référentiel donné, l'ensemble des positions successives occupées par un point mobile constitue sa trajectoire (rectiligne, circulaire, ou quelconque). Pour caractériser précisément ce mouvement, on filme ou photographie l'objet à intervalles de temps égaux τ\tau (chronophotographie, vidéo pointée), ce qui donne une suite de positions M0,M1,M2,…M_0, M_1, M_2, \dots

À partir de ces positions, on construit le vecteur vitesse vi⃗\vec{v_i} en chaque point MiM_i, puis le vecteur accélération ai⃗\vec{a_i}, qui traduit la façon dont la vitesse elle-même évolue au cours du temps.

📖 Vocabulaire clé

Référentiel : Solide de référence, associé à une horloge, par rapport auquel on décrit un mouvement. Un même objet peut être immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre : le mouvement est relatif.
Trajectoire : Ensemble des positions successives occupées par un point mobile au cours du temps, dans un référentiel donné. Peut être rectiligne, circulaire, ou quelconque (courbe).
Vecteur vitesse (méthode des positions successives) : Au point MiM_i, encadré par les positions Mi−1M_{i-1} et Mi+1M_{i+1} relevées à intervalles de temps égaux τ\tau : vi⃗=Mi−1Mi+1⃗2τ\vec{v_i} = \dfrac{\vec{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}. Ce vecteur est tangent à la trajectoire en MiM_i, orienté dans le sens du mouvement.
Vecteur accélération (méthode des positions successives) : Construit de la même façon que le vecteur vitesse, mais à partir des vecteurs vitesse encadrants : ai⃗=vi+1⃗−vi−1⃗2τ\vec{a_i} = \dfrac{\vec{v_{i+1}} - \vec{v_{i-1}}}{2\tau}. Traduit toute variation de la vitesse, en norme ou en direction.

📋 Construire les vecteurs vitesse et accélération à partir d'une chronophotographie en 3 étapes

  1. 1 Relever les positions M0,M1,M2,…M_0, M_1, M_2, \dots occupées par le mobile à des intervalles de temps égaux τ\tau (chronophotographie, vidéo pointée avec un logiciel de traitement d'image).
  2. 2 Construire le vecteur vitesse vi⃗\vec{v_i} en un point MiM_i à partir du vecteur Mi−1Mi+1⃗\vec{M_{i-1}M_{i+1}}, qui relie les deux points encadrant MiM_i (jamais un seul segment consécutif) : vi⃗=Mi−1Mi+1⃗2τ\vec{v_i} = \dfrac{\vec{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}.
    Exemple : pour construire v2⃗\vec{v_2}, on utilise M1M_1 et M3M_3, pas M1M_1 et M2M_2 seuls.
  3. 3 Construire le vecteur accélération ai⃗\vec{a_i} de la même façon, mais à partir des vecteurs vitesse qui encadrent MiM_i : ai⃗=vi+1⃗−vi−1⃗2τ\vec{a_i} = \dfrac{\vec{v_{i+1}} - \vec{v_{i-1}}}{2\tau}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une balle est filmée à intervalles de temps réguliers τ=0,2\tau = 0{,}2 s. On relève les positions M1(0,6 ; 1,0)M_1(0{,}6~;~1{,}0) et M3(1,8 ; 1,8)M_3(1{,}8~;~1{,}8) (coordonnées en mètres), qui encadrent la position M2M_2.

Construire, par le calcul, le vecteur vitesse v2⃗\vec{v_2} au point M2M_2, puis calculer sa norme v2v_2.
Démarche :
  1. Méthode des positions successives : v2⃗=M1M3⃗2τ\vec{v_2} = \dfrac{\vec{M_1M_3}}{2\tau}, où M1M_1 et M3M_3 encadrent M2M_2.
  2. Coordonnées du vecteur M1M3⃗\vec{M_1M_3} : Δx=1,8−0,6=1,2\Delta x = 1{,}8 - 0{,}6 = 1{,}2 m et Δy=1,8−1,0=0,8\Delta y = 1{,}8 - 1{,}0 = 0{,}8 m.
  3. Composantes de v2⃗\vec{v_2} : v2x=1,22×0,2=3,0v_{2x} = \dfrac{1{,}2}{2\times0{,}2} = 3{,}0 m/s et v2y=0,82×0,2=2,0v_{2y} = \dfrac{0{,}8}{2\times0{,}2} = 2{,}0 m/s.
  4. Norme : v2=v2x2+v2y2=3,02+2,02=13≈3,61v_2 = \sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2} = \sqrt{3{,}0^2+2{,}0^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 m/s.
Réponse : v2⃗\vec{v_2} a pour composantes (3,0 ; 2,0)(3{,}0~;~2{,}0) m/s et pour norme v2≈3,61v_2 \approx 3{,}61 m/s, dirigé tangentiellement à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

⚗️ Lois et formules clés

Vecteur vitesse (positions successives) : vi⃗=Mi−1Mi+1⃗2τ\vec{v_i} = \dfrac{\vec{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}
Norme de la vitesse : vi=Mi−1Mi+12τv_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}
Vecteur accélération (positions successives) : ai⃗=vi+1⃗−vi−1⃗2τ\vec{a_i} = \dfrac{\vec{v_{i+1}} - \vec{v_{i-1}}}{2\tau}
Types de trajectoire : rectiligne, circulaire, ou quelconque

🎨 Illustration

Méthode des positions successives (chronophotographie)
Construction des vecteurs vitesse et accélération au point M₂

Cinq positions M0M_0 à M4M_4 sont relevées à intervalles de temps égaux τ\tau. Le vecteur vitesse v2⃗\vec{v_2} est construit à partir des points encadrants M1M_1 et M3M_3 ; le vecteur accélération a2⃗\vec{a_2} traduit ici le ralentissement de la composante verticale du mouvement.

Construction du vecteur vitesse et du vecteur acceleration par la methode des positions successives Cinq positions successives M0 a M4 d'un mobile sont relevees a intervalles de temps egaux tau le long d'une trajectoire courbe representee en pointilles. Au point M2, un vecteur vitesse v2 est construit parallelement au segment reliant les points encadrants M1 et M3, oriente vers le haut et vers la droite dans le sens du mouvement. Un vecteur acceleration a2 est egalement trace au point M2, oriente verticalement vers le bas, traduisant le ralentissement de la composante verticale du mouvement sous l'effet de la pesanteur. M₀ M₁ M₂ M₃ M₄ τ v₂ a₂
  • 1 Le vecteur v2⃗\vec{v_2} est construit parallèlement au segment M1M3M_1M_3 qui relie les deux points encadrant M2M_2, et non à partir d'un seul point voisin.
  • 2 Sa direction est tangente à la trajectoire (dashed) au point M2M_2, et son sens indique le sens du mouvement.
  • 3 Le vecteur accélération a2⃗\vec{a_2}, ici dirigé vers le bas, traduit le fait que la composante verticale de la vitesse diminue entre M1M_1 et M3M_3 : la trajectoire s'incurve vers le bas, sous l'effet de la pesanteur.
Ce qu'il faut lire : Repère les cinq points M0M_0 à M4M_4 le long de la trajectoire en pointillés, puis les deux vecteurs pleins tracés au point M2M_2 : v2⃗\vec{v_2} (tangent, vers le haut-droite) et a2⃗\vec{a_2} (vertical, vers le bas).
Construction des vecteurs vitesse v2⃗=M1M3⃗2τ\vec{v_2} = \dfrac{\vec{M_1M_3}}{2\tau} et accélération a2⃗=v3⃗−v1⃗2τ\vec{a_2} = \dfrac{\vec{v_3}-\vec{v_1}}{2\tau} à partir de cinq positions relevées à intervalles de temps égaux τ\tau.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Une erreur fréquente est de croire que le vecteur vitesse vi⃗\vec{v_i} se construit à partir du point précédent seul, comme Mi−1Mi⃗\vec{M_{i-1}M_i}, au lieu d'utiliser les deux points qui encadrent MiM_i.

✅ La suggestion

Attention à toujours construire vi⃗\vec{v_i} à partir du vecteur complet Mi−1Mi+1⃗\vec{M_{i-1}M_{i+1}}, qui relie le point d'avant au point d'après, jamais un seul segment consécutif.

💡 À retenir

  • Le mouvement n'a de sens que par rapport à un référentiel précisé : un même objet peut être immobile dans l'un et en mouvement dans un autre.
  • Le vecteur vitesse vi⃗\vec{v_i}, construit à partir des positions encadrantes, est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
  • Le vecteur accélération ai⃗\vec{a_i} traduit toute variation de la vitesse, en norme ou en direction — il n'est jamais nul sur une trajectoire courbe, même à vitesse de norme constante.
  • Un vecteur accélération constamment nul caractérise un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante en norme et en direction).

🌍 Application dans la vie courante

Où ce phénomène intervient-il ?
La méthode des positions successives est utilisée pour analyser le geste d'un sportif à partir d'une vidéo ralentie, mesurer la vitesse d'un véhicule par un radar chronophotographique, étudier la trajectoire d'une sonde spatiale à partir de relevés de position, ou encore reconstituer la vitesse d'un objet lors d'un accident à partir d'images de vidéosurveillance.

Mots-clés associés : RéférentielTrajectoireVecteur vitesseVecteur accélérationChronophotographie
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