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Mouvements des satellites et des planètes

Loi de gravitation universelle, mouvement circulaire uniforme, vitesse et période orbitales, satellites géostationnaires, troisième loi de Kepler

🌍 Application dans la vie courante : Ces lois gouvernent le positionnement des satellites de télécommunication géostationnaires, la constellation des satellites GPS et Galileo, le calcul des trajectoires des sondes spatiales, ainsi que la détection des exoplanètes par la méthode des vitesses radiales.

Un satellite en orbite autour de la Terre — ou une planète en orbite autour du Soleil — est maintenu sur sa trajectoire par une seule force : l'attraction gravitationnelle exercée par l'astre central. Isaac Newton a montré que cette force, la même qui fait tomber une pomme, gouverne aussi le mouvement des astres : c'est la loi de gravitation universelle.

Pour une orbite circulaire, cette force joue le rôle de force centripète : elle est en permanence dirigée vers le centre de l'astre attracteur, perpendiculairement à la vitesse du satellite, et lui permet de « tomber en permanence » sans jamais atteindre le sol.

Cette analyse, appliquée par Kepler aux planètes du Système solaire avant même les travaux de Newton, se généralise à tout satellite — naturel (la Lune, Titan autour de Saturne) ou artificiel (satellite de télécommunication, station spatiale).

📖 Vocabulaire clé

Loi de gravitation universelle : Deux corps de masses

m

M

, séparés par une distance

r

, s'attirent avec une force

F=G\dfrac{mM}{r^2}

, dirigée selon la droite qui les relie, où

G=6{,}67\times10^{-11}

N·m²/kg² est la constante de gravitation universelle.

Mouvement circulaire uniforme : Mouvement à trajectoire circulaire parcourue à vitesse de norme constante. L'accélération n'est pas nulle : elle est centripète, dirigée vers le centre du cercle, de norme

a=\dfrac{v^2}{r}

Vitesse orbitale : Vitesse d'un satellite en orbite circulaire de rayon

r

autour d'un astre de masse

M

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

. Elle ne dépend que de

r

et de

M

, jamais de la masse du satellite.

Satellite géostationnaire : Satellite en orbite circulaire équatoriale dont la période est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (jour sidéral,

T\approx23

56

min) : il reste ainsi fixe au-dessus d'un même point de l'équateur.

📋 Étudier l'orbite d'un satellite en 3 étapes

1 Modéliser : système = satellite de masse $m$ , référentiel géocentrique supposé galiléen (adapté à l'étude d'un satellite terrestre), seule force = attraction gravitationnelle de l'astre central.
2 Appliquer le PFD sur une orbite circulaire : l'attraction gravitationnelle joue le rôle de force centripète, $G\dfrac{mM}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$ . La masse $m$ du satellite se simplifie entièrement : $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ .
3 En déduire la période $T=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$ , ou inversement le rayon $r$ à partir d'une période imposée (cas du satellite géostationnaire).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un satellite géostationnaire reste immobile au-dessus d'un même point de l'équateur : sa période de révolution doit donc être égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même par rapport aux étoiles, soit le jour sidéral

T=23

56

min

=86\,164

s. On donne

G=6{,}67\times10^{-11}

SI,

M_{Terre}=5{,}97\times10^{24}

kg et

R_{Terre}=6\,371

km.

Calculer le rayon

r

de l'orbite géostationnaire, puis l'altitude

h

correspondante.

Démarche :

D'après la troisième loi de Kepler appliquée à une orbite circulaire, $T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM_{Terre}}r^3$ , donc $r=\sqrt[3]{\dfrac{GM_{Terre}T^2}{4\pi^2}}$ .
Application numérique : $r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}\times86\,164^2}{4\pi^2}}\approx4{,}215\times10^7$ m, soit $r\approx42\,150$ km.
L'altitude est mesurée depuis la surface terrestre : $h=r-R_{Terre}=42\,150-6\,371\approx35\,779$ km, arrondie usuellement à environ $35\,800$ km.

Réponse :

r\approx42\,150

km et

h\approx35\,800

km. Cette orbite unique, équatoriale et circulaire, est très recherchée : elle est occupée par de nombreux satellites de télécommunication et de météorologie, tous « immobiles » au-dessus d'un même point du globe.

⚗️ Lois et formules clés

F=G\dfrac{mM}{r^2}

(loi de gravitation universelle)

Accélération centripète :

a=\dfrac{v^2}{r}

, dirigée vers le centre

Vitesse orbitale (orbite circulaire) :

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

Période de révolution :

T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}

Troisième loi de Kepler :

\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}

(constante pour tous les satellites d'un même astre)

GM_{Terre}\approx3{,}98\times10^{14}

m³/s² (paramètre gravitationnel standard terrestre)

🎨 Illustration

Orbite circulaire d'un satellite

Force de gravitation et vitesse orbitale sur une trajectoire circulaire

La force de gravitation $\vec{F}$ , dirigée vers le centre de la Terre, joue le rôle de force centripète et impose au satellite une trajectoire circulaire parcourue à vitesse $v$ de norme constante.

1 La force de gravitation $\vec{F}$ est en permanence dirigée vers le centre de la Terre : elle joue le rôle de force centripète qui incurve la trajectoire.
2 La vitesse $\vec{v}$ est constamment tangente à l'orbite, perpendiculaire à $\vec{F}$ : sa norme reste constante (mouvement circulaire uniforme), mais sa direction change en permanence.
3 Le rayon $r$ de l'orbite se mesure depuis le centre de la Terre, et non depuis sa surface : $r=R_{Terre}+h$ , où $h$ est l'altitude du satellite.

Ce qu'il faut lire : Repère le centre de la Terre, puis le satellite sur son orbite : la force

\vec{F}

pointe toujours vers le centre, tandis que la vitesse

\vec{v}

, perpendiculaire à

\vec{F}

, est tangente à la trajectoire circulaire.

Satellite en orbite circulaire autour de la Terre : la force de gravitation

\vec{F}

, centripète, maintient le satellite sur une trajectoire circulaire parcourue à vitesse

v

constante.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Une erreur fréquente est de croire que la vitesse ou la période d'un satellite dépend de sa masse : ce n'est pas le cas, la masse du satellite se simplifie entièrement dans l'équation du mouvement circulaire, si bien que deux satellites de masses différentes sur la même orbite ont exactement la même vitesse.

✅ La suggestion

Attention également à ne pas confondre le rayon de l'orbite $r$ (mesuré depuis le centre de la Terre) avec l'altitude $h$ du satellite (mesurée depuis la surface) : la relation est $r=R_{Terre}+h$ .

💡 À retenir

La force de gravitation joue le rôle de force centripète pour un satellite en orbite circulaire : elle est en permanence dirigée vers le centre de l'astre attracteur.
La vitesse orbitale $v=\sqrt{GM/r}$ et la période $T=2\pi\sqrt{r^3/GM}$ ne dépendent que du rayon de l'orbite et de la masse de l'astre attracteur, jamais de la masse du satellite.
Plus l'orbite est haute (grand $r$ ), plus la vitesse orbitale est faible et plus la période est longue.
Un satellite géostationnaire occupe une orbite unique (équatoriale, circulaire, d'altitude fixe $\approx35\,800$ km) : sa période égale exactement la période de rotation de la Terre.

🌍 Application dans la vie courante

Où ce phénomène intervient-il ?
Ces lois gouvernent le positionnement des satellites de télécommunication géostationnaires, la constellation des satellites GPS et Galileo, le calcul des trajectoires des sondes spatiales, ainsi que la détection des exoplanètes par la méthode des vitesses radiales.

Mots-clés associés : Gravitation universelleSatelliteKeplerOrbite circulaireGéostationnaire

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