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Mouvement dans un champ uniforme

Chute libre dans le champ de pesanteur, déviation d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme, trajectoire parabolique

🌍 Application dans la vie courante : Le mouvement dans un champ uniforme explique la trajectoire des projectiles (balistique, sports, arrosage agricole), le principe de déviation électrostatique utilisé dans les oscilloscopes cathodiques et les imprimantes à jet d'encre, ainsi que le tri de particules chargées dans les spectromètres de masse.

Un point matériel placé dans un champ uniforme — champ de pesanteur $\vec{g}$ au voisinage du sol, ou champ électrique $\vec{E}$ entre deux plaques planes parallèles — subit une force constante en direction, en sens et en norme.

D'après le principe fondamental de la dynamique (PFD), une force constante produit une accélération constante $\vec{a}$ . Si la vitesse initiale $\vec{v_0}$ du point matériel est colinéaire à cette accélération, le mouvement reste rectiligne. Mais si $\vec{v_0}$ n'est pas colinéaire à $\vec{a}$ — ce qui est le cas général —, le mouvement se décompose en une direction où la vitesse reste constante et une direction où elle varie uniformément : la trajectoire est alors une parabole.

Cette méthode s'applique aussi bien à un projectile dans le champ de pesanteur (chute libre, tir oblique) qu'à une particule chargée déviée dans un champ électrique uniforme (oscilloscope cathodique, spectromètre de masse) : seule change la force à l'origine de l'accélération.

📖 Vocabulaire clé

Champ uniforme : Région de l'espace où un champ vectoriel (de pesanteur

\vec{g}

ou électrique

\vec{E}

) garde la même direction, le même sens et la même norme en tout point. Exemples : champ de pesanteur au voisinage du sol, champ électrique entre deux plaques planes parallèles portées à des potentiels différents.

Champ de pesanteur ( $\vec{g}$ ) : Champ vectoriel responsable du poids

\vec{P} = m\vec{g}

d'un corps. Au voisinage du sol, il est assimilé à un champ uniforme, vertical, orienté vers le bas, de norme

g \approx 9{,}81

m/s².

Champ électrique uniforme ( $\vec{E}$ ) : Entre deux plaques planes parallèles distantes de

d

et soumises à une tension

U

, le champ électrique est uniforme, dirigé de la plaque

+

vers la plaque

-

, de norme

E = \dfrac{U}{d}

(en V/m).

Trajectoire parabolique : Trajectoire obtenue lorsqu'un point matériel est soumis à une force constante non colinéaire à sa vitesse initiale

\vec{v_0}

: le mouvement se décompose en une composante rectiligne uniforme (direction de

\vec{v_0}

) et une composante uniformément accélérée (direction de la force).

📋 Étudier un mouvement dans un champ uniforme en 3 étapes

1 Modéliser : définir le système (point matériel de masse $m$ , de charge $q$ le cas échéant), le référentiel (terrestre, supposé galiléen) et faire le bilan des forces.
Exemple : pour une particule chargée entre deux plaques, le poids est presque toujours totalement négligeable devant la force électrique (rapport de l'ordre de $10^{-13}$ pour un électron) : seule la force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$ est prise en compte.
2 Appliquer le PFD puis projeter sur deux axes : l'axe de $\vec{v_0}$ (accélération nulle, mouvement uniforme) et l'axe de la force (accélération constante $a = \dfrac{F}{m}$ , mouvement uniformément accéléré).
Exemple : pour un projectile lancé horizontalement dans le champ de pesanteur, l'axe horizontal est uniforme et l'axe vertical est uniformément accéléré avec $a = g$ .
3 Intégrer deux fois chaque équation horaire à partir des conditions initiales, puis éliminer le temps $t$ (en général $t = \dfrac{x}{v_0}$ ) pour obtenir l'équation de la trajectoire $y = f(x)$ , qui est celle d'une parabole.
Astuce : la moitié du travail est commune aux deux cas (pesanteur ou champ électrique) — seule la force injectée dans le PFD change.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un faisceau d'électrons pénètre horizontalement, au milieu de deux plaques planes parallèles distantes de

d=2{,}5

cm et longues de

L=3{,}0

cm, soumises à une tension

U=200

V (plaque supérieure au potentiel le plus élevé). La vitesse d'entrée est

v_0=2{,}5\times10^7

m/s. On donne la charge élémentaire

e=1{,}6\times10^{-19}

C et la masse de l'électron

m_e=9{,}11\times10^{-31}

kg.

Calculer le champ électrique

E

, l'accélération subie par un électron, puis sa déviation verticale

y_L

à la sortie des plaques.

Démarche :

Le champ électrique entre les plaques est uniforme : $E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{200}{2{,}5\times10^{-2}}=8\,000$ V/m.
L'électron porte la charge $q=-e$ . La force électrique $\vec{F}=q\vec{E}$ est donc de sens opposé à $\vec{E}$ : comme $\vec{E}$ pointe vers la plaque négative (vers le bas), $\vec{F}$ pointe vers la plaque positive (vers le haut). Par le PFD, l'accélération a pour norme $a=\dfrac{eE}{m_e}=\dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times8\,000}{9{,}11\times10^{-31}}\approx1{,}41\times10^{15}$ m/s².
Le mouvement horizontal est uniforme : la durée de traversée des plaques est $t=\dfrac{L}{v_0}=\dfrac{3{,}0\times10^{-2}}{2{,}5\times10^7}=1{,}2\times10^{-9}$ s.
Le mouvement vertical est uniformément accéléré à partir d'une vitesse verticale nulle : $y_L=\dfrac{1}{2}at^2=\dfrac{1}{2}\times1{,}41\times10^{15}\times(1{,}2\times10^{-9})^2\approx1{,}01\times10^{-3}$ m, soit environ $1{,}01$ mm.

Réponse :

E=8\,000

V/m,

a\approx1{,}41\times10^{15}

m/s² et

y_L\approx1{,}01

mm. Cette déviation, bien qu'inférieure au demi-écart entre les plaques (

d/2=12{,}5

mm), est amplifiée après la sortie des plaques par la poursuite rectiligne du faisceau jusqu'à un écran : c'est le principe exploité par les oscilloscopes cathodiques.

⚗️ Lois et formules clés

\vec{F} = q\vec{E}

(force électrique subie par une charge

q

dans un champ

\vec{E}

)

Champ uniforme entre deux plaques planes :

E=\dfrac{U}{d}

PFD :

\sum \vec{F} = m\vec{a}

, soit

a=\dfrac{F}{m}

(accélération constante dans un champ uniforme)

Équations horaires :

x(t)=v_0 t

(axe de

\vec{v_0}

) et

y(t)=\dfrac{1}{2}at^2

(axe de la force)

Équation de la trajectoire (parabole) :

y=\dfrac{a}{2v_0^2}x^2

Chute libre (champ de pesanteur) :

a=g\approx9{,}81

m/s², indépendante de la masse

🎨 Illustration

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Déviation d'une particule chargée entre deux plaques planes (condensateur plan)

Entre deux plaques planes parallèles portées à des potentiels différents, le champ électrique $\vec{E}$ est uniforme. Une particule chargée y suit une trajectoire parabolique, exactement comme un projectile dans le champ de pesanteur.

1 Le champ électrique $\vec{E}$ entre les plaques est uniforme : il pointe de la plaque positive vers la plaque négative, avec une norme $E=\dfrac{U}{d}$ .
2 La particule représentée porte une charge négative : la force électrique $\vec{F}=q\vec{E}$ est de sens opposé à $\vec{E}$ , donc dirigée vers la plaque positive.
3 Comme pour un projectile dans le champ de pesanteur, le mouvement horizontal est uniforme (vitesse $v_0$ constante) tandis que le mouvement vertical est uniformément accéléré : la trajectoire entre les plaques est une parabole, puis rectiligne au-delà.

Ce qu'il faut lire : Suis la particule depuis son entrée à gauche (vitesse

v_0

horizontale) jusqu'à sa sortie des plaques, puis jusqu'à l'écran : la déviation

y_L

à la sortie des plaques est nettement plus petite que la déviation totale

Y

mesurée sur l'écran.

Déviation électrostatique d'une particule chargée entre deux plaques planes : trajectoire parabolique entre les plaques, puis rectiligne jusqu'à l'écran (échelle de la déviation exagérée pour la lisibilité).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Une confusion fréquente consiste à penser qu'une particule chargée se déplace toujours dans le sens du champ électrique $\vec{E}$ : c'est vrai uniquement pour une charge positive, alors qu'une charge négative (comme l'électron) subit une force $\vec{F}=q\vec{E}$ de sens opposé à $\vec{E}$ .

✅ La suggestion

Attention à toujours déterminer le signe de la charge avant de tracer le sens de la force et de la déviation, plutôt que de suivre instinctivement le sens des flèches de champ électrique.

💡 À retenir

Dans un champ uniforme (pesanteur ou électrique), la force subie par un point matériel est constante : son accélération l'est donc aussi, quelle que soit sa vitesse.
Si la vitesse initiale $\vec{v_0}$ n'est pas colinéaire à la force, le mouvement est parabolique : uniforme dans la direction de $\vec{v_0}$ , uniformément accéléré dans la direction de la force.
Pour une particule chargée, le sens de la déviation dépend du signe de la charge : une charge négative est déviée vers la plaque positive, une charge positive vers la plaque négative.
La méthode est identique pour un projectile dans le champ de pesanteur et pour une particule chargée dans un champ électrique uniforme : seule change la force à l'origine de l'accélération.

🌍 Application dans la vie courante

Où ce phénomène intervient-il ?
Le mouvement dans un champ uniforme explique la trajectoire des projectiles (balistique, sports, arrosage agricole), le principe de déviation électrostatique utilisé dans les oscilloscopes cathodiques et les imprimantes à jet d'encre, ainsi que le tri de particules chargées dans les spectromètres de masse.

Mots-clés associés : Champ uniformePFDTrajectoire paraboliqueDéviation électrostatiqueChute libre

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