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Cinématique du solide

Vitesse, accélération, mouvements de translation et rotation

🏭 Application industrielle : La cinématique est au cœur de l'étude des mécanismes : bras robotisé, système bielle-manivelle, convoyeur industriel. Comprendre les mouvements permet de dimensionner les actionneurs.

La cinématique est l'étude du mouvement des corps sans considérer les forces qui le produisent.

En translation rectiligne, la position se repère par $x(t)$ . La vitesse est la dérivée de la position : $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$ et l'accélération est la dérivée de la vitesse : $a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$ .

En rotation autour d'un axe fixe, on utilise l'angle $\theta(t)$ . La vitesse angulaire est $\omega(t) = \dfrac{d\theta}{dt}$ et l'accélération angulaire $\alpha(t) = \dfrac{d\omega}{dt}$ .

Le lien fondamental entre translation et rotation pour un point à distance $R$ de l'axe est : $v = R \cdot \omega$ .

En mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripète vaut $a_n = \dfrac{v^2}{R} = R\omega^2$ et est dirigée vers le centre.

📖 Vocabulaire clé

Translation rectiligne : Mouvement où tous les points du solide ont la même vitesse à chaque instant. La trajectoire de chaque point est un segment de droite.

Rotation autour d'un axe fixe : Mouvement où tous les points décrivent des arcs de cercle centrés sur l'axe. Chaque point a la même vitesse angulaire

\omega(t)

Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) : Vitesse constante, accélération nulle :

v = \text{cte}

a = 0

. La position varie linéairement :

x = x_0 + vt

Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) : Accélération constante non nulle. La vitesse varie linéairement et la position de manière quadratique avec le temps.

📋 Résoudre un problème de cinématique

1 Étape 1 — Identifier le type de mouvement : translation ou rotation ? Uniforme ( $a = 0$ ) ou uniformément accéléré ( $a = \text{cte} \neq 0$ ) ?
Astuce : si la vitesse change, c'est un MRUA ; si elle est constante, c'est un MRU.
2 Étape 2 — Choisir les formules adaptées :
MRUA en translation : $v = v_0 + at$ et $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ .
MRUA en rotation : $\omega = \omega_0 + \alpha t$ et $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ .
Relation sans le temps : $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ .
3 Étape 3 — Identifier les données et l'inconnue dans l'énoncé.
Repérer $v_0$ , $a$ , $t$ , $x_0$ et écrire l'équation avec une seule inconnue.
4 Étape 4 — Calculer et vérifier : résoudre numériquement, vérifier l'homogénéité des unités (m, m/s, m/s², rad, rad/s) et le signe du résultat.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un chariot part du repos (

v_0 = 0

) et accélère uniformément à

a = 2

m/s² pendant

t = 5

s. Calculer sa vitesse finale et la distance parcourue.

Démarche :

Mouvement uniformément accéléré en translation ( $a = 2$ m/s², $v_0 = 0$ , $x_0 = 0$ ).
Vitesse finale : $v = v_0 + at = 0 + 2 \times 5 = 10$ m/s.
Distance parcourue : $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25$ m.
Vérification avec $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ : $10^2 = 0 + 2 \times 2 \times 25 = 100$ ✓.

Réponse :

v = 10

m/s et

x = 25

📏 Relations fondamentales

v = v_0 + at

(vitesse en MRUA)

x = x_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2

(position en MRUA)

v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)

(relation sans le temps)

v = R \cdot \omega

(lien vitesse linéaire / vitesse angulaire)

a_n = \dfrac{v^2}{R} = R\omega^2

(accélération centripète en mouvement circulaire)

\omega = \dfrac{2\pi N}{60}

(conversion tours/min → rad/s)

🎨 Illustration

MRUA — exemple du cours

Vitesse

v(t)

et position

x(t)

d'un MRUA (exemple du cours :

a = 2

m/s²)

Reconstruction chiffrée de l'exemple résolu du cours : chariot partant du repos ( $v_0 = 0$ ) avec une accélération $a = 2$ m/s² pendant $t = 5$ s.

1 La pente de la droite $v(t)$ est constante et égale à l'accélération : ici $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{4}{2} = 2$ m/s², conforme à l'exemple du cours.
2 L'aire sous la droite $v(t)$ , ici un triangle de base $t = 5$ s et de hauteur $v = 10$ m/s, vaut $\dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25$ m : exactement la distance $x$ calculée dans l'exemple.
3 La courbe $x(t)$ est une parabole (fonction quadratique du temps) : sa pente locale — donc la vitesse instantanée — augmente continûment, contrairement à la droite $v(t)$ dont la pente (l'accélération) reste constante.

Ce qu'il faut lire : Sur

v(t)

, lis la pente pour retrouver l'accélération et l'aire sous la courbe pour retrouver la distance parcourue. Sur

x(t)

, la courbure vers le haut traduit une vitesse qui augmente sans cesse.

Exemple du cours :

a = 2

m/s²,

v_0 = 0

→

v(5) = 10

m/s (droite) et

x(5) = 25

m (parabole).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La relation $v = R\omega$ n'est valable que si $\omega$ est en rad/s (pas en tours/min).

✅ La suggestion

Pour convertir : $\omega_{\text{rad/s}} = \dfrac{2\pi \times N_{\text{tr/min}}}{60}$ . Oublier cette conversion est l'erreur la plus fréquente en cinématique !

💡 À retenir

La vitesse est la dérivée de la position : $v = dx/dt$ . L'accélération est la dérivée de la vitesse : $a = dv/dt$ .
En MRUA : $v$ varie linéairement et $x$ quadratiquement avec le temps.
Le lien translation-rotation est $v = R\omega$ : un point à distance $R$ de l'axe a une vitesse proportionnelle à $\omega$ .
En mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripète $a_n = R\omega^2$ est dirigée vers le centre.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
La cinématique est au cœur de l'étude des mécanismes : bras robotisé, système bielle-manivelle, convoyeur industriel. Comprendre les mouvements permet de dimensionner les actionneurs.

Mots-clés associés : VitesseAccélérationTrajectoireMouvementTranslationRotation

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