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Statique : PFS

Principe Fondamental de la Statique, équilibre des forces et moments

🏭 Application industrielle : Le PFS est essentiel pour dimensionner les structures (ponts, bâtiments, châssis) et vérifier qu'un système mécanique reste en équilibre sous charge.

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) exprime les conditions d'équilibre d'un solide soumis à des actions mécaniques extérieures.

Un solide est en équilibre si son torseur statique est nul, ce qui se traduit par deux conditions simultanées :
- En translation : $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}$
- En rotation : $\sum \vec{M}_{A}(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0}$ (en tout point $A$ )

En 2D, cela donne 3 équations scalaires indépendantes : $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ et $\sum M_A = 0$ . On peut donc déterminer au maximum 3 inconnues.

La démarche commence toujours par l'isolement du solide, suivi du bilan complet des actions mécaniques, puis de l'écriture et la résolution des équations.

📖 Vocabulaire clé

Action mécanique : Cause capable de modifier le mouvement d'un solide. Elle se caractérise par un point d'application, une direction, un sens et une intensité (en N).

Moment d'une force : Capacité d'une force à faire tourner un solide autour d'un point :

M_A(\vec{F}) = F \times d

où

d

est le bras de levier. Unité : N·m.

Torseur statique : Outil mathématique regroupant la résultante

\vec{R} = \sum \vec{F}

et le moment résultant

\vec{M}_A

des actions mécaniques en un point

A

. À l'équilibre, les deux sont nuls.

Liaison mécanique : Connexion entre deux solides qui supprime certains degrés de liberté. Chaque liaison introduit des inconnues de réaction (ex. : appui simple → 1 inconnue, pivot → 2, encastrement → 3 en 2D).

📋 Appliquer le PFS en 5 étapes

1 Étape 1 — Isoler le solide : définir clairement le système étudié en traçant sa frontière d'isolement.
Tout ce qui est à l'extérieur exerce des actions sur le solide isolé.
2 Étape 2 — Bilan des actions mécaniques : lister toutes les forces extérieures (poids, forces appliquées, réactions d'appui).
Ne pas oublier les réactions aux liaisons ! Appui simple → $1$ composante, pivot → $2$ composantes, encastrement → $2$ composantes + $1$ moment.
3 Étape 3 — Choisir un repère et un point de moment : orienter les axes $x$ et $y$ .
Choisir le point $A$ pour le calcul des moments là où passe une force inconnue, pour l'éliminer de l'équation.
4 Étape 4 — Écrire les 3 équations : $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ , $\sum M_A = 0$ .
Convention : moment positif si rotation anti-horaire.
5 Étape 5 — Résoudre le système : $3$ équations pour au plus $3$ inconnues.
Vérifier la cohérence des résultats (signes, unités, $R_A + R_B = F$ pour une poutre simple).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une poutre horizontale de longueur

L = 4

m est en appui simple en

A

(à gauche) et en

B

(à droite). Une charge

F = 600

N est appliquée à

d = 1

m de

A

. Calculer les réactions

R_A

R_B

Démarche :

Bilan : poids de la poutre négligé, charge $F = 600$ N vers le bas à $1$ m de $A$ , réactions $R_A$ (en $A$ , vers le haut) et $R_B$ (en $B$ , vers le haut).
Moments en $A$ : $\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times 4 - F \times 1 = 0 \Rightarrow R_B = \dfrac{600 \times 1}{4} = 150$ N.
Forces verticales : $\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - F = 0 \Rightarrow R_A = 600 - 150 = 450$ N.
Vérification : $R_A + R_B = 450 + 150 = 600$ N $= F$ ✓.

Réponse :

R_A = 450

N et

R_B = 150

📏 Relations fondamentales

\sum F_x = 0

(équilibre des forces horizontales)

\sum F_y = 0

(équilibre des forces verticales)

\sum M_A = 0

(équilibre des moments au point

A

)

M_A(\vec{F}) = F \times d

(moment = force × bras de levier)

Convention : moment positif si rotation anti-horaire, négatif si horaire

🎨 Illustration

Poutre isostatique — exemple du cours

Bilan des réactions d'appui : poutre AB, F = 600 N à 1 m de A

Reconstruction chiffrée de l'exemple résolu du cours : poutre de $4$ m sur deux appuis simples, charge $F$ à $1$ m de $A$ , réactions $R_A$ et $R_B$ obtenues par le PFS.

1 Chaque appui simple (△ sur sol hachuré) ne bloque qu'une translation perpendiculaire à son plan d'appui : il n'introduit qu'une seule inconnue, verticale ici — $R_A$ en $A$ , $R_B$ en $B$ .
2 Le point $A$ est choisi pour écrire $\sum M_A = 0$ : le bras de levier de $R_A$ y est nul, donc $R_A$ disparaît de l'équation et $R_B$ se calcule directement.
3 Vérification : $R_A + R_B = 450 + 150 = 600$ N $= F$ — le bilan des forces verticales ( $\sum F_y = 0$ ) est cohérent.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux appuis

A

B

et la charge

F

, puis suis les cotes

d

L

: ce sont les bras de levier utilisés dans le calcul des moments.

Exemple du cours : poutre

L = 4

m sur appuis simples

A

B

, charge

F = 600

N à

d = 1

m de

A

→

R_A = 450

R_B = 150

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le bras de levier $d$ n'est PAS la distance entre le point d'application de la force et le point de moment.

✅ La suggestion

C'est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point de moment. Pour une force verticale à une distance horizontale $x$ du point $A$ , le bras de levier est bien $x$ . Mais pour une force oblique, il faut projeter !

💡 À retenir

Le PFS donne 3 équations scalaires en 2D : $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ , $\sum M_A = 0$ .
Toujours commencer par isoler le solide et faire un bilan complet des actions mécaniques.
Le choix du point de moment est stratégique : choisir un point où passe une force inconnue pour l'éliminer.
En 2D on peut résoudre au maximum $3$ inconnues. Si le problème en comporte plus, il est hyperstatique.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Le PFS est essentiel pour dimensionner les structures (ponts, bâtiments, châssis) et vérifier qu'un système mécanique reste en équilibre sous charge.

Mots-clés associés : PFSÉquilibreTorseurRésultanteMoment

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