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Circuits logiques et algèbre de Boole

Opérateurs ET, OU, NON, tables de vérité, lois de De Morgan

🏭 Application industrielle : Les circuits logiques sont la base de tout système numérique : automates programmables, microcontrôleurs, FPGA. Chaque décision d'un système automatisé repose sur des opérations logiques.

L'algèbre de Boole est le fondement mathématique des circuits numériques. Elle manipule des variables qui ne prennent que deux valeurs : $0$ (faux) ou $1$ (vrai).

Les 3 opérateurs de base sont :
- ET (AND) noté $A \cdot B$ : vaut $1$ si les deux entrées sont à $1$
- OU (OR) noté $A + B$ : vaut $1$ si au moins une entrée est à $1$
- NON (NOT) noté $\overline{A}$ : inverse la valeur

À partir de ces opérateurs, on construit les portes dérivées : NAND ( $\overline{A \cdot B}$ ), NOR ( $\overline{A + B}$ ), XOR ( $A \oplus B$ ).

Les lois de De Morgan permettent de simplifier les expressions :
$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ et $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ .

Simplifier une expression réduit le nombre de portes dans le circuit, ce qui diminue le coût et la consommation.

📖 Vocabulaire clé

Variable booléenne : Variable qui ne prend que deux valeurs :

0

(faux, niveau bas) ou

1

(vrai, niveau haut). Exemple : un interrupteur est ouvert (

0

) ou fermé (

1

Table de vérité : Tableau listant toutes les combinaisons possibles des entrées (

2^n

lignes pour

n

entrées) et la valeur de la sortie correspondante.

Porte logique : Composant électronique élémentaire réalisant une opération booléenne (ET, OU, NON, NAND, NOR, XOR). Le logigramme est le schéma d'assemblage de portes.

Lois de De Morgan :

\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}

(le complément d'un ET = OU des compléments) et

\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}

(le complément d'un OU = ET des compléments).

📋 Analyser ou simplifier une expression logique

1 Expression booléenne : Étape 1 — Écrire l'expression booléenne : traduire le cahier des charges en opérateurs. Exemple : « la pompe fonctionne si le niveau est bas ET le bouton est appuyé » → $S = N \cdot B$ .
2 Table de vérité : Étape 2 — Construire la table de vérité : lister les $2^n$ combinaisons des $n$ entrées. Calculer la sortie pour chaque ligne en appliquant l'expression.
3 Simplification algébrique : Étape 3 — Simplifier avec les propriétés algébriques : Absorption : $A + A \cdot B = A$ ; Complémentarité : $A + \overline{A} = 1$ ; De Morgan pour transformer ET ↔ OU.
4 Logigramme : Étape 4 — Tracer le logigramme : dessiner le circuit avec les portes logiques correspondant à l'expression simplifiée.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Simplifier l'expression

S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}

en utilisant De Morgan.

Démarche :

Appliquer De Morgan : $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ avec $X = \overline{A}$ et $Y = \overline{B}$ .
$S = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}}$ .
Or $\overline{\overline{A}} = A$ et $\overline{\overline{B}} = B$ (double complémentation).
Donc $S = A + B$ : une simple porte OU remplace la porte NAND avec inverseurs.

Réponse :

S = A + B

(une simple porte OU).

📏 Relations fondamentales

\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}

(1ère loi de De Morgan)

\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}

(2ème loi de De Morgan)

A + A \cdot B = A

(absorption)

A \cdot (A + B) = A

(absorption)

A \oplus B = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B

(OU exclusif / XOR)

🎨 Illustration

Logigramme : simplification par les lois de De Morgan

NON(NON(A) ET NON(B)) est-il vraiment la même chose que A OU B ?

À gauche, le circuit qui traduit littéralement l'expression de l'exemple du cours, $S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ : deux portes NON sur les entrées, une porte ET, puis une porte NON en sortie.

À droite, le circuit simplifié par les lois de De Morgan : une seule porte OU. Les deux circuits ont exactement la même table de vérité.

1 La double négation s'annule : $\overline{\overline{A}} = A$ et $\overline{\overline{B}} = B$ , donc $\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$ (loi de De Morgan appliquée à $X = \overline{A}$ et $Y = \overline{B}$ ).
2 Le circuit de gauche utilise 4 portes (2 NON, 1 ET, 1 NON) ; le circuit de droite n'en utilise qu'une seule (OU) — la simplification réduit le coût et la consommation du circuit.
3 Vérification sur les $4$ combinaisons de $A$ et $B$ : les deux circuits donnent $0, 1, 1, 1$ dans le même ordre $(A,B) = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ — table de vérité identique.

Ce qu'il faut lire : Compare les sorties des deux circuits pour les mêmes entrées

A

B

: le nombre de portes change, mais jamais le comportement logique.

Deux logigrammes équivalents pour

S = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B

: la loi de De Morgan permet de remplacer 4 portes par une seule porte OU.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne pas confondre OU logique ( $A + B$ ) et OU exclusif ( $A \oplus B$ ).

✅ La suggestion

Le OU vaut $1$ si au moins une entrée est à $1$ (y compris quand les deux le sont). Le XOR vaut $1$ uniquement si exactement une entrée est à $1$ . Pour $A = 1, B = 1$ : $A + B = 1$ mais $A \oplus B = 0$ .

💡 À retenir

Les trois opérateurs de base (ET, OU, NON) permettent de construire n'importe quelle fonction logique.
Les lois de De Morgan transforment un ET en OU (et vice versa) en complémentant les variables et le résultat.
La simplification réduit le nombre de portes logiques et optimise le circuit.
Pour $n$ entrées, la table de vérité comporte $2^n$ lignes.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Les circuits logiques sont la base de tout système numérique : automates programmables, microcontrôleurs, FPGA. Chaque décision d'un système automatisé repose sur des opérations logiques.

Mots-clés associés : ETOUNONTable de véritéLogigrammeDe Morgan

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