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Gestion de l'Énergie

Bilan de puissance, rendement global, stockage

🏭 Application industrielle : La gestion de l'énergie est un enjeu central : réduire les pertes, dimensionner les stockages (batteries, supercondensateurs), optimiser l'efficacité des chaînes de conversion dans les systèmes industriels et embarqués.

Tout système technique transforme de l'énergie. À chaque conversion, une partie est dissipée (Joule, frottements, pertes fer). Le rendement $\eta = P_u / P_a$ mesure l'efficacité.

Pour une chaîne de conversion (batterie → variateur → moteur → réducteur → charge), le rendement global est le produit des rendements : $\eta_g = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n$ . Il est toujours inférieur au plus petit rendement individuel.

Les pertes Joule $P_J = RI^2$ sont proportionnelles au carré du courant. C'est pourquoi le transport d'électricité se fait en haute tension (courant faible). Doubler le courant quadruple les pertes.

Le stockage d'énergie est dimensionné par :
- Condensateur / supercondensateur : $E = \frac{1}{2}CV^2$ (énergie proportionnelle à $V^2$ )
- Inductance : $E = \frac{1}{2}LI^2$
- Batterie : $E = Q \times U$ (capacité en Ah $\times$ tension). Le C-rate indique le régime de charge/décharge : $1C$ = décharge en 1h, $2C$ = en 30 min, $0{,}5C$ = en 2h. Le courant correspondant est $I = C\text{-rate} \times Q$ .

Un bilan de puissance complet identifie chaque source de pertes pour optimiser le système.

📖 Vocabulaire clé

Rendement $\eta$ :

\eta = P_u / P_a

. Sans dimension, entre 0 et 1. Le complément

1 - \eta

est la fraction perdue en chaleur, frottements, etc.

Rendement global $\eta_g$ :

\eta_g = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n

. Produit (pas somme ni moyenne) des rendements de chaque étage.

Pertes Joule $P_J$ :

P_J = RI^2

. Proportionnelles au carré du courant. Principale source de pertes dans les machines électriques et les câbles.

Énergie d'un condensateur :

E = \frac{1}{2}CV^2

. Pour les supercondensateurs :

C

de 1 à 3000 F,

V

de 2{,}5 à 3 V par cellule. Forte puissance, énergie modérée.

Capacité batterie et C-rate : Capacité

Q

en Ah. Énergie :

E = Q \times U

(Wh). C-rate :

1C

Q

en 1h.

I = C\text{-rate} \times Q

. Ex. : batterie 100 Ah à

2C

→

I = 200

A, décharge en 30 min.

📋 Réaliser un bilan de puissance complet

1 Chaîne d'étages : Identifier chaque étage de la chaîne et son rendement.
Exemple : Batterie ( $\eta_1 = 95\%$ ) → Variateur ( $\eta_2 = 98\%$ ) → Moteur ( $\eta_3 = 90\%$ ) → Réducteur ( $\eta_4 = 85\%$ ).
2 Rendement global : Calculer le rendement global : $\eta_g = 0{,}95 \times 0{,}98 \times 0{,}90 \times 0{,}85 = 0{,}712 = 71{,}2\%$ .
3 Puissance absorbée et pertes : Calculer la puissance absorbée : $P_a = P_u / \eta_g$ .
Exemple : $P_u = 500$ W → $P_a = 500 / 0{,}712 = 702$ W. Pertes : $P_a - P_u = 202$ W.
4 Autonomie du système : Dimensionner le stockage : autonomie $= E_{\text{batterie}} / P_a$ .
Exemple : Batterie 48 V, 100 Ah → $E = 4800$ Wh. Autonomie $= 4800/702 = 6{,}84$ h.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un véhicule électrique : batterie 48 V / 100 Ah, chaîne

\eta_1 = 96\%

(batterie),

\eta_2 = 97\%

(onduleur),

\eta_3 = 92\%

(moteur). Puissance utile à la roue :

P_u = 5

kW. Calculer le rendement global, la puissance absorbée, les pertes et l'autonomie.

Démarche :

$\eta_g = 0{,}96 \times 0{,}97 \times 0{,}92 = 0{,}857 = 85{,}7\%$ .
$P_a = P_u / \eta_g = 5000 / 0{,}857 = 5834$ W.
Pertes : $P_a - P_u = 5834 - 5000 = 834$ W.
Énergie batterie : $E = Q \times U = 100 \times 48 = 4800$ Wh. Autonomie : $4800 / 5834 = 0{,}823$ h $\approx 49$ min.

Réponse :

\eta_g = 85{,}7\%

P_a = 5{,}83

kW, pertes

= 834

W, autonomie

\approx 49

min.

📏 Relations fondamentales

\eta = \dfrac{P_u}{P_a}

(rendement)

\eta_g = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n

P_{\text{pertes}} = P_a - P_u = P_a(1 - \eta)

P_J = R \times I^2

(pertes Joule)

E = \dfrac{1}{2}CV^2

(condensateur/supercap)

E = \dfrac{1}{2}LI^2

(inductance)

E = Q \times U

(batterie, en Wh)

🎨 Illustration

Diagramme de Ragone

Comparer les technologies de stockage sur un graphe log-log puissance / énergie

Le diagramme de Ragone place chaque technologie selon sa puissance massique (axe vertical) et son énergie massique (axe horizontal), toutes deux en échelle logarithmique. Les zones reprennent exactement les plages du tableau du cours.

1 La batterie Li-ion stocke beaucoup d'énergie ( $150$ à $250$ Wh/kg) mais la restitue relativement lentement ( $250$ à $1000$ W/kg) : elle occupe la zone la plus à droite, en bas.
2 Le supercondensateur restitue une puissance très élevée ( $5000$ à $15\,000$ W/kg) mais avec une énergie massique faible ( $5$ à $15$ Wh/kg) : il occupe la zone la plus haute, à gauche.
3 Le volant d'inertie occupe une position intermédiaire ( $10$ à $50$ Wh/kg, $1000$ à $5000$ W/kg), entre les deux précédentes.

Ce qu'il faut lire : Sur un diagramme de Ragone, plus un point est haut, plus la technologie restitue de puissance rapidement ; plus il est à droite, plus elle stocke d'énergie sur la durée. Aucune technologie ne cumule les deux avantages : c'est tout l'enjeu du choix de stockage.

Positionnement des trois technologies de stockage du tableau du cours sur le diagramme de Ragone (échelles logarithmiques en abscisse et en ordonnée).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le rendement global est un PRODUIT, pas une moyenne.

✅ La suggestion

3 étages à $90\%$ donnent $\eta_g = 0{,}9^3 = 72{,}9\%$ (pas $90\%$ !). De même, ne pas confondre $E = \frac{1}{2}CV^2$ (condensateur) et $E = QU$ (batterie) : les supercondensateurs ont beaucoup de puissance mais peu d'énergie, les batteries c'est l'inverse.

💡 À retenir

Le rendement global est un PRODUIT (pas une moyenne) : $\eta_g = \prod \eta_i$ .
Les pertes Joule $P_J = RI^2$ sont proportionnelles au carré du courant.
Condensateur : $E = \frac{1}{2}CV^2$ (forte puissance, faible énergie). Batterie : $E = QU$ (forte énergie, puissance limitée).
Le C-rate caractérise le régime de décharge : $1C$ = 1h, $2C$ = 30 min.
Un bilan complet identifie chaque source de pertes pour optimiser le rendement global.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
La gestion de l'énergie est un enjeu central : réduire les pertes, dimensionner les stockages (batteries, supercondensateurs), optimiser l'efficacité des chaînes de conversion dans les systèmes industriels et embarqués.

Mots-clés associés : Bilan énergétiqueRendement globalPertes JouleBatterieSupercondensateur

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