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Résistance des Matériaux Avancée

Flexion, cisaillement, torsion, Von Mises, moments quadratiques

🏭 Application industrielle : La RDM avancée est utilisée pour dimensionner les poutres de structures métalliques, les arbres de transmission de machines tournantes et les châssis de véhicules soumis à des sollicitations combinées.

La Résistance des Matériaux (RDM) permet de vérifier qu'une pièce mécanique résiste aux sollicitations sans se rompre ni se déformer excessivement.

En BTS, on étudie quatre types de sollicitations : la traction/compression ( $\sigma = N/S$ ), la flexion ( $\sigma = M_f \cdot y / I_{Gz}$ ), le cisaillement ( $\tau = T/S$ ) et la torsion ( $\tau_t = M_t \cdot r / I_0$ ).

Le moment quadratique $I_{Gz}$ caractérise la résistance géométrique de la section à la flexion. Pour une section rectangulaire : $I_{Gz} = bh^3/12$ . Pour une section circulaire pleine de diamètre $d$ : $I_{Gz} = \pi d^4/64$ . Le moment quadratique polaire $I_0$ intervient en torsion : $I_0 = \pi d^4/32$ pour un cercle plein.

Lorsqu'une pièce subit simultanément flexion et torsion (cas fréquent : arbre de transmission), on utilise le critère de Von Mises : $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$ . Le dimensionnement impose $\sigma_{\text{VM}} \leq R_e / s$ , avec $s$ le coefficient de sécurité.

Données matériaux courantes : acier S235 ( $R_e = 235$ MPa), acier S355 ( $R_e = 355$ MPa), aluminium 6061-T6 ( $R_e = 275$ MPa), inox 304 ( $R_e = 205$ MPa).

📖 Vocabulaire clé

Contrainte normale de traction $\sigma$ : Contrainte due à un effort normal

N

\sigma = N / S

. En flexion,

\sigma = M_f \cdot y / I_{Gz}

, maximale aux fibres extrêmes (

y = y_{\max}

Contrainte de cisaillement $\tau$ : Contrainte tangentielle due à l'effort tranchant

T

\tau = T / S

(formule simplifiée). Maximale à l'axe neutre.

Contrainte de torsion $\tau_t$ : Contrainte tangentielle due au moment de torsion

M_t

\tau_t = M_t \cdot r / I_0

, maximale à la périphérie (

r = r_{\max}

Moment quadratique $I_{Gz}$ : Caractérise la résistance géométrique à la flexion. Rectangle :

I_{Gz} = bh^3/12

. Cercle plein :

I_{Gz} = \pi d^4/64

. Tube :

I_{Gz} = \pi(D^4 - d^4)/64

. Unité : m⁴.

Contrainte de Von Mises $\sigma_{\text{VM}}$ : Contrainte équivalente uniaxiale :

\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}

. Provient du critère d'énergie de distorsion. La limite en cisaillement pur est

\tau_e = R_e / \sqrt{3} \approx 0{,}577\,R_e

📋 Dimensionner une pièce en sollicitations combinées

1 Diagrammes de sollicitations : Identifier les sollicitations et dresser les diagrammes ( $N$ , $T$ , $M_f$ , $M_t$ ).
Repérer la section la plus sollicitée (moment fléchissant maximal).
Exemple : Arbre de transmission soumis à $M_f = 200$ N·m et $M_t = 300$ N·m.
2 Contrainte de flexion : Calculer $\sigma_{\max}$ en flexion. Pour une section circulaire pleine de diamètre $d$ :
$I_{Gz} = \pi d^4 / 64$ , $y_{\max} = d/2$ , donc $\sigma_{\max} = 32\,M_f / (\pi d^3)$ .
Exemple : $d = 50$ mm → $\sigma_{\max} = 32 \times 200 / (\pi \times 0{,}05^3) = 16{,}3$ MPa.
3 Contrainte de torsion : Calculer $\tau_{\max}$ en torsion. Pour une section circulaire pleine :
$I_0 = \pi d^4 / 32$ , $r_{\max} = d/2$ , donc $\tau_{\max} = 16\,M_t / (\pi d^3)$ .
Exemple : $\tau_{\max} = 16 \times 300 / (\pi \times 0{,}05^3) = 12{,}2$ MPa.
4 Critère de Von Mises : Calculer Von Mises : $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma_{\max}^2 + 3\tau_{\max}^2}$ et vérifier $\sigma_{\text{VM}} \leq R_e / s$ .
Exemple : $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{16{,}3^2 + 3 \times 12{,}2^2} \approx 25{,}6$ MPa. Avec $R_e = 235$ MPa et $s = 2$ : $\sigma_{\text{adm}} = 117{,}5$ MPa. OK.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un arbre circulaire plein de diamètre

d = 40

mm en acier S235 (

R_e = 235

MPa,

s = 2

) subit

M_f = 150

N·m et

M_t = 250

N·m. Vérifier la résistance.

Démarche :

$\sigma_{\max} = 32 M_f / (\pi d^3) = 32 \times 150 / (\pi \times 0{,}04^3) = 4800 / (2{,}011 \times 10^{-4}) = 23{,}9$ MPa.
$\tau_{\max} = 16 M_t / (\pi d^3) = 16 \times 250 / (\pi \times 0{,}04^3) = 4000 / (2{,}011 \times 10^{-4}) = 19{,}9$ MPa.
$\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{23{,}9^2 + 3 \times 19{,}9^2} = \sqrt{571 + 1188} = \sqrt{1759} = 41{,}9$ MPa.
$\sigma_{\text{adm}} = R_e / s = 235 / 2 = 117{,}5$ MPa. $41{,}9 < 117{,}5$ : l'arbre résiste.

Réponse :

\sigma_{\text{VM}} \approx 41{,}9

MPa

< \sigma_{\text{adm}} = 117{,}5

MPa. L'arbre est correctement dimensionné.

📏 Relations fondamentales

\sigma = \dfrac{N}{S}

(traction/compression)

\sigma = \dfrac{M_f \cdot y}{I_{Gz}}

(flexion)

\tau = \dfrac{T}{S}

(cisaillement simplifié)

\tau_t = \dfrac{M_t \cdot r}{I_0}

(torsion)

\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}

(Von Mises)

\sigma_{\text{VM}} \leq \dfrac{R_e}{s}

(critère de dimensionnement)

🎨 Illustration

Répartition des contraintes dans une section

Arbre circulaire (d = 40 mm) : flexion Mf = 150 N·m et torsion Mt = 250 N·m

À gauche, la contrainte normale σ(y) en flexion : nulle sur la fibre neutre, maximale (en valeur absolue, signe opposé) aux fibres extrêmes. À droite, la contrainte de cisaillement τ(r) en torsion : nulle au centre, maximale à la périphérie, toujours tangentielle. Les deux lois sont linéaires.

1 En flexion, $\sigma(y) = M_f \cdot y / I_{Gz}$ est proportionnelle à $y$ : nulle sur la fibre neutre, maximale aux fibres extrêmes. Avec l'exemple du cours ( $d = 40$ mm, $M_f = 150$ N·m) : $\sigma_{\max} = 32\,M_f/(\pi d^3) \approx 23{,}9$ MPa.
2 En torsion, $\tau(r) = M_t \cdot r / I_0$ est proportionnelle à $r$ (distance au centre) : nulle sur l'axe, maximale à la périphérie. Avec $M_t = 250$ N·m : $\tau_{\max} = 16\,M_t/(\pi d^3) \approx 19{,}9$ MPa.
3 La flexion crée des contraintes de signes opposés de part et d'autre de la fibre neutre (traction/compression) ; la torsion ne change pas de signe : c'est une contrainte tangentielle, la même dans toutes les directions autour du centre à un rayon donné.
4 Ces deux répartitions se combinent dans le critère de Von Mises : $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma_{\max}^2 + 3\tau_{\max}^2} \approx 41{,}9$ MPa pour cet arbre (cf. exemple du cours).

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le point où chaque contrainte s'annule (fibre neutre pour σ, centre pour τ), puis suis la droite jusqu'à la valeur maximale, aux fibres extrêmes ou à la périphérie.

Répartition linéaire de la contrainte normale σ(y) en flexion et de la contrainte de cisaillement τ(r) en torsion, pour l'arbre de l'exemple du cours (d = 40 mm, Mf = 150 N·m, Mt = 250 N·m).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention aux unités !

✅ La suggestion

Les moments sont en N·m, les contraintes en Pa (ou MPa). $1$ MPa $= 10^6$ Pa $= 1$ N/mm². La confusion m / mm est la source d'erreur la plus courante. Pensez aussi à la cohérence : si $d$ est en mm, utilisez $d^3$ en mm³ et les moments en N·mm.

💡 À retenir

La flexion crée des contraintes normales $\sigma$ maximales aux fibres extrêmes, nulles à l'axe neutre.
Le cisaillement crée des contraintes tangentielles $\tau$ maximales à l'axe neutre.
La torsion crée des contraintes tangentielles $\tau_t$ maximales à la périphérie de la section.
Von Mises $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$ combine $\sigma$ et $\tau$ en une valeur comparable à $R_e$ .
Le coefficient de sécurité $s$ est imposé par les normes ( $s = 2$ statique, $s = 3$ à $5$ en fatigue).

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
La RDM avancée est utilisée pour dimensionner les poutres de structures métalliques, les arbres de transmission de machines tournantes et les châssis de véhicules soumis à des sollicitations combinées.

Mots-clés associés : FlexionCisaillementTorsionContrainte équivalenteVon Mises

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