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Systèmes asservis — Correcteur P/PI/PID

FTBO, FTBF, erreur statique, marges de stabilité

🏭 Application industrielle : Régulation de température (four, climatisation), pilotage de drones, ABS automobile, régulation de vitesse — tout système nécessitant précision et stabilité.

Un système asservi (ou système bouclé) compare en permanence sa sortie $S(p)$ à une consigne $E(p)$ pour corriger automatiquement les écarts. Le signal d'erreur est $\varepsilon(p) = E(p) - S(p) \cdot H(p)$ , où $H(p)$ est la fonction de transfert du capteur de retour.

Le schéma-blocs est l'outil central de l'automatique. La chaîne directe contient un correcteur $C(p)$ et un procédé $G(p)$ . La FTBO (Fonction de Transfert en Boucle Ouverte) est : $\text{FTBO}(p) = C(p) \cdot G(p) \cdot H(p)$ . La FTBF (Fonction de Transfert en Boucle Fermée) est : $\text{FTBF}(p) = \dfrac{C(p) \cdot G(p)}{1 + C(p) \cdot G(p) \cdot H(p)}$ . Avec un retour unitaire ( $H = 1$ ), cela se simplifie en $\text{FTBF} = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G}$ .

Correcteur P : $C(p) = K_p$ . Réduit l'erreur statique mais ne l'annule jamais. Erreur résiduelle : $\varepsilon = \dfrac{1}{1 + K}$ où $K = K_p \cdot G_0$ est le gain de boucle. Plus $K_p$ est grand, plus l'erreur diminue, mais un gain excessif déstabilise le système.

Correcteur PI : $C(p) = K_p + \dfrac{K_i}{p} = K_p \cdot \dfrac{1 + T_i p}{T_i p}$ . Le terme intégral ajoute un pôle en $p = 0$ (intégrateur) qui annule l'erreur statique pour une entrée échelon. Inconvénient : peut augmenter le dépassement et ralentir la réponse.

Correcteur PID : $C(p) = K_p + \dfrac{K_i}{p} + K_d \cdot p$ . Le terme dérivé anticipe les variations de l'erreur, amortit les oscillations et réduit le dépassement. Sensible au bruit de mesure.

📖 Vocabulaire clé

FTBO :

\text{FTBO}(p) = C(p) \cdot G(p) \cdot H(p)

— Fonction de Transfert en Boucle Ouverte. Caractérise le système « coupé » au niveau du comparateur.

FTBF :

\text{FTBF}(p) = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G \cdot H}

— Fonction de Transfert en Boucle Fermée. Si retour unitaire :

\text{FTBF} = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G}

Erreur statique : Écart entre consigne et sortie en régime permanent. Avec un correcteur P de gain de boucle

K

\varepsilon = \dfrac{1}{1 + K}

. Un intégrateur (PI ou PID) l'annule.

Correcteur PID :

C(p) = K_p + \dfrac{K_i}{p} + K_d \cdot p

. Trois actions : P corrige proportionnellement à l'erreur, I accumule l'erreur passée, D anticipe l'erreur future.

Marges de stabilité : La marge de gain (en dB) et la marge de phase (en degrés) quantifient l'éloignement du système par rapport à l'instabilité. Critère courant : marge de phase

\geq 45°

📋 Analyser un système asservi

1 Identifier le schéma-blocs : repérer le comparateur (somme), le correcteur $C(p)$ , le procédé $G(p)$ et le capteur $H(p)$ .
Vérifier si le retour est unitaire ( $H = 1$ ) ou non.
2 Calculer la FTBO : $\text{FTBO} = C(p) \cdot G(p) \cdot H(p)$ .
Identifier le gain statique $K$ (valeur de la FTBO quand $p \to 0$ , hors intégrateurs).
3 Calculer la FTBF : $\text{FTBF} = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G \cdot H}$ .
Mettre sous forme canonique pour identifier gain, pulsation propre, amortissement.
4 Évaluer les performances : erreur statique $\varepsilon$ , temps de réponse à $5\%$ ( $t_{r,5\%}$ ), dépassement $D\%$ , temps de montée.
5 Choisir le correcteur : P seul → erreur résiduelle. PI → erreur nulle mais possible dépassement accru. PID → compromis optimal entre précision, rapidité et stabilité.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un système à retour unitaire a un procédé

G(p) = \dfrac{10}{1 + 2p}

et un correcteur P de gain

K_p = 5

. Calculer la FTBF et l'erreur statique.

Démarche :

$\text{FTBO} = K_p \cdot G(p) = \dfrac{50}{1 + 2p}$
$\text{FTBF} = \dfrac{50/(1+2p)}{1 + 50/(1+2p)} = \dfrac{50}{51 + 2p}$
Gain statique ( $p = 0$ ) : $\text{FTBF}(0) = \dfrac{50}{51} \approx 0{,}98$
$\varepsilon = 1 - \text{FTBF}(0) = \dfrac{1}{51} \approx 0{,}02$ soit $2\%$

Réponse :

\varepsilon \approx 2\%

📏 Relations fondamentales

\text{FTBF} = \dfrac{C(p) \cdot G(p)}{1 + C(p) \cdot G(p) \cdot H(p)}

— Boucle fermée

\varepsilon = \dfrac{1}{1 + K}

— Erreur statique (correcteur P, retour unitaire, entrée échelon)

C(p) = K_p + \dfrac{K_i}{p} + K_d \cdot p

— Correcteur PID

K = K_p \times G_0

— Gain de boucle (gain statique de la FTBO)

🎨 Illustration

Schéma-bloc et réponses indicielles comparées

Correcteurs P, PI, PID : erreur statique et dépassement

En haut, la structure générale d'un asservissement avec correcteur $C(p)$ (réglé en P, PI ou PID) et procédé $G(p)$ . En bas, la réponse à un échelon de consigne pour les trois réglages : le P se stabilise sous la consigne (erreur statique), le PI atteint la consigne mais avec un dépassement marqué, le PID l'atteint plus vite avec un dépassement réduit.

1 Correcteur P (proportionnel seul) : la boucle reste du 1er ordre, donc jamais de dépassement, mais une erreur statique subsiste toujours — $\varepsilon = \frac{1}{1+K} > 0$ quel que soit le gain de boucle $K$ choisi (formule du cours).
2 Correcteur PI : le terme intégral $K_i/p$ ajoute un pôle à l'origine qui annule l'erreur statique (la sortie rejoint la consigne), mais peut faire apparaître un dépassement plus marqué et ralentir la stabilisation.
3 Correcteur PID : le terme dérivé $K_d \cdot p$ amortit les oscillations introduites par l'intégrateur — dépassement réduit et stabilisation plus rapide qu'avec le PI seul, tout en conservant une erreur statique nulle.

Ce qu'il faut lire : Suis d'abord le trajet du signal dans le schéma-bloc (consigne → comparateur → correcteur → procédé → sortie, avec le retour du capteur H(p)), puis compare les trois courbes en bas : seule la courbe du P se stabilise sous la ligne pointillée de consigne, les trois courbes sont distinguées par leur tracé (pointillé fin, tirets, trait plein) et non par leur couleur.

Illustration qualitative des trois réglages P / PI / PID sur un même procédé de principe : les courbes respectent les propriétés démontrées dans le cours (erreur statique du P, annulation par l'intégrateur, amortissement par le dérivateur) mais ne sont pas le recalcul littéral de l'exemple chiffré du « Problème » du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne confonds pas gain de boucle $K$ (produit de tous les gains en boucle ouverte) et gain du correcteur $K_p$ seul !

✅ La suggestion

L'erreur statique $\varepsilon = \frac{1}{1+K}$ utilise le gain de BOUCLE ( $K = K_p \times G_0$ ). Autre piège : un gain trop élevé peut rendre le système instable (oscillations croissantes) — il faut toujours vérifier les marges de stabilité.

💡 À retenir

La FTBF se calcule toujours par $\dfrac{\text{chaîne directe}}{1 + \text{chaîne de retour (boucle)}}$ .
L'erreur statique diminue quand le gain de boucle $K$ augmente, mais ne s'annule qu'avec un intégrateur (PI ou PID).
Le terme dérivé (D) améliore la rapidité et réduit le dépassement, mais amplifie le bruit.
Un bon réglage PID est un compromis entre précision (I), rapidité (P) et stabilité (D).

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Régulation de température (four, climatisation), pilotage de drones, ABS automobile, régulation de vitesse — tout système nécessitant précision et stabilité.

Mots-clés associés : PIDCorrecteurSchéma-blocsErreur statiqueDépassementStabilité

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