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Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

Ec translation et rotation, travail d'une force, TEC

🏭 Application industrielle : Freinage automobile, balistique, crash-tests, dimensionnement de moteurs — tout calcul de vitesse atteinte ou de distance d'arrêt.

L'énergie cinétique quantifie l'énergie liée au mouvement d'un solide. C'est une grandeur scalaire, toujours positive ou nulle.

En translation : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ (en Joules). En rotation autour d'un axe fixe : $E_{c,\text{rot}} = \frac{1}{2} J \omega^2$ , où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s. Pour un mouvement combinant translation et rotation (ex. : une roue qui roule sans glisser), l'énergie cinétique totale est la somme des deux termes.

Le travail d'une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{d}$ est $W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$ , où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\vec{d}$ . Un travail positif (force motrice) accélère le système ; un travail négatif (force résistante, frottements) le freine. Si $\alpha = 90°$ , le travail est nul (force perpendiculaire au déplacement).

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) relie directement variation d'énergie cinétique et travaux : $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \sum W(\vec{F}_{\text{ext}})$ . Le TEC est souvent plus pratique que le PFD quand on cherche une vitesse finale ou une distance d'arrêt, car il évite de passer par les équations horaires.

📖 Vocabulaire clé

Énergie cinétique de translation :

E_c = \frac{1}{2} m v^2

(en J). Proportionnelle au carré de la vitesse : doubler

v

quadruple

E_c

Énergie cinétique de rotation :

E_{c,\text{rot}} = \frac{1}{2} J \omega^2

(en J).

J

est le moment d'inertie et

\omega

la vitesse angulaire.

Travail d'une force :

W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)

(en J). Positif si la force est motrice, négatif si elle est résistante (frottements), nul si perpendiculaire.

Théorème de l'énergie cinétique :

\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{\text{ext}})

— la variation d'énergie cinétique entre deux instants est égale à la somme algébrique de tous les travaux.

📋 Appliquer le TEC

1 État initial / État final : identifier les vitesses $v_i$ et $v_f$ (ou l'inconnue recherchée).
Exemple : freinage → $v_i = 20$ m/s, $v_f = 0$ .
2 Calculer $\Delta E_c$ : $\Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$ .
Si le solide s'arrête : $\Delta E_c = -\frac{1}{2} m v_i^2$ (négatif = perte d'énergie).
3 Bilan des travaux : recenser toutes les forces qui travaillent. Calculer $W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$ pour chacune.
Les frottements donnent un travail négatif : $W_f = -f \times d$ .
4 Appliquer le TEC : $\Delta E_c = \sum W$ . Résoudre pour l'inconnue ( $v_f$ , $d$ , ou $F$ ).
5 Vérifier les signes : si $\Delta E_c > 0$ , le solide accélère ; si $\Delta E_c < 0$ , il ralentit. La distance d'arrêt est toujours positive.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une voiture de

1\,000

kg roule à

v_i = 20

m/s et freine jusqu'à l'arrêt (

v_f = 0

). La force de freinage est

F_f = 5\,000

N. Quelle est la distance d'arrêt ?

Démarche :

$\Delta E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times 0^2 - \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 = -200\,000$ J
$W_{\text{frein}} = -F_f \times d = -5000 \times d$
TEC : $-200\,000 = -5000 \times d$ , soit $d = 40$ m

Réponse :

d = 40

📏 Relations fondamentales

E_c = \dfrac{1}{2} m v^2

— Énergie cinétique de translation

E_{c,\text{rot}} = \dfrac{1}{2} J \omega^2

— Énergie cinétique de rotation

W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)

— Travail d'une force constante

\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{\text{ext}})

— Théorème de l'énergie cinétique

d_{\text{arrêt}} = \dfrac{m v_i^2}{2 F_f}

— Distance d'arrêt (freinage pur)

🎨 Illustration

Distance de freinage

Doubler la vitesse quadruple la distance de freinage

Courbe $d(v) = v^2/(2a)$ tracée à partir des valeurs de l'exemple du cours ( $m = 1\,000$ kg, $F_f = 5\,000$ N, donc $a = F_f/m = 5$ m/s²). Deux points sont marqués : $v = 20$ m/s (l'exemple du cours, $d = 40$ m) et $v = 40$ m/s, vitesse doublée, qui donne $d = 160$ m — exactement $4$ fois plus.

1 Vérification indépendante : $a = F_f/m = 5\,000/1\,000 = 5$ m/s². Pour $v=20$ m/s, $d = v^2/(2a) = 400/10 = 40$ m — exactement la valeur de l'exemple du cours.
2 Pour $v=40$ m/s (vitesse doublée), $d = 1\,600/10 = 160$ m, soit $4$ fois la distance à $20$ m/s : $d$ est proportionnelle à $v^2$ , pas à $v$ .
3 La courbe est calculée point par point (19 valeurs régulièrement espacées entre $0$ et $45$ m/s) à partir de la même formule que le cours, pas une esquisse approximative.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le point à

v=20

m/s (l'exemple du cours), puis celui à

v=40

m/s : la distance n'a pas doublé mais quadruplé, alors que la vitesse n'a fait que doubler.

Distance de freinage

d(v) = v^2/(2a)

avec

a=5

m/s² : doubler

v

(de

20

40

m/s) quadruple

d

(de

40

160

m).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'énergie cinétique est proportionnelle à $v^2$ , pas à $v$ !

✅ La suggestion

Si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par $4$ (et la distance de freinage aussi). Autre erreur fréquente : oublier le $\cos(\alpha)$ dans le calcul du travail — si la force est perpendiculaire au déplacement ( $\alpha = 90°$ ), son travail est nul, elle ne contribue donc pas à la variation d'énergie cinétique.

💡 À retenir

L'énergie cinétique est proportionnelle à $v^2$ : doubler la vitesse quadruple l'énergie (et la distance de freinage).
Le TEC relie directement travaux et variation de vitesse, sans passer par les équations horaires.
Un travail positif (force motrice) accélère le système, un travail négatif (frottements) le freine.
Quand utiliser le TEC plutôt que le PFD ? Quand on cherche une vitesse ou une distance sans avoir besoin de connaître $a(t)$ .

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Freinage automobile, balistique, crash-tests, dimensionnement de moteurs — tout calcul de vitesse atteinte ou de distance d'arrêt.

Mots-clés associés : Énergie cinétiqueTravailTECVitesseDistance d'arrêt

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