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Dynamique du solide (PFD)

2ème loi de Newton, théorème du centre de masse, PFD en rotation

🏭 Application industrielle : Dimensionnement de moteurs, freinage ABS, lancement de fusées, ascenseurs — tout système où la résultante des forces produit une accélération.
Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), ou 2ème loi de Newton, est le pilier de la mécanique en Sciences de l'Ingénieur. Il relie les forces extérieures exercées sur un solide à son accélération.

En translation, le théorème du centre de masse (ou théorème de la résultante dynamique) s'écrit : ∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \, \vec{a}_G, où a⃗G\vec{a}_G est l'accélération du centre de masse GG. Projeté sur un axe, cela donne ∑Fx=m ax\sum F_x = m \, a_x. Cette loi n'est valable que dans un référentiel galiléen (inertiel), c'est-à-dire en translation rectiligne uniforme par rapport aux étoiles fixes.

En rotation autour d'un axe fixe Δ\Delta, le PFD s'écrit : ∑MΔ(F⃗ext)=JΔ α\sum M_{\Delta}(\vec{F}_{\text{ext}}) = J_{\Delta} \, \alpha, où JΔJ_{\Delta} est le moment d'inertie par rapport à l'axe (en kg·m²) et α=dωdt\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} l'accélération angulaire (en rad/s²). Le moment d'inertie joue en rotation le même rôle que la masse en translation : plus JJ est grand, plus il est difficile d'accélérer angulairement le solide.

📖 Vocabulaire clé

PFD en translation : ∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \, \vec{a}_G — la résultante des forces extérieures est égale au produit de la masse par l'accélération du centre de masse. Valable uniquement dans un référentiel galiléen.
PFD en rotation : ∑MΔ=JΔ α\sum M_{\Delta} = J_{\Delta} \, \alpha — la somme des moments des forces par rapport à l'axe Δ\Delta est égale au produit du moment d'inertie par l'accélération angulaire.
Moment d'inertie : Grandeur scalaire JJ (en kg·m²) qui caractérise la résistance d'un solide à la mise en rotation autour d'un axe donné. Dépend de la géométrie et de la répartition de masse autour de cet axe.
Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel le PFD s'applique directement. Un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel héliocentrique est considéré galiléen.
Accélération angulaire : α=dωdt\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} (en rad/s²). Dérivée temporelle de la vitesse angulaire ω\omega.

📋 Appliquer le PFD

  1. 1 Isoler le système : identifier le solide étudié, sa masse mm et, si rotation, son moment d'inertie JΔJ_{\Delta}.
    Exemple : un chariot sur un rail → solide de masse mm.
  2. 2 Vérifier le référentiel : s'assurer que le référentiel choisi est galiléen (terrestre en première approximation).
  3. 3 Bilan des forces : recenser toutes les forces extérieures (poids P⃗=mg⃗\vec{P} = m\vec{g}, tension, frottements, poussée motrice, réaction du support, etc.).
    Ne pas oublier les forces de frottement qui s'opposent toujours au mouvement.
  4. 4 Choisir un repère et projeter : orienter les axes (sens positif = sens du mouvement prévu). En translation, projeter ∑F⃗=ma⃗\sum \vec{F} = m \vec{a} sur chaque axe. En rotation, sommer les moments par rapport à l'axe Δ\Delta.
  5. 5 Résoudre : isoler l'inconnue (aa, FF, mm, α\alpha ou JJ) et calculer numériquement. Vérifier l'homogénéité des unités.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un chariot de 55 kg est tiré par une force horizontale F=20F = 20 N sur un plan horizontal avec des frottements f=5f = 5 N. Déterminer l'accélération.
Démarche :
  1. Bilan des forces projeté sur l'axe horizontal : F−f=maF - f = m a
  2. Application numérique : 20−5=5×a20 - 5 = 5 \times a
  3. 15=5a15 = 5a donc a=3a = 3 m/s²
Réponse : a=3a = 3 m/s²

📏 Relations fondamentales

∑F⃗ext=m a⃗G\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \, \vec{a}_G — PFD en translation (théorème du centre de masse)
∑MΔ(F⃗ext)=JΔ α\sum M_{\Delta}(\vec{F}_{\text{ext}}) = J_{\Delta} \, \alpha — PFD en rotation autour d'un axe fixe
Jcylindre=12mR2J_{\text{cylindre}} = \dfrac{1}{2} m R^2 — Moment d'inertie d'un cylindre plein
Jspheˋre=25mR2J_{\text{sphère}} = \dfrac{2}{5} m R^2 — Moment d'inertie d'une sphère pleine
a=∑Fma = \dfrac{\sum F}{m} — Accélération en translation

🎨 Illustration

Bilan des forces — exemple du cours
Chariot tiré sur un sol horizontal

Le chariot de l'exemple du cours (m=5m = 5 kg, F=20F = 20 N, f=5f = 5 N) est isolé et son bilan des forces est représenté au niveau du centre de masse GG : le poids P⃗\vec{P}, la réaction normale N⃗\vec{N}, la force motrice F⃗\vec{F} et le frottement f⃗\vec{f}.

Bilan des forces sur un chariot tire sur un sol horizontal Un chariot de masse m egale 5 kilogrammes repose sur un sol horizontal fixe. Quatre vecteurs partent du centre de masse G : le poids P vers le bas, la reaction normale N vers le haut, de meme longueur que P car il n'y a pas d'acceleration verticale, la force motrice F horizontale vers la droite dans le sens du mouvement, et la force de frottement f horizontale vers la gauche, opposee au mouvement et plus courte que F puisque F vaut 20 newtons et f vaut 5 newtons. Une fleche en pointilles au-dessus du chariot indique le sens du mouvement, vers la droite. sens du mouvement Sol horizontal (référentiel galiléen) x m = 5 kg G N P F f
  • 1 Verticalement, le chariot ne décolle pas et ne s'enfonce pas dans le sol : P⃗\vec{P} et N⃗\vec{N} se compensent exactement, donc N=PN = P.
  • 2 Horizontalement, FF l'emporte sur ff (2020 N contre 55 N) : c'est cet écart F−f=15F - f = 15 N qui produit l'accélération a=3a = 3 m/s² calculée dans l'exemple du cours.
  • 3 Les longueurs des flèches sont schématiques (non strictement à l'échelle) mais respectent le sens et l'ordre de grandeur relatif de chaque force.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord la flèche en pointillés qui indique le sens du mouvement, puis observe les deux couples de forces opposées : P⃗\vec{P} et N⃗\vec{N} à la verticale, F⃗\vec{F} et f⃗\vec{f} à l'horizontale.
Bilan des forces sur le chariot de l'exemple du cours, isolé sur un sol horizontal supposé galiléen.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne confonds pas masse et poids !

✅ La suggestion

Le poids P=mgP = mg est une force (en Newtons), tandis que la masse mm est en kilogrammes. Dans ∑F=ma\sum F = ma, c'est bien la masse qui intervient. Autre piège classique : oublier les forces de frottement dans le bilan, ou appliquer le PFD dans un référentiel non galiléen sans ajouter les pseudo-forces (force centrifuge, Coriolis).

💡 À retenir

  • Le PFD relie forces et accélération : ∑F=ma\sum F = m a en translation, ∑M=Jα\sum M = J \alpha en rotation.
  • Le moment d'inertie JJ dépend de la géométrie du solide ET de la position de l'axe de rotation.
  • Le PFD n'est valable que dans un référentiel galiléen — sinon il faut ajouter des pseudo-forces.
  • Toujours bien orienter le repère et faire un bilan complet des forces AVANT de projeter.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Dimensionnement de moteurs, freinage ABS, lancement de fusées, ascenseurs — tout système où la résultante des forces produit une accélération.

Mots-clés associés : PFDForceMasseAccélérationNewtonMoment d'inertie
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