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Analyse fréquentielle (Bode)

Gain en dB, phase, fréquence de coupure, 1er et 2nd ordre

🏭 Application industrielle : Filtrage audio (égaliseurs, enceintes), télécommunications (bande passante), capteurs industriels (filtrage du bruit), systèmes asservis (marges de stabilité).
Le diagramme de Bode est l'outil fondamental de l'analyse fréquentielle en automatique et en électronique. Il représente le comportement d'un système linéaire en fonction de la fréquence (ou de la pulsation ω\omega) sur une échelle logarithmique.

Il comprend deux courbes :
- Le gain : GdB=20log⁡∣H(jω)∣G_{\text{dB}} = 20 \log|H(j\omega)| (en décibels). Un gain de 00 dB signifie ∣H∣=1|H| = 1 ; un gain de 2020 dB signifie ∣H∣=10|H| = 10 ; un gain de −20-20 dB signifie ∣H∣=0,1|H| = 0{,}1.
- La phase : φ=arg⁡(H(jω))\varphi = \arg(H(j\omega)) (en degrés).

Système du 1er ordre (passe-bas) : H(jω)=H01+jω/ωcH(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\omega/\omega_c}. La pulsation de coupure est ωc\omega_c (ou fc=ωc/2πf_c = \omega_c / 2\pi). À ω=ωc\omega = \omega_c, le gain chute de −3-3 dB et la phase vaut −45°-45°. L'asymptote haute fréquence a une pente de −20-20 dB/décade. La phase varie de 0°0° (BF) à −90°-90° (HF).

Système du 2nd ordre : H(jω)=H01+2mjωω0+(jωω0)2H(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + 2m\dfrac{j\omega}{\omega_0} + \left(\dfrac{j\omega}{\omega_0}\right)^2}, où mm est le coefficient d'amortissement et ω0\omega_0 la pulsation propre. Si m<0,707m < 0{,}707, il y a une résonance (pic de gain) au voisinage de ω0\omega_0. Le facteur de qualité est Q=12mQ = \dfrac{1}{2m}. L'asymptote HF a une pente de −40-40 dB/décade et la phase varie de 0°0° à −180°-180°.

📖 Vocabulaire clé

Gain en décibels : GdB=20log⁡∣H(jω)∣G_{\text{dB}} = 20 \log|H(j\omega)|. Échelle logarithmique : 00 dB ⇔∣H∣=1\Leftrightarrow |H| = 1, 2020 dB ⇔∣H∣=10\Leftrightarrow |H| = 10, −6-6 dB ⇔∣H∣≈0,5\Leftrightarrow |H| \approx 0{,}5.
Fréquence de coupure : Pulsation ωc\omega_c (ou fréquence fc=ωc/2πf_c = \omega_c / 2\pi) à laquelle le gain a chuté de 33 dB par rapport au gain maximal. Définit la limite de la bande passante.
Passe-bas du 1er ordre : H(jω)=H01+jω/ωcH(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\omega/\omega_c}. Pente asymptotique : −20-20 dB/décade. Phase à ωc\omega_c : −45°-45°.
Passe-bas du 2nd ordre : H(jω)=H01+2m(jω/ω0)+(jω/ω0)2H(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + 2m (j\omega/\omega_0) + (j\omega/\omega_0)^2}. Pente HF : −40-40 dB/décade. Résonance si m<0,707m < 0{,}707.
Facteur de qualité : Q=12mQ = \dfrac{1}{2m} — caractérise l'acuité de la résonance. Plus QQ est grand (mm petit), plus le pic de résonance est prononcé.

📋 Tracer et exploiter un diagramme de Bode

  1. 1 Identifier H(jω)H(j\omega) : écrire la fonction de transfert sous forme canonique. Identifier l'ordre (1er ou 2nd) et les paramètres (H0H_0, ωc\omega_c ou ω0\omega_0, mm).
  2. 2 Gain statique : calculer H0=∣H(0)∣H_0 = |H(0)| et G0=20log⁡(H0)G_0 = 20 \log(H_0) dB.
    Exemple : H0=10⇒G0=20H_0 = 10 \Rightarrow G_0 = 20 dB.
  3. 3 Pulsation de coupure / propre : 1er ordre → ωc\omega_c dans le dénominateur. 2nd ordre → ω0=coeff. de ω2\omega_0 = \sqrt{\text{coeff. de } \omega^2} et m=coeff. de jω/(2ω0)m = \text{coeff. de } j\omega/(2\omega_0).
  4. 4 Tracer les asymptotes : BF → horizontale à G0G_0. HF → pente −20-20 dB/déc (1er ordre) ou −40-40 dB/déc (2nd ordre). Raccordement à ωc\omega_c (−3-3 dB) ou ω0\omega_0.
  5. 5 Phase : 1er ordre → de 0°0° à −90°-90°, passant par −45°-45° à ωc\omega_c. 2nd ordre → de 0°0° à −180°-180°, passant par −90°-90° à ω0\omega_0.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un filtre passe-bas du 1er ordre a un gain statique H0=10H_0 = 10 et une pulsation de coupure ωc=100\omega_c = 100 rad/s. Déterminer G0G_0, fcf_c et les caractéristiques à ωc\omega_c.
Démarche :
  1. G0=20log⁡(10)=20G_0 = 20 \log(10) = 20 dB
  2. fc=ωc2π=1002π≈15,9f_c = \dfrac{\omega_c}{2\pi} = \dfrac{100}{2\pi} \approx 15{,}9 Hz
  3. À ω=ωc\omega = \omega_c : G=G0−3=17G = G_0 - 3 = 17 dB, ∣H∣=H0/2≈7,07|H| = H_0/\sqrt{2} \approx 7{,}07 et φ=−45°\varphi = -45°
Réponse : G0=20G_0 = 20 dB, fc≈15,9f_c \approx 15{,}9 Hz, gain à la coupure : 1717 dB

📏 Relations fondamentales

GdB=20log⁡∣H(jω)∣G_{\text{dB}} = 20 \log|H(j\omega)| — Gain en décibels
fc=ωc2πf_c = \dfrac{\omega_c}{2\pi} — Fréquence de coupure (Hz)
H(jω)=H01+jω/ωcH(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\omega/\omega_c} — Passe-bas 1er ordre (−20-20 dB/déc)
∣H(jωc)∣=H02|H(j\omega_c)| = \dfrac{H_0}{\sqrt{2}} — Module à la coupure (−3-3 dB)
Q=12mQ = \dfrac{1}{2m} — Facteur de qualité (2nd ordre)

🎨 Illustration

Diagramme de Bode
Filtre passe-bas du 1er ordre : H0 = 10, ωc = 100 rad/s

Les deux courbes (gain et phase) partagent le même axe des fréquences, en échelle logarithmique. Le tracé en pointillés donne les asymptotes ; la courbe pleine est la réponse réelle du filtre.

Diagramme de Bode d'un filtre passe-bas du 1er ordre Deux courbes empilées, gain en decibels et phase en degres, en fonction de la pulsation en echelle logarithmique de 1 a 10000 rad/s. Le gain part d'un plateau a 20 dB puis chute a -20 dB par decade au-dela de 100 rad/s ; la phase passe de 0 a -90 degres en valant -45 degres a 100 rad/s. 1 10 10² 10³ 10⁴ ω (rad/s) 20 0 -20 G (dB) 0° -45° -90° φ (°) Gain Phase ωc = 100 rad/s 17 dB -45°
  • 1 Le gain part du plateau G0 = 20 dB en basse fréquence, puis chute avec une pente de -20 dB/décade au-delà de ωc.
  • 2 Au point de coupure ωc = 100 rad/s, le gain réel vaut 17 dB — 3 dB sous l'intersection des deux asymptotes, jamais pile sur le coin.
  • 3 La phase passe de 0° à -90°, en valant exactement -45° à ωc : c'est le point d'inflexion de la courbe.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux asymptotes en pointillés : leur intersection donne ωc. La vraie courbe (trait plein) passe toujours 3 dB en dessous de ce coin.
Diagramme de Bode du filtre H(jω) = 10 / (1 + jω/100) — gain (haut) et phase (bas) en fonction de ω, échelle logarithmique.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne confonds pas pulsation ω\omega (en rad/s) et fréquence ff (en Hz) !

✅ La suggestion

On a ω=2πf\omega = 2\pi f. La conversion fc=ωc/(2π)f_c = \omega_c / (2\pi) est souvent source d'erreur par oubli du 2π2\pi. Autre piège : le gain en dB utilise 20log⁡20 \log pour un gain en tension/amplitude, mais 10log⁡10 \log pour un gain en puissance — en SI on utilise presque toujours 20log⁡20 \log.

💡 À retenir

  • Le gain en dB convertit un rapport d'amplitude en échelle logarithmique : G=20log⁡∣H∣G = 20 \log|H|.
  • La fréquence de coupure à −3-3 dB définit la limite de la bande passante.
  • Un 1er ordre : pente −20-20 dB/déc, phase de 0°0° à −90°-90°. Un 2nd ordre : pente −40-40 dB/déc, phase de 0°0° à −180°-180°.
  • Un 2nd ordre avec m<0,707m < 0{,}707 présente une résonance (pic de gain). Le facteur de qualité Q=1/(2m)Q = 1/(2m) mesure l'acuité du pic.

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Filtrage audio (égaliseurs, enceintes), télécommunications (bande passante), capteurs industriels (filtrage du bruit), systèmes asservis (marges de stabilité).

Mots-clés associés : BodeGainPhaseFréquence de coupureDécibelFacteur de qualité
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