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Transmission de puissance

Engrenages, courroies, vis-écrou, rapport de réduction, rendement

🏭 Application industrielle : Boîte de vitesses automobile, réducteur de robot, vélo (dérailleur), convoyeur industriel, éolienne — tout mécanisme convertissant vitesse et couple.

La transmission de puissance consiste à transférer le mouvement de rotation d'un arbre moteur (entrée) vers un arbre récepteur (sortie) en adaptant la vitesse et le couple. Les trois systèmes principaux sont les engrenages, les courroies-poulies et les vis-écrou.

Le rapport de transmission (ou rapport de réduction) est : $r = \dfrac{\omega_s}{\omega_e} = \dfrac{N_s}{N_e}$ . Pour un engrenage simple : $r = \pm \dfrac{Z_e}{Z_s}$ , où $Z$ est le nombre de dents. Le signe dépend du type d'engrenage : pour un engrenage extérieur (dentures opposées), les sens de rotation sont inversés ( $r < 0$ en convention signée, ou on prend $|r|$ et on note l'inversion séparément). Pour un engrenage intérieur, les deux roues tournent dans le même sens. Pour une courroie : $r = \dfrac{D_e}{D_s}$ (même sens de rotation) ; pour une courroie croisée, le sens est inversé.

Si $|r| < 1$ → réducteur (vitesse diminuée, couple augmenté). Si $|r| > 1$ → multiplicateur. La puissance se conserve aux pertes près : $P_s = \eta \times P_e$ , où $\eta$ est le rendement ( $0 < \eta \leq 1$ ). La relation fondamentale couple-puissance est $P = C \times \omega$ , d'où $C = \dfrac{P}{\omega}$ . Le couple de sortie s'exprime : $C_s = \dfrac{\eta}{|r|} \times C_e$ .

Pour un système vis-écrou, le mouvement de rotation est converti en translation. Le pas $p$ (en mm/tour) donne : $v = \dfrac{p \times N}{60}$ (en mm/s, avec $N$ en tr/min).

📖 Vocabulaire clé

Rapport de transmission :

r = \dfrac{\omega_s}{\omega_e} = \dfrac{N_s}{N_e}

. Pour un engrenage :

|r| = \dfrac{Z_e}{Z_s}

. Si

|r| < 1

: réducteur ; si

|r| > 1

: multiplicateur.

Rendement :

\eta = \dfrac{P_s}{P_e}

— rapport entre puissance utile en sortie et puissance fournie en entrée. Les pertes (

1 - \eta

) sont dues aux frottements et à l'échauffement.

Couple de sortie :

C_s = \dfrac{\eta}{|r|} \times C_e

(en N·m). Un réducteur (

|r| < 1

) multiplie le couple par

\dfrac{1}{|r|}

(facteur

> 1

), modulo le rendement.

Train d'engrenages : Enchaînement de plusieurs étages d'engrenages. Le rapport global est le produit des rapports :

r_{\text{total}} = r_1 \times r_2 \times \ldots

Le rendement global est le produit des rendements.

Système vis-écrou : Convertit une rotation en translation. Vitesse de translation :

v = p \times N / 60

(mm/s), où

p

est le pas (mm/tour) et

N

la vitesse de rotation (tr/min).

📋 Calculer une transmission

1 Identifier entrée et sortie : arbre moteur (entrée, indice $e$ ) et arbre récepteur (sortie, indice $s$ ).
Repérer le type de transmission (engrenages, courroie, vis-écrou).
2 Calculer le rapport : engrenage → $|r| = \dfrac{Z_e}{Z_s}$ ; courroie-poulie → $r = \dfrac{D_e}{D_s}$ ; train d'engrenages → $r_{\text{total}} = \prod r_i$ .
Pour un engrenage extérieur, noter l'inversion du sens de rotation.
3 Vitesse de sortie : $\omega_s = |r| \times \omega_e$ (ou $N_s = |r| \times N_e$ en tr/min).
4 Puissance de sortie : $P_s = \eta \times P_e$ . Pour un train, $\eta_{\text{total}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \ldots$
5 Couple de sortie : $C_s = \dfrac{P_s}{\omega_s} = \dfrac{\eta}{|r|} \times C_e$ .
Vérification : un réducteur ( $|r| < 1$ ) donne $C_s > C_e$ (multiplication du couple).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un moteur tourne à

N_e = 3000

tr/min et entraîne un pignon de

Z_e = 20

dents engrenant avec une roue de

Z_s = 60

dents. Rendement

\eta = 0{,}95

. Calculer la vitesse de sortie et le facteur de multiplication du couple.

Démarche :

$|r| = \dfrac{Z_e}{Z_s} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$
$N_s = |r| \times N_e = \dfrac{1}{3} \times 3000 = 1000$ tr/min
Facteur couple : $\dfrac{\eta}{|r|} = \dfrac{0{,}95}{1/3} = 2{,}85$ . Le couple est multiplié par $2{,}85$ .

Réponse :

|r| = 1/3

N_s = 1000

tr/min, couple multiplié par

2{,}85

📏 Relations fondamentales

r = \dfrac{\omega_s}{\omega_e} = \dfrac{Z_e}{Z_s}

— Rapport de transmission (engrenage)

P = C \times \omega

— Relation couple-puissance

P_s = \eta \times P_e

— Conservation de la puissance avec rendement

C_s = \dfrac{\eta}{|r|} \times C_e

— Couple de sortie

v = \dfrac{p \times N}{60}

— Vitesse linéaire (vis-écrou,

p

en mm/tour)

🎨 Illustration

Transmission mécanique

Deux technologies, même rapport r = 1/3 : engrenage (sens opposés) vs courroie (même sens)

À gauche, un engrenage extérieur à deux roues dentées (20 et 60 dents, l'exemple du cours) inverse le sens de rotation. À droite, un système courroie-poulie (40 et 120 mm de diamètre) conserve le même sens. Les deux exemples partagent volontairement le même rapport de transmission $r = 1/3$ , recalculé indépendamment pour chaque cas.

1 Vérification indépendante : engrenage $r = Z_e/Z_s = 20/60 = 1/3$ (valeurs de l'exemple du cours), courroie $r = D_e/D_s = 40/120 = 1/3$ — les deux exemples partagent volontairement le même rapport pour comparer les deux technologies à parité.
2 Engrenage extérieur : les deux cercles primitifs sont tangents (contact direct), les flèches $\omega_e$ et $\omega_s$ tournent en sens opposés.
3 Courroie ouverte (non croisée) : la courroie relie les deux poulies sans croisement, les deux flèches $\omega_e$ et $\omega_s$ tournent dans le même sens.
4 Convention de schéma : chaque roue dentée est représentée par son cercle primitif (trait plein) et son cercle de tête (pointillé) — la denture réelle n'est pas dessinée dent par dent. Les diamètres de poulie ( $40$ mm / $120$ mm) sont des valeurs illustratives cohérentes avec $r=1/3$ , le cours ne fixant pas de valeurs numériques pour l'exemple courroie.

Ce qu'il faut lire : Compare d'abord la taille des deux roues ou poulies (le rapport des rayons donne directement

r

), puis observe le sens des flèches de rotation : engrenage = sens opposés, courroie = même sens.

Engrenage extérieur (

Z_e=20

Z_s=60

r=1/3

, sens opposés) et système courroie-poulie (

D_e=40

mm,

D_s=120

mm,

r=1/3

, même sens) — même rapport de transmission, deux technologies différentes.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention au sens du rapport !

✅ La suggestion

$|r| = Z_e / Z_s$ donne $|\omega_s / \omega_e|$ . Si on inverse ( $Z_s / Z_e$ ), on obtient le rapport inverse. Pour un réducteur, $Z_s > Z_e$ donc $|r| < 1$ . Autre erreur classique : oublier le rendement $\eta$ dans le calcul du couple de sortie — sans $\eta$ , le couple est surestimé. Enfin, pour un engrenage extérieur, ne pas oublier l'inversion du sens de rotation.

💡 À retenir

Un réducteur ( $|r| < 1$ ) diminue la vitesse et augmente le couple. Un multiplicateur ( $|r| > 1$ ) fait l'inverse.
Le rapport global d'un train d'engrenages est le produit des rapports élémentaires, le rendement global le produit des rendements.
Pour un engrenage extérieur, le sens de rotation est inversé à chaque étage.
La puissance se conserve ( $P = C \omega$ ) : réduire la vitesse multiplie le couple par $1/|r|$ .

🏭 Application industrielle

Où retrouve-t-on ce principe en ingénierie ?
Boîte de vitesses automobile, réducteur de robot, vélo (dérailleur), convoyeur industriel, éolienne — tout mécanisme convertissant vitesse et couple.

Mots-clés associés : EngrenageCourroieRapport de réductionCoupleVitesseRendement

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