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Systèmes d'équations

Substitution, combinaison, deux inconnues

🔬 Application physique-chimie : Lois de Kirchhoff (tensions et courants), mélange de solutions, bilan forces

Un système de deux équations à deux inconnues apparaît dès qu'un problème lie deux quantités par deux relations indépendantes. On dispose de deux méthodes : la substitution et la combinaison (addition).

La substitution isole une variable dans une équation et la remplace dans l'autre. La combinaison multiplie une équation par un coefficient pour éliminer directement une variable — plus rapide quand les coefficients s'y prêtent.

En physique, les lois de Kirchhoff (circuits électriques) et les bilans de mélange (chimie) donnent naturellement des systèmes.

Vérification obligatoire : réinjecter les valeurs dans LES DEUX équations — une erreur peut satisfaire l'une mais pas l'autre.

📖 Vocabulaire clé

Système d'équations : Ensemble de deux équations à deux inconnues (

x

y

) que l'on doit résoudre simultanément. La solution est le couple

(x\,;\,y)

qui vérifie les deux équations en même temps.

Substitution : Méthode qui consiste à isoler une inconnue dans une équation (par exemple

y = 7 - 2x

) puis à remplacer cette expression dans l'autre équation pour ne garder qu'une seule inconnue.

Combinaison (addition) : Méthode qui consiste à multiplier une ou deux équations par des coefficients bien choisis, puis à les additionner pour éliminer directement une inconnue.

Solution du système : Le couple

(x\,;\,y)

qui satisfait les deux équations simultanément. Un système peut avoir une solution unique, aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).

📋 Deux méthodes

1 Méthode 1 — Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre (ex. $y = 7 - 2x$ ), puis substituer dans la 2e équation pour n'avoir qu'une seule inconnue.
2 Méthode 2 — Combinaison : multiplier une équation par un coefficient bien choisi, puis additionner les deux équations pour éliminer directement une inconnue.
3 Vérification obligatoire : réinjecter les valeurs trouvées dans les deux équations de départ. Une seule vérification ne suffit pas !

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre le système

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}

par la méthode de combinaison.

Démarche :

Addition des deux équations : $(2x + y) + (x - y) = 7 + 2$ , soit $3x = 9$ , donc $x = 3$ .
Substitution de $x$ dans la 2e équation : $3 - y = 2$ , donc $y = 1$ .
Vérification : dans la 1ère : $2(3) + 1 = 7$ ✓ ; dans la 2e : $3 - 1 = 2$ ✓. Le couple $(3\,;\,1)$ est bien la solution.

Réponse : La solution du système est

(x\,;\,y) = (3\,;\,1)

📐 Formules clés

\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}

Par substitution :

x = \dfrac{c - by}{a}

puis substituer.

Par combinaison : multiplier pour éliminer une variable.

🎨 Illustration

Résolution graphique

Deux droites, un point d'intersection : la solution du système

Le système $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$ de l'exemple du cours, résolu ici graphiquement : chaque droite représente une équation, et leur point commun est la solution.

1 La droite D1 représente l'équation $2x + y = 7$ ; la droite D2 représente $x - y = 2$ .
2 Le point d'intersection $S(3\,;\,1)$ est l'unique couple qui appartient aux deux droites, donc qui vérifie les deux équations en même temps.
3 Vérification : $2 \times 3 + 1 = 7$ ✓ et $3 - 1 = 2$ ✓ — cela confirme la solution trouvée par combinaison dans le cours.

Ce qu'il faut lire : Repère l'unique point où les deux droites se croisent : c'est le seul point du plan qui appartient à la fois à D1 et à D2, donc l'unique solution du système.

Représentation graphique du système

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}

: les droites se croisent en

(x\,;\,y)=(3\,;\,1)

, solution trouvée par combinaison dans l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Oublier de vérifier les solutions dans les deux équations.

✅ La suggestion

Une erreur de calcul dans la substitution peut donner un résultat faux qui satisfait une équation mais pas l'autre. La vérification ne prend que 30 secondes et évite les erreurs.

💡 À retenir

Deux méthodes : la substitution isole puis remplace ; la combinaison multiplie puis additionne pour éliminer une inconnue.
Vérification obligatoire : toujours tester le couple trouvé dans les DEUX équations de départ. Une seule ne suffit pas !
Cas particuliers : si les deux droites sont parallèles, le système n'a aucune solution ; si elles sont confondues, il en a une infinité.
En physique : les lois de Kirchhoff et les bilans de mélange donnent naturellement des systèmes à résoudre.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Lois de Kirchhoff (tensions et courants), mélange de solutions, bilan forces

Mots-clés associés : SystèmeSubstitutionAdditionÉliminationDeux inconnues

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