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Systèmes d'équations

Substitution, combinaison, deux inconnues

🔬 Application physique-chimie : Lois de Kirchhoff (tensions et courants), mélange de solutions, bilan forces
Au distributeur du lycée, tu prends 33 boissons et 22 sandwichs : le ticket affiche 1717 €. Un camarade prend 11 boisson et 44 sandwichs et paie 2424 €.

Combien coûte une boisson ?

Regarde d'abord ton seul ticket. Il dit que 3b+2s=173b + 2s = 17. C'est vrai si la boisson vaut 11 € et le sandwich 77 €. C'est tout aussi vrai si la boisson vaut 33 € et le sandwich 44 €. Et encore si elle vaut 55 € et le sandwich 11 €. Une seule information laisse une infinité de possibilités : elle ne suffit pas, et aucun calcul ne la rendra suffisante.

Maintenant ajoute le second ticket : b+4s=24b + 4s = 24. Parmi toutes les combinaisons compatibles avec le premier ticket, une seule l'est aussi avec le second. Les deux informations, prises ensemble, verrouillent la réponse — ici b=2b = 2 € et s=5,5s = 5{,}5 €, que tu peux vérifier sur les deux tickets.

C'est exactement cela, un système : deux inconnues exigent deux relations indépendantes. Une de moins, et le problème reste ouvert.

Un système de deux équations à deux inconnues apparaît donc dès qu'un problème lie deux quantités par deux relations. On dispose de deux méthodes pour le résoudre : la substitution et la combinaison (addition).

La substitution isole une variable dans une équation et la remplace dans l'autre. La combinaison multiplie une équation par un coefficient pour éliminer directement une variable — plus rapide quand les coefficients s'y prêtent.

En physique, les lois de Kirchhoff (circuits électriques) et les bilans de mélange (chimie) donnent naturellement des systèmes.

Vérification obligatoire : réinjecter les valeurs dans LES DEUX équations — une erreur peut satisfaire l'une mais pas l'autre.

📖 Vocabulaire clé

Système d'équations : Ensemble de deux équations à deux inconnues (xx et yy) que l'on doit résoudre simultanément. La solution est le couple (x ; y)(x\,;\,y) qui vérifie les deux équations en même temps.
Substitution : Méthode qui consiste à isoler une inconnue dans une équation (par exemple y=7−2xy = 7 - 2x) puis à remplacer cette expression dans l'autre équation pour ne garder qu'une seule inconnue.
Combinaison (addition) : Méthode qui consiste à multiplier une ou deux équations par des coefficients bien choisis, puis à les additionner pour éliminer directement une inconnue.
Solution du système : Le couple (x ; y)(x\,;\,y) qui satisfait les deux équations simultanément. Un système peut avoir une solution unique, aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).

📋 Deux méthodes

  1. 1 Méthode 1 — Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre (ex. y=7−2xy = 7 - 2x), puis substituer dans la 2e équation pour n'avoir qu'une seule inconnue.
  2. 2 Méthode 2 — Combinaison : multiplier une équation par un coefficient bien choisi, puis additionner les deux équations pour éliminer directement une inconnue.
  3. 3 Vérification obligatoire : réinjecter les valeurs trouvées dans les deux équations de départ. Une seule vérification ne suffit pas !

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre le système {2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} par la méthode de combinaison.
Démarche :
  1. Addition des deux équations : (2x+y)+(x−y)=7+2(2x + y) + (x - y) = 7 + 2, soit 3x=93x = 9, donc x=3x = 3.
  2. Substitution de xx dans la 2e équation : 3−y=23 - y = 2, donc y=1y = 1.
  3. Vérification : dans la 1re : 2(3)+1=72(3) + 1 = 7 ✓ ; dans la 2e : 3−1=23 - 1 = 2 ✓. Le couple (3 ; 1)(3\,;\,1) est bien la solution.
Réponse : La solution du système est (x ; y)=(3 ; 1)(x\,;\,y) = (3\,;\,1).

📐 Formules clés

{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
Par substitution : x=c−byax = \dfrac{c - by}{a} puis substituer.
Par combinaison : multiplier pour éliminer une variable.

🎨 Illustrations

Résolution graphique
Deux droites, un point d'intersection : la solution du système

Le système {2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases} de l'exemple du cours, résolu ici graphiquement : chaque droite représente une équation, et leur point commun est la solution.

Deux droites et leur point d'intersection Repere avec deux droites D1 d'equation 2x plus y egal 7 et D2 d'equation x moins y egal 2, qui se croisent au point de coordonnees 3 et 1, solution du systeme. x y 0 1 2 3 4 -2 1 3 5 7 S(3 ; 1) D1 : 2x + y = 7 D2 : x − y = 2
  • 1 La droite D1 représente l'équation 2x+y=72x + y = 7 ; la droite D2 représente x−y=2x - y = 2.
  • 2 Le point d'intersection S(3 ; 1)S(3\,;\,1) est l'unique couple qui appartient aux deux droites, donc qui vérifie les deux équations en même temps.
  • 3 Vérification : 2×3+1=72 \times 3 + 1 = 7 ✓ et 3−1=23 - 1 = 2 ✓ — cela confirme la solution trouvée par combinaison dans le cours.
Ce qu'il faut lire : Repère l'unique point où les deux droites se croisent : c'est le seul point du plan qui appartient à la fois à D1 et à D2, donc l'unique solution du système.
Représentation graphique du système {2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases} : les droites se croisent en (x ; y)=(3 ; 1)(x\,;\,y)=(3\,;\,1), solution trouvée par combinaison dans l'exemple du cours.
Les trois cas
Un système peut n'avoir aucune solution, ou en avoir une infinité

Deux droites du plan n'ont que trois façons de se placer l'une par rapport à l'autre, et un système à deux inconnues n'a donc que trois réponses possibles. Tomber sur « aucune solution » n'est pas s'être trompé : c'est une réponse complète.

Les trois positions possibles de deux droites Trois reperes identiques sont places cote a cote, avec le meme pas et le meme cadrage. Dans celui de gauche, les deux droites se croisent en un point unique, marque d'un rond plein, d'abscisse trois et d'ordonnee un : le systeme possede une solution et une seule. Dans celui du milieu, les deux droites montent exactement de la meme facon sans jamais se rencontrer : elles sont paralleles et distinctes, et le systeme n'a aucune solution. Dans celui de droite, les deux droites sont confondues, l'une exactement sur l'autre : toutes les deux representent la meme equation, et le systeme possede une infinite de solutions. Ce sont les trois seules configurations possibles pour deux droites du plan. une seule solution les droites se croisent ici le couple 3 et 1 aucune solution les droites sont paralleles elles ne se rencontrent jamais une infinite de solutions les droites sont confondues tous les points conviennent
  • 1 Deux droites qui se croisent : un seul point leur est commun, donc un seul couple vérifie les deux équations à la fois. C'est le cas ordinaire, celui de la figure du cours.
  • 2 Deux droites parallèles distinctes : aucun point commun, donc aucune solution. Au calcul, tu t'en aperçois en tombant sur quelque chose d'impossible, du genre 0=30 = 3. Ce n'est pas une erreur de ta part : c'est la réponse.
  • 3 Deux droites confondues : la seconde équation est un multiple de la première, elle ne dit donc rien de neuf. Tous les points de la droite conviennent, d'où une infinité de solutions. Au calcul, tu tombes sur 0=00 = 0.
  • 4 Les deux dernières vignettes sont exactement ce que l'on obtient quand les deux inconnues disparaissent ensemble pendant la résolution. Le réflexe à prendre est alors de regarder ce qui reste : si c'est faux, aucune solution ; si c'est vrai, une infinité.
  • 5 Il n'existe pas de quatrième cas. Deux droites du plan ne peuvent pas se couper en deux points, ni en trois : c'est pourquoi un système du premier degré ne répond jamais « deux solutions ».
Ce qu'il faut lire : Regarde uniquement la position relative des deux droites, jamais leurs équations. C'est elle qui décide du nombre de solutions, et les trois cas ci-dessus sont les seuls possibles.
Les trois positions possibles de deux droites : sécantes (une solution), parallèles distinctes (aucune), confondues (une infinité).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Oublier de vérifier les solutions dans les deux équations.

✅ La suggestion

Une erreur de calcul dans la substitution peut donner un résultat faux qui satisfait une équation mais pas l'autre. La vérification ne prend que 30 secondes et évite les erreurs.

💡 À retenir

  • Deux méthodes : la substitution isole puis remplace ; la combinaison multiplie puis additionne pour éliminer une inconnue.
  • Vérification obligatoire : toujours tester le couple trouvé dans les DEUX équations de départ. Une seule ne suffit pas !
  • Cas particuliers : si les deux droites sont parallèles, le système n'a aucune solution ; si elles sont confondues, il en a une infinité.
  • En physique : les lois de Kirchhoff et les bilans de mélange donnent naturellement des systèmes à résoudre.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Lois de Kirchhoff (tensions et courants), mélange de solutions, bilan forces

Mots-clés associés : SystèmeSubstitutionAdditionÉliminationDeux inconnues
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