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Théorème de Thalès

Triangles semblables, rapports de longueurs

🔬 Application physique-chimie : Optique géométrique : grandissement, lentilles, rayons lumineux
Comment mesurer la hauteur d'un arbre ou la largeur d'une rivière sans les traverser, juste avec un mètre et une observation ? En comparant des longueurs mesurables au sol (une ombre, un piquet) à une longueur inaccessible, on peut la retrouver par calcul — c'est l'application la plus ancienne du théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès est l'un des résultats les plus puissants de la géométrie : quand deux droites parallèles coupent deux sécantes issues d'un même point, tous les rapports de longueurs correspondants sont égaux.

Cette égalité permet de calculer n'importe quelle longueur inconnue dans une figure de triangles semblables. En pratique, Thalès apparaît partout : en optique (lentilles, grandissement), en topographie (mesure d'objets inaccessibles) et dans les plans à l'échelle.

La réciproque est tout aussi utile : elle permet de prouver que deux droites sont parallèles à partir des seules mesures.

Attention au cas « croisé » où le point OO est entre les deux parallèles : les rapports restent égaux, mais les mesures algébriques (avec signe) sont nécessaires.

📖 Vocabulaire clé

Configuration de Thalès : Figure formée par deux droites sécantes passant par un même point OO, coupées par deux droites parallèles (AB)(AB) et (A′B′)(A'B'). C'est la situation géométrique requise pour appliquer le théorème.
Rapport de Thalès : Le quotient OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB} qui est constant dans une configuration de Thalès. On dit que les longueurs sont proportionnelles.
Réciproque de Thalès : Si les points AA, A′A' sont sur une sécante et BB, B′B' sur l'autre, et que OA′OA=OB′OB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} avec les points du même côté de OO, alors (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B').
Grandissement : En optique, le rapport γ=A′B′AB\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} qui indique de combien l'image est agrandie (∣γ∣>1|\gamma| > 1) ou réduite (∣γ∣<1|\gamma| < 1). Si γ<0\gamma < 0, l'image est renversée.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Étape 1 : Identifier deux droites parallèles coupées par deux sécantes passant par le même point OO.
  2. 2 Étape 2 : Nommer les points : le point commun OO, les points sur une parallèle AA et BB, les points sur l'autre A′A' et B′B' (du même côté de OO).
  3. 3 Étape 3 : Appliquer l'égalité des rapports : OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB}.
  4. 4 Étape 4 : Calculer l'inconnue par produit en croix à partir de l'égalité choisie.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une configuration de Thalès, OO, AA, A′A' sont alignés et OO, BB, B′B' sont alignés avec (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B'). On donne : OA=4OA = 4 cm, OA′=6OA' = 6 cm et AB=5AB = 5 cm. Calculer A′B′A'B'.
Démarche :
  1. Identifier la configuration : (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B') et les deux sécantes passent par OO. On peut appliquer le théorème de Thalès.
  2. Écrire l'égalité des rapports : OA′OA=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{A'B'}{AB}, soit 64=A′B′5\dfrac{6}{4} = \dfrac{A'B'}{5}.
  3. Produit en croix : A′B′=5×64=5×1,5=7,5A'B' = 5 \times \dfrac{6}{4} = 5 \times 1{,}5 = 7{,}5 cm.
Réponse : A′B′=7,5A'B' = 7{,}5 cm.

📐 Formules clés

Si (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B') : OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB}
Grandissement optique : γ=A′B′AB=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Réciproque : si OA′OA=OB′OB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB}, alors (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B')

🎨 Illustration

Triangles semblables
Voir les longueurs correspondantes dans une configuration de Thalès

Les deux segments reliés en parallèle créent deux triangles semblables : on compare toujours des longueurs placées dans le même sens.

Configuration de Thales Le schema montre deux secantes issues du point O et deux segments paralleles AB et A'B'. O A B A' B' OA OA' OB OB' AB A'B' AB // A'B' OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB
  • 1 Le théorème direct commence toujours par le parallélisme : ici les segments ABAB et A′B′A'B' sont parallèles.
  • 2 On compare des longueurs correspondantes dans le même sens : grand sur grand ou petit sur petit, jamais un mélange des deux.
  • 3 La réciproque renverse la logique : si les rapports sont égaux et les points du même côté de OO, on peut conclure au parallélisme.
Ce qu'il faut lire : Le plus sûr est de suivre chaque sécante depuis OO : on lit d'abord la petite longueur, puis la grande qui lui correspond.
Configuration de Thalès avec deux sécantes, un segment intermédiaire et un segment parallèle plus éloigné.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention aux rapports : ils peuvent être négatifs en optique (image renversée).

✅ La suggestion

Le grandissement γ\gamma est négatif quand l'image est renversée. Ne jamais écrire juste ∣AB∣/∣A′B′∣|AB|/|A'B'| sans tenir compte des sens — utiliser les mesures algébriques.

💡 À retenir

  • Rapports cohérents : toujours écrire les rapports dans le même sens (grand sur petit ou petit sur grand), jamais mélangés.
  • Réciproque : elle sert à prouver que deux droites sont parallèles, à condition que les points soient du même côté de OO.
  • Grandissement en optique : le signe de γ\gamma indique si l'image est droite (γ>0\gamma > 0) ou renversée (γ<0\gamma < 0) ; sa valeur absolue donne le facteur d'agrandissement.
  • Configuration croisée : quand OO est entre les parallèles, les rapports restent égaux mais on utilise des mesures algébriques (avec signe).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Optique géométrique : grandissement, lentilles, rayons lumineux

Mots-clés associés : ThalèsDroites parallèlesRapportTriangles semblablesRéciproque
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