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Théorème de Thalès

Triangles semblables, rapports de longueurs

🔬 Application physique-chimie : Optique géométrique : grandissement, lentilles, rayons lumineux
Tu es devant la pyramide de Khéops. Elle fait plus de 130130 mètres de haut, ses faces sont inclinées, et tu n'as ni échelle, ni drone, ni télémètre : seulement un bâton et un mètre ruban.

Plante le bâton dans le sable. À ce moment précis, ton bâton de 11 mètre projette une ombre de 1,51{,}5 mètre, et l'ombre de la pyramide mesure 200200 mètres. Ces deux longueurs-là, tu peux les mesurer en marchant.

Voilà le point : les rayons du soleil arrivent parallèles. Le petit triangle « bâton-ombre » et le grand triangle « pyramide-ombre » ont donc exactement la même forme, l'un étant l'agrandissement de l'autre. Si l'ombre est 1,51{,}5 fois la hauteur pour le bâton, elle l'est aussi pour la pyramide — et la hauteur cherchée vaut 200÷1,5200 \div 1{,}5, soit environ 133133 mètres.

Tu viens de mesurer un monument sans le toucher. C'est ce raisonnement, et lui seul, que le théorème de Thalès met en forme.

Le théorème de Thalès est l'un des résultats les plus puissants de la géométrie : quand deux droites parallèles coupent deux sécantes issues d'un même point, tous les rapports de longueurs correspondants sont égaux.

Cette égalité permet de calculer n'importe quelle longueur inconnue dans une figure de triangles semblables. En pratique, Thalès apparaît partout : en optique (lentilles, grandissement), en topographie (mesure d'objets inaccessibles) et dans les plans à l'échelle.

La réciproque est tout aussi utile : elle permet de prouver que deux droites sont parallèles à partir des seules mesures.

Attention au cas « croisé » où le point OO est entre les deux parallèles : les rapports restent égaux, mais les mesures algébriques (avec signe) sont nécessaires.

📖 Vocabulaire clé

Configuration de Thalès : Figure formée par deux droites sécantes passant par un même point OO, coupées par deux droites parallèles (AB)(AB) et (A′B′)(A'B'). C'est la situation géométrique requise pour appliquer le théorème.
Rapport de Thalès : Le quotient OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB} qui est constant dans une configuration de Thalès. On dit que les longueurs sont proportionnelles.
Réciproque de Thalès : Si les points AA, A′A' sont sur une sécante et BB, B′B' sur l'autre, et que OA′OA=OB′OB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} avec les points du même côté de OO, alors (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B').
Grandissement : En optique, le rapport γ=A′B′AB\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} qui indique de combien l'image est agrandie (∣γ∣>1|\gamma| > 1) ou réduite (∣γ∣<1|\gamma| < 1). Si γ<0\gamma < 0, l'image est renversée.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Étape 1 : Identifier deux droites parallèles coupées par deux sécantes passant par le même point OO.
  2. 2 Étape 2 : Nommer les points : le point commun OO, les points sur une parallèle AA et BB, les points sur l'autre A′A' et B′B' (du même côté de OO).
  3. 3 Étape 3 : Appliquer l'égalité des rapports : OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB}.
  4. 4 Étape 4 : Calculer l'inconnue par produit en croix à partir de l'égalité choisie.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une configuration de Thalès, OO, AA, A′A' sont alignés et OO, BB, B′B' sont alignés avec (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B'). On donne : OA=4OA = 4 cm, OA′=6OA' = 6 cm et AB=5AB = 5 cm. Calculer A′B′A'B'.
Démarche :
  1. Identifier la configuration : (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B') et les deux sécantes passent par OO. On peut appliquer le théorème de Thalès.
  2. Écrire l'égalité des rapports : OA′OA=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{A'B'}{AB}, soit 64=A′B′5\dfrac{6}{4} = \dfrac{A'B'}{5}.
  3. Produit en croix : A′B′=5×64=5×1,5=7,5A'B' = 5 \times \dfrac{6}{4} = 5 \times 1{,}5 = 7{,}5 cm.
Réponse : A′B′=7,5A'B' = 7{,}5 cm.

📐 Formules clés

Si (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B') : OA′OA=OB′OB=A′B′AB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB}
Grandissement optique : γ=A′B′AB=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Réciproque : si OA′OA=OB′OB\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB}, alors (AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B')

🎨 Illustrations

Triangles semblables
Voir les longueurs correspondantes dans une configuration de Thalès

Les deux segments reliés en parallèle créent deux triangles semblables : on compare toujours des longueurs placées dans le même sens.

Configuration de Thales Le schema montre deux secantes issues du point O et deux segments paralleles AB et A'B'. O A B A' B' OA OA' OB OB' AB A'B' AB // A'B' OA'/OA = OB'/OB = A'B'/AB
  • 1 Le théorème direct commence toujours par le parallélisme : ici les segments ABAB et A′B′A'B' sont parallèles.
  • 2 On compare des longueurs correspondantes dans le même sens : grand sur grand ou petit sur petit, jamais un mélange des deux.
  • 3 La réciproque renverse la logique : si les rapports sont égaux et les points du même côté de OO, on peut conclure au parallélisme.
Ce qu'il faut lire : Le plus sûr est de suivre chaque sécante depuis OO : on lit d'abord la petite longueur, puis la grande qui lui correspond.
Configuration de Thalès avec deux sécantes, un segment intermédiaire et un segment parallèle plus éloigné.
Deux dessins, un seul théorème
Le papillon est une configuration de Thalès

À gauche, la configuration que tout le monde reconnaît : le petit triangle est emboîté dans le grand. À droite, le point OO est entre les deux parallèles, et la figure ressemble à un papillon. C'est la même situation, et le théorème s'y applique exactement pareil.

Configuration emboitee et configuration en papillon A gauche, deux droites secantes issues du point O vont vers la droite ; elles sont coupees par deux segments paralleles, le plus proche de O nomme A B et le plus eloigne nomme M N. Le petit triangle O A B est entierement contenu dans le grand triangle O M N. A droite, les memes deux droites secantes se croisent en O, mais le segment A B est d'un cote de O et le segment M N de l'autre cote : la figure forme deux triangles opposes par le sommet, en forme de papillon. Dans les deux cas les rapports de longueurs sont egaux et le theoreme de Thales s'applique de la meme facon. triangle emboîté O A B M N O hors des parallèles papillon O A B M N O entre les parallèles
  • 1 Dans les deux dessins, (AB)(AB) et (MN)(MN) sont parallèles et les deux sécantes passent par OO : c'est toute la condition du théorème.
  • 2 À gauche, MM et NN sont du même côté de OO que AA et BB. À droite, ils sont de l'autre côté.
  • 3 L'égalité OMOA=ONOB=MNAB\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB} s'écrit et se calcule à l'identique dans les deux cas.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur OO et suis une sécante : tu rencontres un point de la première parallèle, puis un point de la seconde. Que tu doives reculer ou avancer pour y aller ne change rien au calcul.
La même configuration de Thalès, vue dans ses deux dispositions : triangle emboîté et papillon.
Piège
Un rapport se lit toujours dans le même sens

L'égalité de Thalès met en jeu deux triangles, un petit et un grand. Écrire un rapport grand sur petit d'un côté et petit sur grand de l'autre donne une égalité fausse, et le résultat sort avec un facteur d'écart considérable.

Ecriture juste et ecriture fausse d'un rapport de Thales En haut, l'ecriture correcte : le rapport O M sur O A, qui vaut 9 divise par 6, est pose egal au rapport M N sur A B ; les deux quotients placent la grande longueur au numerateur, et le resultat cherche vaut 9 centimetres, donc bien plus que les 6 centimetres du segment A B. En dessous, en trait tirete et en teinte plus faible, l'ecriture fautive : le rapport O A sur O M, soit 6 divise par 9, est pose egal a M N sur A B ; les deux quotients ne sont pas orientes pareil, et le resultat obtenu, 4 centimetres, est plus petit que la longueur A B dont il est pourtant l'agrandissement. les deux quotients dans le même sens OM / OA = MN / AB donc 9 / 6 = MN / 6 MN = 9 cm le grand segment est plus grand les quotients sont retournés OA / OM = MN / AB donc 6 / 9 = MN / 6 MN = 4 cm le grand segment serait plus petit
  • 1 Données : OA=6OA = 6 cm, OM=9OM = 9 cm et AB=6AB = 6 cm, avec (AB)∥(MN)(AB) \parallel (MN).
  • 2 Écriture juste : OMOA=MNAB\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{MN}{AB}, soit 96=MN6\dfrac{9}{6} = \dfrac{MN}{6}, donc MN=9MN = 9 cm.
  • 3 Écriture fautive : OAOM=MNAB\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{MN}{AB} donne MN=4MN = 4 cm, un segment plus petit que ABAB alors qu'il en est l'agrandissement.
  • 4 Le contrôle qui sauve : avant d'écrire quoi que ce soit, demande-toi si la longueur cherchée doit être plus grande ou plus petite que celle qu'on te donne. Un résultat du mauvais côté signale l'erreur sans qu'on ait à relire le calcul.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux dernières lignes : le même énoncé, deux résultats, et un seul des deux est compatible avec le dessin.
Le calcul correct au-dessus, l'inversion des rapports en dessous, avec le résultat impossible qu'elle produit.
Réciproque
Rapports égaux ou droites parallèles, jamais à peu près

La réciproque n'est pas une comparaison de mesures, c'est un test d'égalité. Les deux figures ci-dessous partagent les mêmes sécantes et le même point AA ; seul le point MM change de place, et le parallélisme disparaît.

Rapports egaux et rapports inegaux A gauche, les deux rapports valent tous les deux 2 : les segments A B et M N sont exactement paralleles. A droite, le premier rapport vaut 2 et le second seulement 1 virgule 45 ; le segment M N penche nettement par rapport au segment A B, d'environ dix-huit degres, et les deux droites finiraient par se couper. La difference entre les deux rapports est petite en apparence mais le parallelisme, lui, est perdu. rapports égaux O A B M N 2 et 2 parallèles rapports inégaux O A B M N 2 et 1,45 non parallèles
  • 1 À gauche : OMOA=2\dfrac{OM}{OA} = 2 et ONOB=2\dfrac{ON}{OB} = 2. Les deux rapports sont égaux, donc (AB)∥(MN)(AB) \parallel (MN).
  • 2 À droite : OMOA=2\dfrac{OM}{OA} = 2 mais ONOB=1,45\dfrac{ON}{OB} = 1{,}45. Les rapports diffèrent, et le dessin s'ouvre de près de 18°18°.
  • 3 Il n'existe pas de « presque parallèle » : dès que les deux rapports diffèrent, les droites finissent par se couper.
  • 4 La réciproque exige aussi que MM et NN soient du même côté de OO — sans quoi les rapports peuvent être égaux sans que les droites le soient.
Ce qu'il faut lire : Prends une règle et prolonge les deux segments forts de la figure de droite : ils se rejoignent. À gauche, tu peux prolonger autant que tu veux, ils ne se rencontreront jamais.
Deux configurations aux mêmes sécantes : rapports égaux et droites parallèles à gauche, rapports inégaux et droites sécantes à droite.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Attention aux rapports : ils peuvent être négatifs en optique (image renversée).

✅ La suggestion

Le grandissement γ\gamma est négatif quand l'image est renversée. Ne jamais écrire juste ∣AB∣/∣A′B′∣|AB|/|A'B'| sans tenir compte des sens — utiliser les mesures algébriques.

💡 À retenir

  • Rapports cohérents : toujours écrire les rapports dans le même sens (grand sur petit ou petit sur grand), jamais mélangés.
  • Réciproque : elle sert à prouver que deux droites sont parallèles, à condition que les points soient du même côté de OO.
  • Grandissement en optique : le signe de γ\gamma indique si l'image est droite (γ>0\gamma > 0) ou renversée (γ<0\gamma < 0) ; sa valeur absolue donne le facteur d'agrandissement.
  • Configuration croisée : quand OO est entre les parallèles, les rapports restent égaux mais on utilise des mesures algébriques (avec signe).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Optique géométrique : grandissement, lentilles, rayons lumineux

Mots-clés associés : ThalèsDroites parallèlesRapportTriangles semblablesRéciproque
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