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Probabilités : calcul et événements

Union, intersection, complémentaire

La probabilité mesure la fréquence à long terme d'un événement dans une expérience aléatoire. En 4e, on apprend à combiner des événements : la réunion $A \cup B$ (« au moins l'un des deux se réalise ») et l'intersection $A \cap B$ (« les deux se réalisent simultanément »).

La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ évite de compter deux fois les résultats favorables aux deux événements à la fois. Deux événements sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ : ils ne peuvent jamais se produire ensemble, et la formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Enfin, $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ car $A$ et son contraire couvrent tous les cas possibles. Cette formule est très utile quand le contraire est plus simple à calculer que l'événement lui-même.

En pratique, les probabilités servent en météo (risque de pluie), en médecine (fiabilité d'un test), en ingénierie (risque de panne) et dans bien d'autres domaines.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers

\Omega

Événement : Sous-ensemble de l'univers

\Omega

. Un événement est réalisé si le résultat de l'expérience lui appartient.

Événements incompatibles : Deux événements

A

B

qui ne peuvent pas se produire simultanément :

A \cap B = \emptyset

Événement contraire : Le contraire de

A

, noté

\bar{A}

, est l'ensemble des résultats qui ne sont pas dans

A

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

📋 Méthode en 3 étapes

1 Définir les événements et l'univers $\Omega$ . Exemple : on lance un dé → $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . $A$ = « obtenir un pair » = $\{2, 4, 6\}$ .
2 Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et si nécessaire $P(A \cap B)$ . Exemple : $P(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ . Si $B$ = « obtenir un $6$ », alors $P(A \cap B) = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}$ .
3 Appliquer les formules : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Si incompatibles : $P(A \cap B) = 0$ . Exemple : $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un jeu de

32

cartes, on tire une carte au hasard.

A

= « obtenir un cœur » (

8

cartes) et

B

= « obtenir un roi » (

4

cartes). Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou un roi ?

Démarche :

$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ et $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ .
$A \cap B$ = « obtenir le roi de cœur » → $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ .
$P(A \cup B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{8 + 4 - 1}{32} = \dfrac{11}{32} \approx 0{,}34$ .

Réponse : La probabilité d'obtenir un cœur ou un roi est

\dfrac{11}{32} \approx 0{,}34

📐 Formules clés

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Événements incompatibles :

P(A \cap B) = 0 \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)

0 \leq P(A) \leq 1

P(\Omega) = 1

🎨 Illustration

Diagramme de Venn

Union et intersection sur l'exemple des cœurs et des rois

Dans un jeu de $32$ cartes : $A$ = « obtenir un cœur » ( $8$ cartes), $B$ = « obtenir un roi » ( $4$ cartes). La zone ombrée est l'intersection $A \cap B$ = « le roi de cœur », comptée une seule fois dans $P(A \cup B)$ .

1 L'ensemble $A$ = « tirer un cœur » contient $8$ cartes sur $32$ : $P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ .
2 L'ensemble $B$ = « tirer un roi » contient $4$ cartes sur $32$ : $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ .
3 La zone ombrée (l'intersection) est « le roi de cœur », une seule carte : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ .
4 En dehors des deux cercles : $32 - 11 = 21$ cartes qui ne sont ni un cœur ni un roi.

Ce qu'il faut lire : La zone ombrée n'est comptée qu'une seule fois :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{8+4-1}{32} = \dfrac{11}{32} \approx 0{,}34

Diagramme de Venn pour le tirage d'une carte dans un jeu de

32

cartes :

A

= cœur,

B

= roi, intersection ombrée = roi de cœur.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ne pas oublier de soustraire $P(A \cap B)$ dans la formule de l'union !

✅ La suggestion

Si on additionne simplement $P(A) + P(B)$ , on compte deux fois les cas où $A$ et $B$ se produisent simultanément.

💡 À retenir

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ (équiprobabilité).
Union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — ne pas oublier de soustraire l'intersection.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — utile quand le contraire est plus simple à calculer.

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