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Probabilités : calcul et événements

Union, intersection, complémentaire

Dans une classe, $60\,\%$ des élèves font du sport et $50\,\%$ jouent d'un instrument. Combien font l'un ou l'autre ?

En additionnant, on trouve $110\,\%$ — plus que la classe entière. Le calcul est pourtant simple, et le résultat est impossible.

L'erreur n'est pas dans l'addition : elle est dans le fait que certains élèves font les deux, et qu'on les a comptés deux fois. Tant qu'on ne sait pas nommer ni mesurer ce recouvrement, on ne peut pas répondre.

La probabilité mesure la fréquence à long terme d'un événement dans une expérience aléatoire. En 4e, on apprend à combiner des événements : la réunion $A \cup B$ (« au moins l'un des deux se réalise ») et l'intersection $A \cap B$ (« les deux se réalisent simultanément »).

La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ évite de compter deux fois les résultats favorables aux deux événements à la fois. Deux événements sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ : ils ne peuvent jamais se produire ensemble, et la formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Enfin, $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ car $A$ et son contraire couvrent tous les cas possibles. Cette formule est très utile quand le contraire est plus simple à calculer que l'événement lui-même.

En pratique, les probabilités servent en météo (risque de pluie), en médecine (fiabilité d'un test), en ingénierie (risque de panne) et dans bien d'autres domaines.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers

\Omega

Événement : Sous-ensemble de l'univers

\Omega

. Un événement est réalisé si le résultat de l'expérience lui appartient.

Événements incompatibles : Deux événements

A

B

qui ne peuvent pas se produire simultanément :

A \cap B = \emptyset

Événement contraire : Le contraire de

A

, noté

\bar{A}

, est l'ensemble des résultats qui ne sont pas dans

A

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

📋 Méthode en 3 étapes

1 Définir les événements et l'univers $\Omega$ . Exemple : on lance un dé → $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . $A$ = « obtenir un pair » = $\{2, 4, 6\}$ .
2 Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et si nécessaire $P(A \cap B)$ . Exemple : $P(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ . Si $B$ = « obtenir un $6$ », alors $P(A \cap B) = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}$ .
3 Appliquer les formules : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Si incompatibles : $P(A \cap B) = 0$ . Exemple : $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un jeu de

32

cartes, on tire une carte au hasard.

A

= « obtenir un cœur » (

8

cartes) et

B

= « obtenir un roi » (

4

cartes). Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou un roi ?

Démarche :

$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ et $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ .
$A \cap B$ = « obtenir le roi de cœur » → $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ .
$P(A \cup B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{8 + 4 - 1}{32} = \dfrac{11}{32} \approx 0{,}34$ .

Réponse : La probabilité d'obtenir un cœur ou un roi est

\dfrac{11}{32} \approx 0{,}34

📐 Formules clés

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Événements incompatibles :

P(A \cap B) = 0 \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)

0 \leq P(A) \leq 1

P(\Omega) = 1

🎨 Illustrations

Diagramme de Venn

Union et intersection sur l'exemple des cœurs et des rois

Dans un jeu de $32$ cartes : $A$ = « obtenir un cœur » ( $8$ cartes), $B$ = « obtenir un roi » ( $4$ cartes). La zone ombrée est l'intersection $A \cap B$ = « le roi de cœur », comptée une seule fois dans $P(A \cup B)$ .

1 L'ensemble $A$ = « tirer un cœur » contient $8$ cartes sur $32$ : $P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ .
2 L'ensemble $B$ = « tirer un roi » contient $4$ cartes sur $32$ : $P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$ .
3 La zone ombrée (l'intersection) est « le roi de cœur », une seule carte : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ .
4 En dehors des deux cercles : $32 - 11 = 21$ cartes qui ne sont ni un cœur ni un roi.

Ce qu'il faut lire : La zone ombrée n'est comptée qu'une seule fois :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{8+4-1}{32} = \dfrac{11}{32} \approx 0{,}34

Diagramme de Venn pour le tirage d'une carte dans un jeu de

32

cartes :

A

= cœur,

B

= roi, intersection ombrée = roi de cœur.

La réponse au 110 %

Ceux qui font les deux sont comptés deux fois

En additionnant les deux pourcentages, les élèves qui font du sport et de la musique entrent dans les deux paquets. Ils sont donc comptés deux fois, et c'est exactement l'excédent qu'il faut retrancher.

1 La zone commune appartient aux deux disques : elle est donc incluse une fois dans les $60\,\%$ et une fois dans les $50\,\%$ .
2 D'où la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Le signe moins ne corrige pas une erreur, il enlève un doublon.
3 Ici $60 + 50 - 10 = 100$ : le compte tombe juste, et plus aucun total impossible.

Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur la zone du milieu et demande-toi combien de fois tu l'as comptée en additionnant. Deux fois — donc il faut l'enlever une fois.

La zone commune est comptée deux fois dans la somme : on la retranche une fois pour obtenir la réunion.

Deux mots qu'on échange

Incompatibles ne veut pas dire indépendants

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : leurs zones ne se touchent pas. Deux événements indépendants peuvent très bien se produire ensemble ; c'est simplement que l'un ne renseigne pas sur l'autre.

1 Incompatibles signifie $P(A \cap B) = 0$ : la formule de la réunion se simplifie alors en $P(A) + P(B)$ .
2 À droite, tirer un cœur et tirer un roi sont compatibles : le roi de cœur réalise les deux à la fois.
3 Ne confonds pas avec l'indépendance, qui dit tout autre chose : savoir que $A$ s'est produit ne change pas la probabilité de $B$ .

Ce qu'il faut lire : Demande-toi simplement : « les deux peuvent-ils arriver en même temps ? » Si la réponse est non, les événements sont incompatibles et les disques ne se touchent pas.

Événements incompatibles (aucune zone commune) et événements compatibles (une zone commune).

Le complément

L'événement contraire, c'est tout le reste

L'événement contraire de $A$ occupe tout ce qui n'est pas $A$ dans le rectangle des possibles. Comme les deux se partagent la totalité sans se chevaucher, leurs probabilités s'ajoutent forcément à $1$ .

1 Les deux zones ne se chevauchent jamais et ne laissent aucun trou : c'est ce qui garantit $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ .
2 D'où la formule pratique : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . Ici $1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .
3 Utile quand le contraire est plus simple à compter : « au moins un » se calcule souvent par $1 - P(\text{aucun})$ .

Ce qu'il faut lire : Regarde le rectangle entier comme valant

1

. Le disque en occupe les trois quarts, il reste donc un quart — sans aucun calcul à poser.

Un événement et son contraire se partagent tout l'univers : leurs probabilités s'ajoutent à

1

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ne pas oublier de soustraire $P(A \cap B)$ dans la formule de l'union !

✅ La suggestion

Si on additionne simplement $P(A) + P(B)$ , on compte deux fois les cas où $A$ et $B$ se produisent simultanément.

💡 À retenir

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ (équiprobabilité).
Union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — ne pas oublier de soustraire l'intersection.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — utile quand le contraire est plus simple à calculer.

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