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Statistiques : médiane et quartiles

Médiane, Q1, Q3, boîte à moustaches

Dans une petite entreprise de 99 salariés, le salaire moyen est de 2 2502\,250 € par mois. Pourtant, huit des neuf salariés gagnent moins de 1 8001\,800 €.

La moyenne n'est pas fausse : elle est correctement calculée. Le patron se paie 7 4007\,400 € et tire à lui tout seul le résultat vers le haut.

Alors comment donner un salaire « typique » de cette entreprise, un nombre qui décrive vraiment la situation des salariés ? La moyenne ne sait pas le faire. Il faut un autre indicateur.

La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes d'effectif égal : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Contrairement à la moyenne, elle n'est pas perturbée par les valeurs extrêmes (salaires de PDG, erreurs de mesure…).

Les quartiles Q1Q_1 et Q3Q_3 affinent cette idée : 25%25\% des valeurs sont inférieures à Q1Q_1 et 75%75\% sont inférieures à Q3Q_3. L'écart interquartile IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1 mesure la dispersion de la moitié centrale des données, sans être biaisé par les extrêmes.

La boîte à moustaches représente graphiquement la médiane et les quartiles pour visualiser rapidement la distribution : la « boîte » contient les 50%50\% centraux, et les « moustaches » s'étendent jusqu'aux valeurs min et max.

En sciences, on utilise la médiane quand les données contiennent des valeurs aberrantes (outliers), car la moyenne serait alors trompeuse.

📖 Vocabulaire clé

Médiane : Valeur qui partage une série ordonnée en deux moitiés d'effectif égal. Pour nn impair : valeur centrale ; pour nn pair : moyenne des deux valeurs centrales.
Premier quartile Q1Q_1 : Valeur en dessous de laquelle se trouvent 25%25\% des données. C'est la médiane de la moitié inférieure de la série.
Troisième quartile Q3Q_3 : Valeur en dessous de laquelle se trouvent 75%75\% des données. C'est la médiane de la moitié supérieure de la série.
Écart interquartile : IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1. Mesure la dispersion des 50%50\% centraux des données, sans être affecté par les valeurs extrêmes.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Ordonner la série dans l'ordre croissant. Exemple : 7,3,9,1,57, 3, 9, 1, 5 → 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9.
  2. 2 Médiane MeMe : valeur centrale si nn est impair ; moyenne des deux valeurs centrales si nn est pair. Exemple : série 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9 (n=5n = 5) → Me=5Me = 5 (la 3e3^e valeur).
  3. 3 Premier quartile Q1Q_1 : médiane de la moitié inférieure (valeurs <Me< Me). Exemple : moitié inférieure {1,3}\{1, 3\} → Q1=1+32=2Q_1 = \dfrac{1+3}{2} = 2.
  4. 4 Troisième quartile Q3Q_3 : médiane de la moitié supérieure (valeurs >Me> Me). Exemple : moitié supérieure {7,9}\{7, 9\} → Q3=7+92=8Q_3 = \dfrac{7+9}{2} = 8. IQR=8−2=6IQR = 8 - 2 = 6.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Les temps (en secondes) de 88 coureurs au 100100 m sont : 12,312{,}3 ; 11,811{,}8 ; 13,513{,}5 ; 11,211{,}2 ; 12,712{,}7 ; 14,114{,}1 ; 11,511{,}5 ; 12,012{,}0. Calculer la médiane et les quartiles.
Démarche :
  1. Série ordonnée : 11,211{,}2 ; 11,511{,}5 ; 11,811{,}8 ; 12,012{,}0 ; 12,312{,}3 ; 12,712{,}7 ; 13,513{,}5 ; 14,114{,}1.
  2. n=8n = 8 (pair) → Me=x4+x52=12,0+12,32=12,15Me = \dfrac{x_4 + x_5}{2} = \dfrac{12{,}0 + 12{,}3}{2} = 12{,}15 s.
  3. Moitié inférieure {11,2;11,5;11,8;12,0}\{11{,}2 ; 11{,}5 ; 11{,}8 ; 12{,}0\} → Q1=11,5+11,82=11,65Q_1 = \dfrac{11{,}5 + 11{,}8}{2} = 11{,}65 s. Moitié supérieure {12,3;12,7;13,5;14,1}\{12{,}3 ; 12{,}7 ; 13{,}5 ; 14{,}1\} → Q3=12,7+13,52=13,1Q_3 = \dfrac{12{,}7 + 13{,}5}{2} = 13{,}1 s.
Réponse : Me=12,15Me = 12{,}15 s, Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 s, Q3=13,1Q_3 = 13{,}1 s, IQR=13,1−11,65=1,45IQR = 13{,}1 - 11{,}65 = 1{,}45 s.

📐 Formules clés

Écart interquartile : IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1
Série de nn valeurs ordonnées : Me=x(n+1)/2Me = x_{(n+1)/2} si nn impair
Si nn pair : Me=xn/2+xn/2+12Me = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}

🎨 Illustrations

Boîte à moustaches
Les 8 temps au 100 m : de la série à la boîte à moustaches

Série ordonnée (en secondes) : 11,2 ; 11,5 ; 11,8 ; 12,0 ; 12,3 ; 12,7 ; 13,5 ; 14,111{,}2\,;\,11{,}5\,;\,11{,}8\,;\,12{,}0\,;\,12{,}3\,;\,12{,}7\,;\,13{,}5\,;\,14{,}1. La boîte va de Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 à Q3=13,1Q_3 = 13{,}1, coupée par la médiane Me=12,15Me = 12{,}15, avec des moustaches jusqu'au minimum et au maximum.

Boite a moustaches des temps de 8 coureurs au 100 m Huit points representant les temps ordonnes sont places au dessus d'une boite a moustaches allant du minimum 11,2 au maximum 14,1 secondes, avec la boite entre le premier quartile 11,65 et le troisième quartile 13,1, coupée par la médiane 12,15. Les 8 temps mesurés (s) Q1 Médiane Q3 Min : 11,2 s 11,65 s 12,15 s 13,1 s Max : 14,1 s 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 Temps (s)
  • 1 Série ordonnée : 11,2 ; 11,5 ; 11,8 ; 12,0 ; 12,3 ; 12,7 ; 13,5 ; 14,111{,}2\,;\,11{,}5\,;\,11{,}8\,;\,12{,}0\,;\,12{,}3\,;\,12{,}7\,;\,13{,}5\,;\,14{,}1 (les 8 points au-dessus de la boîte).
  • 2 n=8n = 8 (pair) → Me=x4+x52=12,0+12,32=12,15Me = \dfrac{x_4 + x_5}{2} = \dfrac{12{,}0 + 12{,}3}{2} = 12{,}15 s (trait épais dans la boîte).
  • 3 La boîte va de Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 s à Q3=13,1Q_3 = 13{,}1 s : elle contient les 50%50\% centraux des temps.
  • 4 Les moustaches relient la boîte au minimum (11,211{,}2 s) et au maximum (14,114{,}1 s).
Ce qu'il faut lire : La largeur de la boîte, IQR=Q3−Q1=13,1−11,65=1,45IQR = Q_3 - Q_1 = 13{,}1 - 11{,}65 = 1{,}45 s, mesure la dispersion des temps centraux sans être influencée par le coureur le plus lent.
Boîte à moustaches construite à partir des 8 temps réels de l'exemple du cours.
La réponse à la question d'ouverture
Une seule valeur extrême déplace la moyenne, pas la médiane

Les neuf salaires de l'introduction sont posés sur un axe. La médiane reste au milieu du groupe ; la moyenne, elle, est tirée vers le salaire du patron, loin de tous les autres.

Position de la moyenne et de la mediane sur une serie de salaires Neuf salaires sont places sur un axe horizontal gradue de 1000 a 7500 euros. Huit d'entre eux sont serres entre 1450 et 1750 euros, le neuvieme vaut 7400 euros et se trouve tres a droite, isole. La mediane, marquee a 1650 euros, tombe au milieu du groupe serre. La moyenne, marquee a 2250 euros, se trouve nettement a droite du groupe, tiree par le salaire isole, alors qu'aucun salarie ne gagne cette somme. 1000 7500 salaires en euros médiane 1650 moyenne 2250 le patron
  • 1 Huit salaires sont serrés entre 1 4501\,450 et 1 7501\,750 € : c'est là que vit réellement l'entreprise, et c'est là que tombe la médiane.
  • 2 La moyenne vaut 2 2502\,250 €, une somme que personne ne gagne : elle est tirée par le seul salaire de 7 4007\,400 €.
  • 3 Retire le patron de la liste et la moyenne s'effondre, alors que la médiane bouge à peine. C'est ce qu'on appelle la sensibilité aux valeurs extrêmes.
Ce qu'il faut lire : Regarde où se trouvent les points. La médiane est au milieu du paquet, la moyenne est déjà sortie du paquet. C'est pourquoi on préfère la médiane pour décrire un salaire « typique ».
Neuf salaires : la médiane reste dans le groupe, la moyenne est tirée par la valeur extrême.
Effectif pair
La médiane n'est pas toujours une valeur de la série

Avec un nombre impair de valeurs, la médiane est celle du milieu. Avec un nombre pair, il n'y a pas de valeur centrale : la médiane est la moyenne des deux du milieu, et elle peut ne figurer nulle part dans la liste.

Mediane d'une serie impaire puis d'une serie paire En haut, une serie de sept valeurs ordonnees : la valeur du milieu, la quatrieme, est entouree et constitue la mediane. En bas, une serie de six valeurs ordonnees : il n'y a pas de valeur du milieu, les deux valeurs centrales, la troisieme et la quatrieme, sont entourees ensemble et leur moyenne donne la mediane, un nombre qui ne figure pas dans la serie. 7 valeurs 4 7 9 12 15 18 21 médiane = 12, une valeur de la série 6 valeurs 3 5 8 11 14 20 médiane = moitié de 8 plus 11, soit 9,5 : absente de la série
  • 1 Sept valeurs : la médiane est la quatrième, car il y en a trois avant et trois après.
  • 2 Six valeurs : les deux du milieu sont 88 et 1111, donc la médiane vaut 8+112=9,5\dfrac{8 + 11}{2} = 9{,}5.
  • 3 Ce 9,59{,}5 ne figure pas dans la série, et c'est normal : la médiane est une position, pas forcément une valeur observée.
Ce qu'il faut lire : Compte d'abord combien tu as de valeurs. Nombre impair : tu cherches une valeur. Nombre pair : tu en cherches deux, et tu calcules leur moyenne.
Effectif impair : la médiane est une valeur de la série. Effectif pair : c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
L'oubli qui fausse tout
Ordonner d'abord, chercher la médiane ensuite

La médiane se lit sur une série rangée dans l'ordre croissant. Prendre la valeur du milieu d'une liste en désordre donne un résultat qui n'a aucun sens — et l'erreur ne se voit pas sur la copie.

Effet de l'oubli du rangement sur le calcul de la mediane En haut, une serie donnee en desordre : en prenant la valeur du milieu telle quelle on obtient 4, ce qui est faux. En dessous, la meme serie rangee dans l'ordre croissant : la valeur du milieu est cette fois 9, la vraie mediane. Les deux resultats different alors que les nombres sont exactement les memes, seule leur disposition a change. en désordre 12 3 4 15 9 valeur du milieu : 4, mais ce nombre n’est pas la médiane rangée 3 4 9 12 15 valeur du milieu : 9, la vraie médiane
  • 1 Les deux lignes contiennent exactement les mêmes nombres : 33, 44, 99, 1212 et 1515. Seul leur ordre change.
  • 2 En désordre, la troisième position tombe sur 44 ; une fois rangée, elle tombe sur 99. La médiane est bien 99.
  • 3 Le rangement n'est pas une politesse de présentation : c'est la définition même de la médiane.
Ce qu'il faut lire : Prends l'habitude de réécrire la série dans l'ordre avant tout calcul, même si elle paraît déjà rangée. C'est la seule protection contre cette erreur.
La même série en désordre puis rangée : la valeur du milieu passe de 44 à 99.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la médiane d'une série impaire est la valeur du milieu (pas la moyenne).

✅ La suggestion

Pour n=7n = 7, la médiane est la 4e4^e valeur (pas la moyenne des 3e3^e et 4e4^e).

💡 À retenir

  • Toujours ordonner la série avant de calculer médiane et quartiles.
  • nn impair → la médiane est la valeur centrale ; nn pair → c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
  • La médiane résiste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
  • IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1 mesure la dispersion des 50%50\% centraux des données.
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