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Statistiques : médiane et quartiles

Médiane, Q1, Q3, boîte à moustaches

La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes d'effectif égal : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Contrairement à la moyenne, elle n'est pas perturbée par les valeurs extrêmes (salaires de PDG, erreurs de mesure…).

Les quartiles Q1Q_1 et Q3Q_3 affinent cette idée : 25%25\% des valeurs sont inférieures à Q1Q_1 et 75%75\% sont inférieures à Q3Q_3. L'écart interquartile IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1 mesure la dispersion de la moitié centrale des données, sans être biaisé par les extrêmes.

La boîte à moustaches représente graphiquement la médiane et les quartiles pour visualiser rapidement la distribution : la « boîte » contient les 50%50\% centraux, et les « moustaches » s'étendent jusqu'aux valeurs min et max.

En sciences, on utilise la médiane quand les données contiennent des valeurs aberrantes (outliers), car la moyenne serait alors trompeuse.

📖 Vocabulaire clé

Médiane : Valeur qui partage une série ordonnée en deux moitiés d'effectif égal. Pour nn impair : valeur centrale ; pour nn pair : moyenne des deux valeurs centrales.
Premier quartile Q1Q_1 : Valeur en dessous de laquelle se trouvent 25%25\% des données. C'est la médiane de la moitié inférieure de la série.
Troisième quartile Q3Q_3 : Valeur en dessous de laquelle se trouvent 75%75\% des données. C'est la médiane de la moitié supérieure de la série.
Écart interquartile : IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1. Mesure la dispersion des 50%50\% centraux des données, sans être affecté par les valeurs extrêmes.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Ordonner la série dans l'ordre croissant. Exemple : 7,3,9,1,57, 3, 9, 1, 5 → 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9.
  2. 2 Médiane MeMe : valeur centrale si nn est impair ; moyenne des deux valeurs centrales si nn est pair. Exemple : série 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9 (n=5n = 5) → Me=5Me = 5 (la 3e3^e valeur).
  3. 3 Premier quartile Q1Q_1 : médiane de la moitié inférieure (valeurs <Me< Me). Exemple : moitié inférieure {1,3}\{1, 3\} → Q1=1+32=2Q_1 = \dfrac{1+3}{2} = 2.
  4. 4 Troisième quartile Q3Q_3 : médiane de la moitié supérieure (valeurs >Me> Me). Exemple : moitié supérieure {7,9}\{7, 9\} → Q3=7+92=8Q_3 = \dfrac{7+9}{2} = 8. IQR=8−2=6IQR = 8 - 2 = 6.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Les temps (en secondes) de 88 coureurs au 100100 m sont : 12,312{,}3 ; 11,811{,}8 ; 13,513{,}5 ; 11,211{,}2 ; 12,712{,}7 ; 14,114{,}1 ; 11,511{,}5 ; 12,012{,}0. Calculer la médiane et les quartiles.
Démarche :
  1. Série ordonnée : 11,211{,}2 ; 11,511{,}5 ; 11,811{,}8 ; 12,012{,}0 ; 12,312{,}3 ; 12,712{,}7 ; 13,513{,}5 ; 14,114{,}1.
  2. n=8n = 8 (pair) → Me=x4+x52=12,0+12,32=12,15Me = \dfrac{x_4 + x_5}{2} = \dfrac{12{,}0 + 12{,}3}{2} = 12{,}15 s.
  3. Moitié inférieure {11,2;11,5;11,8;12,0}\{11{,}2 ; 11{,}5 ; 11{,}8 ; 12{,}0\} → Q1=11,5+11,82=11,65Q_1 = \dfrac{11{,}5 + 11{,}8}{2} = 11{,}65 s. Moitié supérieure {12,3;12,7;13,5;14,1}\{12{,}3 ; 12{,}7 ; 13{,}5 ; 14{,}1\} → Q3=12,7+13,52=13,1Q_3 = \dfrac{12{,}7 + 13{,}5}{2} = 13{,}1 s.
Réponse : Me=12,15Me = 12{,}15 s, Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 s, Q3=13,1Q_3 = 13{,}1 s, IQR=13,1−11,65=1,45IQR = 13{,}1 - 11{,}65 = 1{,}45 s.

📐 Formules clés

Écart interquartile : IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1
Série de nn valeurs ordonnées : Me=x(n+1)/2Me = x_{(n+1)/2} si nn impair
Si nn pair : Me=xn/2+xn/2+12Me = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}

🎨 Illustration

Boîte à moustaches
Les 8 temps au 100 m : de la série à la boîte à moustaches

Série ordonnée (en secondes) : 11,2 ; 11,5 ; 11,8 ; 12,0 ; 12,3 ; 12,7 ; 13,5 ; 14,111{,}2\,;\,11{,}5\,;\,11{,}8\,;\,12{,}0\,;\,12{,}3\,;\,12{,}7\,;\,13{,}5\,;\,14{,}1. La boîte va de Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 à Q3=13,1Q_3 = 13{,}1, coupée par la médiane Me=12,15Me = 12{,}15, avec des moustaches jusqu'au minimum et au maximum.

Boite a moustaches des temps de 8 coureurs au 100 m Huit points representant les temps ordonnes sont places au dessus d'une boite a moustaches allant du minimum 11,2 au maximum 14,1 secondes, avec la boite entre le premier quartile 11,65 et le troisieme quartile 13,1, coupee par la mediane 12,15. Les 8 temps mesurés (s) Q1 Médiane Q3 Min : 11,2 s 11,65 s 12,15 s 13,1 s Max : 14,1 s 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 Temps (s)
  • 1 Série ordonnée : 11,2 ; 11,5 ; 11,8 ; 12,0 ; 12,3 ; 12,7 ; 13,5 ; 14,111{,}2\,;\,11{,}5\,;\,11{,}8\,;\,12{,}0\,;\,12{,}3\,;\,12{,}7\,;\,13{,}5\,;\,14{,}1 (les 8 points au-dessus de la boîte).
  • 2 n=8n = 8 (pair) → Me=x4+x52=12,0+12,32=12,15Me = \dfrac{x_4 + x_5}{2} = \dfrac{12{,}0 + 12{,}3}{2} = 12{,}15 s (trait épais dans la boîte).
  • 3 La boîte va de Q1=11,65Q_1 = 11{,}65 s à Q3=13,1Q_3 = 13{,}1 s : elle contient les 50%50\% centraux des temps.
  • 4 Les moustaches relient la boîte au minimum (11,211{,}2 s) et au maximum (14,114{,}1 s).
Ce qu'il faut lire : La largeur de la boîte, IQR=Q3−Q1=13,1−11,65=1,45IQR = Q_3 - Q_1 = 13{,}1 - 11{,}65 = 1{,}45 s, mesure la dispersion des temps centraux sans être influencée par le coureur le plus lent.
Boîte à moustaches construite à partir des 8 temps réels de l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la médiane d'une série impaire est la valeur du milieu (pas la moyenne).

✅ La suggestion

Pour n=7n = 7, la médiane est la 4e4^e valeur (pas la moyenne des 3e3^e et 4e4^e).

💡 À retenir

  • Toujours ordonner la série avant de calculer médiane et quartiles.
  • nn impair → la médiane est la valeur centrale ; nn pair → c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
  • La médiane résiste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
  • IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1 mesure la dispersion des 50%50\% centraux des données.
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