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Volumes des pyramides et cônes

Formule du tiers, cas particuliers

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'un silo conique, d'une pyramide, d'un tas de sable en génie civil
La pyramide et le cône ont un volume égal au tiers du prisme ou cylindre qui les contient : V=13×Abase×hV = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h.

Intuition : en versant un cône rempli de sable dans le cylindre de même base et même hauteur, il faut exactement 3 remplissages — vérifiable expérimentalement ! Cette formule s'applique à toute pyramide quelle que soit la forme de sa base (carrée, triangulaire, hexagonale…).

Le point crucial est que hh désigne la hauteur perpendiculaire — la distance du sommet à la base — jamais l'arête latérale qui relie le sommet à un coin de la base.

En physique, ces formules servent à calculer le volume de réservoirs coniques, de silos, d'entonnoirs, ou de toitures en pyramide.

📖 Vocabulaire clé

Pyramide : Solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet appelé apex.
Cône de révolution : Solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. La base est un disque.
Hauteur d'une pyramide ou d'un cône : Distance perpendiculaire du sommet (apex) au plan de la base. Ce n'est pas l'arête latérale.
Apothème : Arête latérale d'une pyramide régulière, ou génératrice d'un cône. Toujours plus longue que la hauteur.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Calculer l'aire de la base Abase\mathcal{A}_{\text{base}}. Exemple : base carrée de côté 55 cm → A=52=25\mathcal{A} = 5^2 = 25 cm² ; base circulaire de rayon 33 cm → A=π×32≈28,3\mathcal{A} = \pi \times 3^2 \approx 28{,}3 cm².
  2. 2 Mesurer la hauteur hh (distance perpendiculaire du sommet à la base). Exemple : si l'arête latérale vaut 1313 cm et la demi-diagonale de la base carrée vaut 55 cm, alors h=132−52=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 cm (Pythagore).
  3. 3 Appliquer la formule : V=13×Abase×hV = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h. Exemple : V=13×25×12=100V = \dfrac{1}{3} \times 25 \times 12 = 100 cm³.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un entonnoir a la forme d'un cône de rayon 44 cm et de hauteur 99 cm. Quel volume de liquide peut-il contenir ? (Prendre π≈3,14\pi \approx 3{,}14.)
Démarche :
  1. Aire de la base circulaire : A=πr2=3,14×42=3,14×16=50,24\mathcal{A} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 = 50{,}24 cm².
  2. Volume du cône : V=13×50,24×9=452,163=150,72V = \dfrac{1}{3} \times 50{,}24 \times 9 = \dfrac{452{,}16}{3} = 150{,}72 cm³.
  3. Conversion : 150,72150{,}72 cm³ =150,72= 150{,}72 mL ≈0,15\approx 0{,}15 L.
Réponse : L'entonnoir peut contenir environ 150,7150{,}7 cm³ soit ≈0,15\approx 0{,}15 L.

📐 Formules clés

Pyramide : V=13Abase×hV = \dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Cône : V=13πr2hV = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h
Pyramide à base carrée de côté aa : V=13a2hV = \dfrac{1}{3} a^2 h

🎨 Illustration

Coupe d'un cône
Hauteur perpendiculaire et génératrice : ne pas confondre

Coupe de l'entonnoir de l'exemple du cours : un cône de rayon r=4r = 4 cm et de hauteur h=9h = 9 cm. La hauteur (en pointillés) relie le sommet au centre de la base ; la génératrice (trait plein) relie le sommet au bord de la base et sert de côté visible du cône.

Coupe d'un cone avec hauteur et generatrice Un cone est represente en perspective avec sa base elliptique, sa hauteur perpendiculaire en pointilles reliant le sommet au centre de la base, et sa generatrice en trait plein reliant le sommet au bord de la base, plus longue que la hauteur. Sommet h = 9 cm r = 4 cm Génératrice (l ≈ 9,85 cm)
  • 1 La hauteur hh (en pointillés) est la distance perpendiculaire entre le sommet et le centre de la base — c'est elle qui sert dans la formule du volume.
  • 2 La génératrice (trait plein) relie le sommet à un point du bord de la base : elle est toujours plus longue que hh. Ici l=r2+h2=42+92=97≈9,85l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{4^2+9^2} = \sqrt{97} \approx 9{,}85 cm.
  • 3 Le petit carré marque l'angle droit entre la hauteur et le rayon de la base.
  • 4 Volume : V=13πr2h=13×3,14×42×9=150,72V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\times 3{,}14\times 4^2\times 9 = 150{,}72 cm³ (voir l'exemple du cours).
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'angle droit entre la hauteur et le rayon de la base : c'est ce qui distingue hh de la génératrice, plus longue et oblique.
Coupe d'un cône (entonnoir de l'exemple du cours) avec hauteur perpendiculaire en pointillés et génératrice en trait plein.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la hauteur d'une pyramide est la distance perpendiculaire du sommet à sa base, PAS l'arête latérale (apothème).

✅ La suggestion

Sur les figures obliques, la hauteur est souvent différente de ce qu'on voit de prime abord.

💡 À retenir

  • Volume d'une pyramide ou d'un cône = 13\dfrac{1}{3} du prisme ou cylindre de même base et même hauteur.
  • La hauteur hh est toujours perpendiculaire à la base — ne pas confondre avec l'arête latérale.
  • Cône : V=13πr2hV = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h ; pyramide à base carrée : V=13a2hV = \dfrac{1}{3} a^2 h.
  • Il faut 33 cônes pour remplir un cylindre de même base et même hauteur.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'un silo conique, d'une pyramide, d'un tas de sable en génie civil

Mots-clés associés : PyramideCôneVolumeBaseHauteurTiers
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