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Volumes des pyramides et cônes

Formule du tiers, cas particuliers

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'un silo conique, d'une pyramide, d'un tas de sable en génie civil
Prends un cône et un cylindre qui ont exactement la même base et la même hauteur. Tu remplis le cône d'eau et tu le verses dans le cylindre. Combien de cônes faut-il pour le remplir ?

Réponds avant de lire la suite. La plupart des élèves disent « deux », parce que le cône paraît occuper à peu près la moitié du cylindre.

Il en faut trois, exactement trois, et jamais un peu plus ou un peu moins. Ce nombre n'a rien d'un hasard de fabrication, et c'est ce que ce chapitre explique.

La pyramide et le cône ont un volume égal au tiers du prisme ou cylindre qui les contient : V=13×Abase×hV = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h.

Intuition : en versant un cône rempli de sable dans le cylindre de même base et même hauteur, il faut exactement 3 remplissages — vérifiable expérimentalement ! Cette formule s'applique à toute pyramide quelle que soit la forme de sa base (carrée, triangulaire, hexagonale…).

Le point crucial est que hh désigne la hauteur perpendiculaire — la distance du sommet à la base — jamais l'arête latérale qui relie le sommet à un coin de la base.

En physique, ces formules servent à calculer le volume de réservoirs coniques, de silos, d'entonnoirs, ou de toitures en pyramide.

📖 Vocabulaire clé

Pyramide : Solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet appelé apex.
Cône de révolution : Solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Là base est un disque.
Hauteur d'une pyramide ou d'un cône : Distance perpendiculaire du sommet (apex) au plan de la base. Ce n'est pas l'arête latérale.
Apothème : Arête latérale d'une pyramide régulière, ou génératrice d'un cône. Toujours plus longue que la hauteur.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Calculer l'aire de la base Abase\mathcal{A}_{\text{base}}. Exemple : base carrée de côté 55 cm → A=52=25\mathcal{A} = 5^2 = 25 cm² ; base circulaire de rayon 33 cm → A=π×32≈28,3\mathcal{A} = \pi \times 3^2 \approx 28{,}3 cm².
  2. 2 Mesurer la hauteur hh (distance perpendiculaire du sommet à la base). Exemple : si l'arête latérale vaut 1313 cm et la demi-diagonale de la base carrée vaut 55 cm, alors h=132−52=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 cm (Pythagore).
  3. 3 Appliquer la formule : V=13×Abase×hV = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h. Exemple : V=13×25×12=100V = \dfrac{1}{3} \times 25 \times 12 = 100 cm³.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un entonnoir a la forme d'un cône de rayon 44 cm et de hauteur 99 cm. Quel volume de liquide peut-il contenir ? (Prendre π≈3,14\pi \approx 3{,}14.)
Démarche :
  1. Aire de la base circulaire : A=πr2=3,14×42=3,14×16=50,24\mathcal{A} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 = 50{,}24 cm².
  2. Volume du cône : V=13×50,24×9=452,163=150,72V = \dfrac{1}{3} \times 50{,}24 \times 9 = \dfrac{452{,}16}{3} = 150{,}72 cm³.
  3. Conversion : 150,72150{,}72 cm³ =150,72= 150{,}72 mL ≈0,15\approx 0{,}15 L.
Réponse : L'entonnoir peut contenir environ 150,7150{,}7 cm³ soit ≈0,15\approx 0{,}15 L.

📐 Formules clés

Pyramide : V=13Abase×hV = \dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Cône : V=13πr2hV = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h
Pyramide à base carrée de côté aa : V=13a2hV = \dfrac{1}{3} a^2 h

🎨 Illustrations

Coupe d'un cône
Hauteur perpendiculaire et génératrice : ne pas confondre

Coupe de l'entonnoir de l'exemple du cours : un cône de rayon r=4r = 4 cm et de hauteur h=9h = 9 cm. La hauteur (en pointillés) relie le sommet au centre de la base ; la génératrice (trait plein) relie le sommet au bord de la base et sert de côté visible du cône.

Coupe d'un cône avec hauteur et generatrice Un cône est représente en perspective avec sa base elliptique, sa hauteur perpendiculaire en pointilles reliant le sommet au centre de la base, et sa generatrice en trait plein reliant le sommet au bord de la base, plus longue que la hauteur. Sommet h = 9 cm r = 4 cm Génératrice (l ≈ 9,85 cm)
  • 1 La hauteur hh (en pointillés) est la distance perpendiculaire entre le sommet et le centre de la base — c'est elle qui sert dans la formule du volume.
  • 2 La génératrice (trait plein) relie le sommet à un point du bord de la base : elle est toujours plus longue que hh. Ici l=r2+h2=42+92=97≈9,85l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{4^2+9^2} = \sqrt{97} \approx 9{,}85 cm.
  • 3 Le petit carré marque l'angle droit entre la hauteur et le rayon de la base.
  • 4 Volume : V=13πr2h=13×3,14×42×9=150,72V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\times 3{,}14\times 4^2\times 9 = 150{,}72 cm³ (voir l'exemple du cours).
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord l'angle droit entre la hauteur et le rayon de la base : c'est ce qui distingue hh de la génératrice, plus longue et oblique.
Coupe d'un cône (entonnoir de l'exemple du cours) avec hauteur perpendiculaire en pointillés et génératrice en trait plein.
La réponse à la question d'ouverture
Trois cônes remplissent exactement le cylindre

Le tiers de la formule n'est pas un coefficient à retenir : c'est un fait que l'on peut constater. Avec la même base et la même hauteur, il faut exactement trois cônes pour remplir le cylindre.

Trois cones remplissent un cylindre de meme base et de meme hauteur A gauche, trois cones identiques sont dessines cote a cote. A droite, un cylindre de meme rayon de base et de meme hauteur que les cones. Une fleche indique que le contenu des trois cones remplit exactement le cylindre, sans qu'il reste de place ni qu'il y ait debordement. Le remplissage du cylindre est represente par trois bandes horizontales egales, une par cone verse. trois cônes versés dans un cylindre plein 1 2 3 même base et même hauteur des deux côtés
  • 1 La condition est essentielle : même base et même hauteur. Sans elle, le rapport de trois ne vaut plus.
  • 2 Les trois bandes du cylindre montrent les trois versements successifs : chacun remplit exactement un tiers de la hauteur… en volume, pas en hauteur d'eau.
  • 3 D'où la formule : Vcoˆne=13×Abase×hV_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h, où le tiers vient de cette expérience.
Ce qu'il faut lire : Retiens l'image plutôt que le nombre : trois cônes pour un cylindre. Si un jour tu hésites entre diviser par 22 ou par 33, c'est cette expérience qui tranche.
Trois cônes de même base et même hauteur remplissent exactement le cylindre : d'où le tiers de la formule.
L'erreur qui ne se voit pas
La hauteur n'est pas le côté du cône

Sur un cône, la longueur qu'on lit le plus facilement est le côté incliné — la génératrice. Mais la formule réclame la hauteur, celle qui tombe droit du sommet au centre de la base. Confondre les deux fausse le volume sans jamais donner un résultat absurde.

Difference entre la hauteur et la generatrice d'un cone Un cone est dessine de profil. La hauteur, tracee en trait plein depuis le sommet jusqu'au centre de la base, mesure 8 centimetres et forme un angle droit avec la base, marque par un petit carre. La generatrice, tracee en trait tirete du sommet jusqu'au bord de la base, mesure 10 centimetres : elle est plus longue car elle est inclinee. Le rayon de la base vaut 6 centimetres. Les trois longueurs forment un triangle rectangle, si bien que Pythagore relie la generatrice, la hauteur et le rayon. hauteur = 8 génératrice = 10 rayon = 6 la hauteur tombe droit, la génératrice est inclinée
  • 1 La hauteur est perpendiculaire à la base : c'est elle, et elle seule, qui entre dans la formule du volume.
  • 2 La génératrice est toujours plus longue que la hauteur, puisqu'elle est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur et le rayon.
  • 3 Les trois longueurs sont liées par Pythagore : 62+82=1026^2 + 8^2 = 10^2. Si on te donne la génératrice, commence par en déduire la hauteur.
Ce qu'il faut lire : Avant d'appliquer la formule, demande-toi si la longueur donnée touche le centre de la base ou son bord. Le centre, c'est la hauteur ; le bord, c'est la génératrice.
Hauteur et génératrice d'un cône : deux longueurs différentes, reliées par le théorème de Pythagore.
Doubler ne double pas
Si on double toutes les longueurs, le volume est multiplié par huit

C'est l'un des résultats les plus contre-intuitifs du chapitre. Une pyramide deux fois plus grande dans toutes ses dimensions ne contient pas deux fois plus, mais huit fois plus.

Effet du doublement des longueurs sur le volume Deux cubes sont poses sur la meme ligne de base. Le petit mesure une unite de cote et contient un cube unite. Le grand mesure deux unites de cote : il est deux fois plus large, deux fois plus profond et deux fois plus haut, si bien qu'il contient huit petits cubes. Le grand cube est quadrille pour montrer les huit cubes unites qui le composent, quatre visibles devant et quatre caches derriere. côté 1 volume 1 côté 2 volume 8 côté fois 2 volume fois 8
  • 1 Le volume dépend de trois dimensions : longueur, largeur et hauteur. Doubler chacune revient à multiplier par 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8.
  • 2 Le dessin ne montre que quatre carrés, parce qu'il est plat : les quatre autres cubes sont derrière, cachés par la profondeur.
  • 3 Même logique pour les aires, mais avec deux dimensions seulement : une surface est multipliée par 44, pas par 88.
Ce qu'il faut lire : Compte les petits cubes du grand : quatre devant, quatre derrière. Le grand cube n'est pas « deux fois » le petit, il en contient huit.
Doubler toutes les longueurs multiplie le volume par 88, car le volume dépend de trois dimensions.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la hauteur d'une pyramide est la distance perpendiculaire du sommet à sa base, PAS l'arête latérale (apothème).

✅ La suggestion

Sur les figures obliques, la hauteur est souvent différente de ce qu'on voit de prime abord.

💡 À retenir

  • Volume d'une pyramide ou d'un cône = 13\dfrac{1}{3} du prisme ou cylindre de même base et même hauteur.
  • La hauteur hh est toujours perpendiculaire à la base — ne pas confondre avec l'arête latérale.
  • Cône : V=13πr2hV = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h ; pyramide à base carrée : V=13a2hV = \dfrac{1}{3} a^2 h.
  • Il faut 33 cônes pour remplir un cylindre de même base et même hauteur.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'un silo conique, d'une pyramide, d'un tas de sable en génie civil

Mots-clés associés : PyramideCôneVolumeBaseHauteurTiers
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