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Cosinus d'un angle aigu

cos = adjacent / hypoténuse

🔬 Application physique-chimie : Décomposition de forces, travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), loi de Snell-Descartes en optique
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu mesure à quel point cet angle est « ouvert » : cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}.

L'idée clé est que tous les triangles rectangles ayant le même angle A^\hat{A} sont semblables, donc le rapport adj/hyp est toujours identique, quelle que soit la taille du triangle. Ce rapport vaut toujours entre 00 et 11 : cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1 (triangle complètement « plat ») et cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0 (angle droit).

Attention : le côté « adjacent » dépend de l'angle considéré — pour l'angle A^\hat{A}, c'est le côté qui touche A^\hat{A} sans être l'hypoténuse ; pour l'angle B^\hat{B}, c'est l'autre côté.

En physique, le cosinus intervient dans la décomposition de forces, le travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), et l'optique (loi de Snell-Descartes).

📖 Vocabulaire clé

Cosinus d'un angle aigu : Rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse dans un triangle rectangle : cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}.
Côté adjacent : Côté du triangle rectangle qui forme l'angle considéré, autre que l'hypoténuse. Il change selon l'angle choisi.
Hypoténuse : Plus grand côté du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit. C'est toujours le dénominateur dans le cosinus.
Arc cosinus (arccos⁡\arccos) : Fonction inverse du cosinus : si cos⁡(A^)=k\cos(\hat{A}) = k, alors A^=arccos⁡(k)\hat{A} = \arccos(k). Permet de retrouver un angle à partir d'un rapport.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier l'angle et les côtés : l'angle aigu A^\hat{A}, l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et le côté adjacent (côté de l'angle, autre que l'hypoténuse). Exemple : triangle ABCABC rectangle en CC → hypoténuse =AB= AB, côté adjacent à A^\hat{A} =AC= AC.
  2. 2 Appliquer : cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}. Exemple : AC=4AC = 4 cm, AB=8AB = 8 cm → cos⁡(A^)=48=0,5\cos(\hat{A}) = \dfrac{4}{8} = 0{,}5 donc A^=60°\hat{A} = 60°.
  3. 3 Trouver un côté inconnu : adj=hyp×cos⁡(A^)\text{adj} = \text{hyp} \times \cos(\hat{A}) ou hyp=adjcos⁡(A^)\text{hyp} = \dfrac{\text{adj}}{\cos(\hat{A})}. Exemple : A^=30°\hat{A} = 30°, hyp =10= 10 cm → adj =10×cos⁡(30°)=10×0,866=8,66= 10 \times \cos(30°) = 10 \times 0{,}866 = 8{,}66 cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une échelle de 55 m est posée contre un mur en formant un angle de 60°60° avec le sol. À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ?
Démarche :
  1. L'échelle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle. L'angle au sol est 60°60° et le côté adjacent est la distance au mur.
  2. cos⁡(60°)=distance au mureˊchelle=d5\cos(60°) = \dfrac{\text{distance au mur}}{\text{échelle}} = \dfrac{d}{5}.
  3. d=5×cos⁡(60°)=5×0,5=2,5d = 5 \times \cos(60°) = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 m.
Réponse : Le pied de l'échelle est à 2,52{,}5 m du mur.

📐 Formules clés

cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}
cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1, cos⁡(30°)=32\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}, cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0
Pour trouver l'angle : A^=arccos⁡(adjhyp)\hat{A} = \arccos\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)

🎨 Illustration

Triangle rectangle
Le cosinus : adjacent sur hypoténuse

À ce niveau, seul le cosinus est au programme : on ne nomme que le côté adjacent et l'hypoténuse — le troisième côté n'a pas besoin de nom pour l'instant.

Triangle rectangle ABC et cosinus de l'angle A Triangle rectangle ABC trace a l'echelle, angle droit en C, angle de 60 degres marque en A. Le cote AC, adjacent a l'angle A, mesure 2,5 metres et l'hypotenuse AB mesure 5 metres, conformement a l'exemple chiffre du cours. COS cos  = adj / hyp  C B A AC = adjacent AB = hypoténuse Exemple du cours : échelle de 5 m, angle 60° au sol distance au mur = 5 × cos 60° = 5 × 0,5 = 2,5 m
  • 1 Le côté adjacent à A^\hat{A} est ACAC : il touche A^\hat{A} sans être l'hypoténuse. L'hypoténuse ABAB fait face à l'angle droit en CC.
  • 2 À ce niveau, on ne nomme pas le troisième côté (BCBC) : son nom (opposé) et son usage (sinus) arrivent plus tard.
  • 3 Avec hyp =5= 5 m et A^=60°\hat{A} = 60°, on retrouve l'exemple du cours : adjacent =5×cos⁡(60°)=2,5= 5 \times \cos(60°) = 2{,}5 m.
Ce qu'il faut lire : Le cosinus ne fait intervenir que deux côtés : celui qui touche l'angle (adjacent) et le plus long (hypoténuse).
Triangle ABCABC rectangle en CC, avec l'exemple chiffré du cours (échelle de 5 m à 60°).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

le côté adjacent change selon l'angle considéré.

✅ La suggestion

Pour l'angle A^\hat{A}, l'adjacent est le côté qui « touche » A^\hat{A} (autre que l'hypoténuse). Ne pas confondre avec le côté opposé.

💡 À retenir

  • cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} — le rapport est toujours compris entre 00 et 11.
  • Le côté adjacent change selon l'angle considéré : c'est le côté qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse).
  • Pour trouver un côté : adj == hyp ×cos⁡(A^)\times \cos(\hat{A}) ; pour trouver un angle : A^=arccos⁡(adjhyp)\hat{A} = \arccos\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right).
  • Valeurs clés : cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1, cos⁡(60°)=0,5\cos(60°) = 0{,}5, cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Décomposition de forces, travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), loi de Snell-Descartes en optique

Mots-clés associés : CosinusAngle aiguTriangle rectangleAdjacentHypoténuse
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