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Cosinus d'un angle aigu

cos = adjacent / hypoténuse

🔬 Application physique-chimie : Décomposition de forces, travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), loi de Snell-Descartes en optique
Une échelle de 44 m est posée contre un mur, son pied à 1,201{,}20 m du mur. Est-elle sûre ? Les pompiers disent qu'une échelle tient bien quand elle fait environ 75°75° avec le sol.

Le problème : tu connais deux longueurs, et on te pose une question sur un angle. Pythagore ne sait pas répondre à ça — il ne parle que de longueurs. Il te manque un outil qui fasse le pont entre les deux.

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu mesure à quel point cet angle est « ouvert » : cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}.

L'idée clé est que tous les triangles rectangles ayant le même angle A^\hat{A} sont semblables, donc le rapport adj/hyp est toujours identique, quelle que soit la taille du triangle. Ce rapport vaut toujours entre 00 et 11 : cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1 (triangle complètement « plat ») et cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0 (angle droit).

Attention : le côté « adjacent » dépend de l'angle considéré — pour l'angle A^\hat{A}, c'est le côté qui touche A^\hat{A} sans être l'hypoténuse ; pour l'angle B^\hat{B}, c'est l'autre côté.

En physique, le cosinus intervient dans la décomposition de forces, le travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), et l'optique (loi de Snell-Descartes).

📖 Vocabulaire clé

Cosinus d'un angle aigu : Rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse dans un triangle rectangle : cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}.
Côté adjacent : Côté du triangle rectangle qui forme l'angle considéré, autre que l'hypoténuse. Il change selon l'angle choisi.
Hypoténuse : Plus grand côté du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit. C'est toujours le dénominateur dans le cosinus.
Retrouver l'angle (touche cos⁡−1\cos^{-1}) : Si l'on connaît cos⁡(A^)\cos(\hat{A}), la calculatrice redonne l'angle avec la touche cos⁡−1\cos^{-1} (parfois notée arccos) : cos⁡(A^)=0,5\cos(\hat{A}) = 0{,}5 donne A^=60°\hat{A} = 60°.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier l'angle et les côtés : l'angle aigu A^\hat{A}, l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et le côté adjacent (côté de l'angle, autre que l'hypoténuse). Exemple : triangle ABCABC rectangle en CC → hypoténuse =AB= AB, côté adjacent à A^\hat{A} =AC= AC.
  2. 2 Appliquer : cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}. Exemple : AC=4AC = 4 cm, AB=8AB = 8 cm → cos⁡(A^)=48=0,5\cos(\hat{A}) = \dfrac{4}{8} = 0{,}5 donc A^=60°\hat{A} = 60°.
  3. 3 Trouver un côté inconnu : adj=hyp×cos⁡(A^)\text{adj} = \text{hyp} \times \cos(\hat{A}) ou hyp=adjcos⁡(A^)\text{hyp} = \dfrac{\text{adj}}{\cos(\hat{A})}. Exemple : A^=30°\hat{A} = 30°, hyp =10= 10 cm → adj =10×cos⁡(30°)=10×0,866=8,66= 10 \times \cos(30°) = 10 \times 0{,}866 = 8{,}66 cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une échelle de 55 m est posée contre un mur en formant un angle de 60°60° avec le sol. À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ?
Démarche :
  1. L'échelle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle. L'angle au sol est 60°60° et le côté adjacent est la distance au mur.
  2. cos⁡(60°)=distance au mureˊchelle=d5\cos(60°) = \dfrac{\text{distance au mur}}{\text{échelle}} = \dfrac{d}{5}.
  3. d=5×cos⁡(60°)=5×0,5=2,5d = 5 \times \cos(60°) = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 m.
Réponse : Le pied de l'échelle est à 2,52{,}5 m du mur.

📐 Formules clés

cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}
cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1, cos⁡(30°)=32\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}, cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0
Pour trouver l'angle : A^=cos⁡−1(adjhyp)\hat{A} = \cos^{-1}\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right) (touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice)

🎨 Illustrations

Triangle rectangle
Le cosinus : adjacent sur hypoténuse

À ce niveau, seul le cosinus est au programme : il n'utilise que le côté adjacent et l'hypoténuse. Le troisième côté, l'opposé, ne sert pas dans le calcul.

Triangle rectangle ABC et cosinus de l'angle A Triangle rectangle ABC tracé à l'échelle, angle droit en C, angle de 60 degrés marqué en A. Le côté AC, adjacent à l'angle A, mesure 2,5 mètres et l'hypoténuse AB mesure 5 mètres, conformément à l'exemple chiffré du cours. COS cos  = adj / hyp  C B A AC = adjacent AB = hypoténuse Exemple du cours : échelle de 5 m, angle 60° au sol distance au mur = 5 × cos 60° = 5 × 0,5 = 2,5 m
  • 1 Le côté adjacent à A^\hat{A} est ACAC : il touche A^\hat{A} sans être l'hypoténuse. L'hypoténuse ABAB fait face à l'angle droit en CC.
  • 2 Le troisième côté, BCBC, est le côté opposé à A^\hat{A} : on le nomme pour ne pas le confondre avec l'adjacent, mais le cosinus ne l'utilise jamais (son usage, le sinus, arrive en troisième).
  • 3 Avec hyp =5= 5 m et A^=60°\hat{A} = 60°, on retrouve l'exemple du cours : adjacent =5×cos⁡(60°)=2,5= 5 \times \cos(60°) = 2{,}5 m.
Ce qu'il faut lire : Le cosinus ne fait intervenir que deux côtés : celui qui touche l'angle (adjacent) et le plus long (hypoténuse).
Triangle ABCABC rectangle en CC, avec l'exemple chiffré du cours (échelle de 5 m à 60°).
Le malentendu n° 1
Le cosinus dépend de l'angle, pas de la taille du triangle

Beaucoup d'élèves pensent qu'un plus grand triangle donne un plus grand cosinus. Ces deux triangles n'ont pas la même taille, mais le même angle — et donc exactement le même cosinus.

Deux triangles rectangles semblables de tailles differentes et de meme angle Deux triangles rectangles sont poses sur la meme ligne de base. Le petit a un cote adjacent de 4 unites et une hypotenuse de 5 unites. Le grand, une fois et demie plus grand, a un cote adjacent de 6 unites et une hypotenuse de 7,5 unites. Dans les deux cas l'angle etudie mesure le meme nombre de degres et le quotient du cote adjacent par l'hypotenuse vaut 0,8. La taille du dessin ne change donc pas la valeur du cosinus. adjacent = 4 hyp = 5 angle adjacent = 6 hyp = 7,5 angle 4 ÷ 5 = 0,8 6 ÷ 7,5 = 0,8 même angle, donc même cosinus
  • 1 Le grand triangle est le petit agrandi une fois et demie : 4×1,5=64 \times 1{,}5 = 6 et 5×1,5=7,55 \times 1{,}5 = 7{,}5.
  • 2 Les deux quotients valent 0,80{,}8 : en agrandissant, on multiplie le numérateur ET le dénominateur par le même nombre, donc le quotient ne bouge pas.
  • 3 Retiens-le comme un contrôle : si tu changes seulement la taille d'un triangle, aucun cosinus ne change.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux fractions écrites sous les triangles. Les nombres sont différents, le résultat est le même. Le cosinus est une propriété de l'angle, pas du dessin.
Deux triangles semblables de tailles différentes : le cosinus de l'angle vaut 0,80{,}8 dans les deux cas.
Adjacent à quoi ?
Le côté adjacent change quand on change d'angle

« Adjacent » n'est pas une place sur la feuille : c'est une position par rapport à l'angle qu'on étudie. Dans le même triangle, le côté adjacent n'est pas le même selon qu'on travaille sur A^\hat{A} ou sur B^\hat{B}.

Le meme triangle rectangle etudie selon l'angle A puis selon l'angle B Le meme triangle rectangle, de cotes 6 et 8 et d'hypotenuse 10, est dessine deux fois. A gauche on etudie l'angle A : le cote adjacent est celui de longueur 8, qui touche l'angle A. A droite on etudie l'angle B : le cote adjacent est cette fois celui de longueur 6, qui touche l'angle B. L'hypotenuse, elle, reste la meme dans les deux cas. Le cote adjacent depend donc de l'angle choisi et non de la position du cote sur la feuille. adjacent = 8 6 hyp = 10 A angle étudié : sommet A cos A = 8 ÷ 10 = 0,8 8 adjacent = 6 hyp = 10 B angle étudié : sommet B cos B = 6 ÷ 10 = 0,6
  • 1 Le triangle est le même des deux côtés : 66, 88 et 1010. Seul l'angle étudié change.
  • 2 Le côté adjacent est toujours celui qui touche l'angle étudié sans être l'hypoténuse : 88 pour A^\hat{A}, 66 pour B^\hat{B}.
  • 3 L'hypoténuse, elle, ne change jamais : elle est fixée par l'angle droit, pas par l'angle qu'on étudie.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur l'angle étudié. Deux côtés le touchent : l'hypoténuse, et l'autre — c'est celui-là, l'adjacent. Refais-le sur la figure de droite, tu tombes sur un côté différent.
Le même triangle 66-88-1010 : le côté adjacent vaut 88 pour A^\hat{A} et 66 pour B^\hat{B}.
Le contrôle gratuit
Un cosinus ne peut jamais dépasser 1

L'hypoténuse est le plus long côté du triangle. Le côté adjacent est donc toujours plus court qu'elle, et leur quotient reste inférieur à 11. Un résultat supérieur à 11 signale une erreur, sans avoir à refaire le calcul.

Le calcul juste et l'erreur de fraction renversee En haut, le calcul juste : le cote adjacent de 6 divise par l'hypotenuse de 10 donne 0,6, une valeur comprise entre 0 et 1. En dessous, en trait tirete, l'erreur frequente : l'eleve renverse la fraction et divise 10 par 6, ce qui donne environ 1,67. Une regle graduee de 0 a 2 montre que la valeur juste tombe dans la zone autorisee alors que la valeur erronee tombe au dela de 1, dans une zone qu'aucun cosinus ne peut atteindre. juste adjacent ÷ hypoténuse = 6 ÷ 10 = 0,6 erreur hypoténuse ÷ adjacent = 10 ÷ 6 = 1,67 0 1 2 0,6 1,67 valeurs possibles aucun cosinus ici
  • 1 Le côté adjacent est un côté de l'angle droit : il est toujours plus court que l'hypoténuse.
  • 2 Un quotient dont le numérateur est plus petit que le dénominateur est inférieur à 11 : cos⁡\cos vit donc entre 00 et 11.
  • 3 Si tu trouves 1,671{,}67, tu as divisé à l'envers. Recommence en mettant l'hypoténuse en bas de la fraction.
Ce qu'il faut lire : Avant de valider un cosinus, regarde s'il tient dans la zone colorée. Au-delà de 11, inutile de chercher où est l'erreur de calcul : la fraction est renversée.
Un cosinus tombe toujours entre 00 et 11 : au-delà, la fraction a été écrite à l'envers.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

le côté adjacent change selon l'angle considéré.

✅ La suggestion

Pour l'angle A^\hat{A}, l'adjacent est le côté qui « touche » A^\hat{A} (autre que l'hypoténuse). Ne pas confondre avec le côté opposé.

💡 À retenir

  • cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} — le rapport est toujours compris entre 00 et 11.
  • Le côté adjacent change selon l'angle considéré : c'est le côté qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse).
  • Pour trouver un côté : adj == hyp ×cos⁡(A^)\times \cos(\hat{A}) ; pour trouver un angle : A^=cos⁡−1(adjhyp)\hat{A} = \cos^{-1}\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right) à la calculatrice.
  • Valeurs clés : cos⁡(0°)=1\cos(0°) = 1, cos⁡(60°)=0,5\cos(60°) = 0{,}5, cos⁡(90°)=0\cos(90°) = 0.
  • Retour à l'échelle de l'introduction : cos⁡(A^)=1,204=0,30\cos(\hat{A}) = \dfrac{1{,}20}{4} = 0{,}30, et la touche cos⁡−1\cos^{-1} donne A^≈72,5°\hat{A} \approx 72{,}5°.

    C'est un peu moins que les 75°75° conseillés : il faut rapprocher le pied du mur.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Décomposition de forces, travail d'une force (W=F⋅d⋅cos⁡θW = F \cdot d \cdot \cos\theta), loi de Snell-Descartes en optique

Mots-clés associés : CosinusAngle aiguTriangle rectangleAdjacentHypoténuse
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