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Droites remarquables du triangle

Médiatrice, bissectrice, médiane, hauteur

Un archéologue retrouve trois éclats du bord d'une assiette circulaire cassée : comment retrouver le centre exact de l'assiette sans le reste de l'objet ? En traçant certaines droites bien choisies à partir des trois points, on peut reconstruire le centre — c'est le genre de problème que résolvent les droites remarquables du triangle.

Chaque triangle possède quatre familles de droites remarquables, chacune associée à un point de concours unique.

Médiatrices → centre du cercle circonscrit (à égale distance des 33 sommets).

Bissectrices → centre du cercle inscrit (à égale distance des 33 côtés).

Médianes → centre de gravité (aux 23\frac{2}{3} de chaque médiane en partant du sommet).

Hauteurs → orthocentre (il peut être à l'extérieur du triangle si un angle est obtus).

Piège fréquent : ne pas confondre médiane (joint un sommet au milieu du côté opposé) et médiatrice (perpendiculaire à un côté en son milieu — elle ne passe pas nécessairement par un sommet).

Ces droites sont utiles en ingénierie : le centre de gravité est le point d'équilibre d'une plaque ; le centre du cercle circonscrit permet de retrouver le cercle passant par 33 points — c'est la réponse à l'assiette de l'archéologue.

📖 Vocabulaire clé

Médiatrice : Droite perpendiculaire à un côté en son milieu. Lieu des points équidistants des deux extrémités de ce côté.
Bissectrice : Demi-droite issue d'un sommet qui partage l'angle en deux angles égaux.
Médiane : Segment (ou droite) qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Hauteur : Droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. Elle peut être extérieure au triangle si celui-ci est obtus.

📋 Les quatre droites remarquables

  1. 1 Médiatrice d'un côté : perpendiculaire à ce côté en son milieu. Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit. Exemple : si AB=6AB = 6 cm, la médiatrice de [AB][AB] passe par le milieu de [AB][AB], à 33 cm de AA et de BB, et forme un angle droit avec [AB][AB] ; en général, elle ne passe par aucun sommet.
  2. 2 Bissectrice d'un angle : partage l'angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit. Exemple : la bissectrice d'un angle de 80°80° crée deux angles de 40°40°.
  3. 3 Médiane : joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centre de gravité GG, situé aux 23\frac{2}{3} de chaque médiane en partant du sommet. Exemple : si la médiane issue de AA mesure 1212 cm, alors AG=23×12=8AG = \frac{2}{3} \times 12 = 8 cm.
  4. 4 Hauteur : perpendiculaire issue d'un sommet sur le côté opposé. Les trois hauteurs se coupent à l'orthocentre. Exemple : dans un triangle rectangle, les deux hauteurs issues des angles aigus sont les deux côtés de l'angle droit.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un triangle ABCABC, la médiane issue de AA mesure AM=9AM = 9 cm, et les trois médiatrices se coupent en un point OO tel que OA=5OA = 5 cm. Calculer AGAG et GMGM, où GG est le centre de gravité, puis OBOB.
Démarche :
  1. Le centre de gravité GG est sur la médiane [AM][AM], aux deux tiers en partant du sommet : AG=23×9=6AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6 cm.
  2. Le tiers restant est du côté du milieu : GM=9−6=3GM = 9 - 6 = 3 cm. Contrôle : AG=2×GMAG = 2 \times GM.
  3. OO est le point de concours des médiatrices, donc le centre du cercle circonscrit : il est à égale distance des trois sommets, OB=OA=5OB = OA = 5 cm.
Réponse : AG=6AG = 6 cm, GM=3GM = 3 cm et OB=5OB = 5 cm.

📐 Formules clés

Médiatrice de [AB][AB] : ensemble des points MM tels que MA=MBMA = MB
Centre OO du cercle circonscrit : OA=OB=OCOA = OB = OC
Sur une médiane : AG=23AMAG = \dfrac{2}{3} AM et GM=13AMGM = \dfrac{1}{3} AM (MM milieu du côté opposé)

🎨 Illustrations

Triangle et droites remarquables
Quatre familles de droites, quatre points de concours

Sur un même triangle ABCABC : les médianes se coupent au centre de gravité GG, les médiatrices au centre du cercle circonscrit OO, les hauteurs à l'orthocentre HH, et les bissectrices au centre du cercle inscrit II.

Les quatre droites remarquables du triangle, une par vignette Quatre vignettes du meme triangle A(0;0) B(8;0) C(2;6) : les médianes et leur point de concours G, les médiatrices et O, les hauteurs et H, les bissectrices et I. Les quatre points sont a des positions differentes a l'interieur du triangle. 1. Médianes → G A B C G centre de gravité 2. Médiatrices → O O centre du cercle circonscrit 3. Hauteurs → H H orthocentre 4. Bissectrices → I I centre du cercle inscrit
  • 1 Médianes (vignette 1) : chaque sommet relié au milieu du côté opposé. Les trois se coupent au centre de gravité GG, aux 23\frac{2}{3} de chaque médiane en partant du sommet.
  • 2 Médiatrices (vignette 2) : perpendiculaires à chaque côté en son milieu, elles ne passent pas forcément par un sommet. Elles se coupent au centre du cercle circonscrit OO, à égale distance de AA, BB et CC.
  • 3 Hauteurs (vignette 3) : perpendiculaires issues de chaque sommet sur le côté opposé. Elles se coupent à l'orthocentre HH.
  • 4 Bissectrices (vignette 4) : partagent chaque angle en deux. Elles se coupent au centre du cercle inscrit II, à égale distance des trois côtés.
Ce qu'il faut lire : Les quatre vignettes montrent le même triangle à la même échelle : seule change la famille de droites tracée. Compare la position du point noir d'une vignette à l'autre — les quatre points de concours ne sont pas au même endroit.
Le même triangle ABCABC vu quatre fois : médianes (→ GG), médiatrices (→ OO), hauteurs (→ HH), bissectrices (→ II). Ce triangle étant acutangle, les quatre points restent à l'intérieur du triangle.
La confusion la plus tenace
Médiane et médiatrice passent par le même milieu

Les deux droites passent par le milieu de [BC][BC], et c'est tout ce qu'elles ont en commun. La médiane rejoint le sommet opposé ; la médiatrice est perpendiculaire au côté et ne s'occupe d'aucun sommet.

La mediane et la mediatrice d'un meme cote Le meme triangle est dessine deux fois. A gauche, la mediane part du sommet A et rejoint le milieu du cote oppose : elle est inclinee et touche le sommet. A droite, la mediatrice part du meme milieu mais monte perpendiculairement au cote, marquee par un petit carre d'angle droit, et ne passe pas par le sommet A. Les deux droites partagent donc le meme point de depart au milieu du cote, mais vont dans des directions differentes. A B C milieu médiane elle rejoint le sommet A A B C milieu médiatrice elle ignore le sommet A
  • 1 Les deux droites partent du même point, le milieu de [BC][BC] : c'est ce qui rend la confusion si naturelle.
  • 2 La médiane est définie par un sommet et un milieu. La médiatrice est définie par un angle droit et un milieu.
  • 3 Elles ne coïncident que si le triangle est isocèle en AA — cas particulier, et surtout pas cas général.
Ce qu'il faut lire : Demande-toi toujours : est-ce que ma droite touche un sommet ? Si oui, c'est une médiane. Est-ce qu'elle forme un angle droit avec le côté ? Alors c'est une médiatrice.
Médiane et médiatrice de [BC][BC] : même milieu, mais l'une rejoint le sommet et l'autre est perpendiculaire.
Deux tiers depuis où ?
Le centre de gravité est aux deux tiers en partant du sommet

Le point GG coupe chaque médiane en deux morceaux dont l'un est le double de l'autre. Toute la difficulté est de savoir de quel côté on compte : la grande part est du côté du sommet.

Le centre de gravite partage la mediane en deux tiers et un tiers Un triangle porte une mediane allant du sommet A au milieu M du cote oppose. Le centre de gravite G est place sur cette mediane. Le segment allant de A a G est deux fois plus long que le segment allant de G a M : le premier represente deux tiers de la mediane et le second un tiers. Les deux portions sont mesurees et etiquetees, la grande du cote du sommet. A B C G M deux tiers un tiers la grande part est du côté du sommet
  • 1 Le segment [AG][AG] vaut deux tiers de la médiane, et [GM][GM] un tiers : AGAG est donc le double de GMGM.
  • 2 Conséquence pratique : si on te donne GMGM, la médiane entière vaut 3×GM3 \times GM, et AG=2×GMAG = 2 \times GM.
  • 3 L'erreur classique est de multiplier par 32\dfrac{3}{2} au lieu de 33, en confondant GMGM avec AGAG.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le sommet, puis pars de lui. La première portion rencontrée est la plus longue : deux tiers. Le petit bout restant, du côté du milieu, est le tiers.
Le centre de gravité GG partage la médiane en deux tiers du côté du sommet et un tiers du côté du milieu.
Ce que les figures de cours ne montrent pas
Le centre du cercle circonscrit peut sortir du triangle

Presque toutes les figures de cours utilisent un triangle « bien proportionné », où le point OO tombe à l'intérieur. Ce n'est pas une règle : dès que le triangle a un angle obtus, le centre passe dehors.

Position du centre du cercle circonscrit selon la forme du triangle Deux triangles sont compares. Celui de gauche a tous ses angles aigus et le centre de son cercle circonscrit se trouve a l'interieur de la figure. Celui de droite possede un angle obtus et le centre de son cercle circonscrit se trouve a l'exterieur du triangle, au dela du cote le plus long. Dans les deux cas le centre reste a egale distance des trois sommets, ce qui est la seule propriete qui le definit. O angles aigus : O dedans O angle obtus : O dehors
  • 1 Dans les deux cas, OO est à égale distance des trois sommets : c'est sa seule définition, et elle ne dit rien sur « dedans » ou « dehors ».
  • 2 Le cercle passe bien par les trois sommets des deux côtés, même quand son centre est à l'extérieur de la figure.
  • 3 Cas limite à connaître : si le triangle est rectangle, OO tombe exactement sur le milieu de l'hypoténuse.
Ce qu'il faut lire : Ne cherche pas OO « au milieu » du triangle. Construis deux médiatrices et prends leur intersection : elle tombera où elle doit, dedans ou dehors.
Le centre du cercle circonscrit sort du triangle dès que celui-ci possède un angle obtus.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

confondre médiane et médiatrice.

✅ La suggestion

La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé (elle passe par un sommet). La médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu (elle ne passe pas forcément par un sommet).

💡 À retenir

  • Quatre familles de droites : médiatrices, bissectrices, médianes, hauteurs — chacune a un point de concours.
  • Médiatrices → centre du cercle circonscrit ; bissectrices → centre du cercle inscrit.
  • Médianes → centre de gravité (aux 23\frac{2}{3} de chaque médiane depuis le sommet) ; hauteurs → orthocentre.
  • Ne pas confondre médiane (passe par un sommet) et médiatrice (perpendiculaire au milieu d'un côté).
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