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Droites remarquables du triangle

Médiatrice, bissectrice, médiane, hauteur

Un archéologue retrouve trois éclats du bord d'une assiette circulaire cassée : comment retrouver le centre exact de l'assiette sans le reste de l'objet ? En traçant certaines droites bien choisies à partir des trois points, on peut reconstruire le centre — c'est le genre de problème que résolvent les droites remarquables du triangle.

Chaque triangle possède quatre familles de droites remarquables, chacune associée à un point de concours unique.

Médiatrices → circumcentre (équidistant des 3 sommets = centre du cercle circonscrit). Bissectrices → incentre (équidistant des 3 côtés = centre du cercle inscrit). Médianes → centroïde ou isobarycentre (centre de gravité, à $\frac{2}{3}$ de chaque sommet). Hauteurs → orthocentre (peut être extérieur au triangle si obtus).

Piège fréquent : ne pas confondre médiane (joint un sommet au milieu du côté opposé) et médiatrice (perpendiculaire à un côté en son milieu — elle ne passe pas nécessairement par un sommet).

Ces droites sont utiles en ingénierie : le centroïde est le centre de masse, le circumcentre sert à trouver le cercle passant par 3 points.

📖 Vocabulaire clé

Médiatrice : Droite perpendiculaire à un côté en son milieu. Lieu des points équidistants des deux extrémités de ce côté.

Bissectrice : Demi-droite issue d'un sommet qui partage l'angle en deux angles égaux.

Médiane : Segment (ou droite) qui joint un sommet au milieu du côté opposé.

Hauteur : Droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. Elle peut être extérieure au triangle si celui-ci est obtus.

📋 Les quatre droites remarquables

1 Médiatrice d'un côté : perpendiculaire à ce côté en son milieu. Les trois médiatrices se coupent au CIRCUMCENTRE (centre du cercle circonscrit). Exemple : pour $[AB]$ avec $A(0;0)$ et $B(6;0)$ , le milieu est $(3;0)$ et la médiatrice est la droite $x = 3$ .
2 Bissectrice d'un angle : partage l'angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent à l'INCENTRE (centre du cercle inscrit). Exemple : la bissectrice d'un angle de $80°$ crée deux angles de $40°$ .
3 Médiane : joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au CENTROÏDE (ou ISOBARYCENTRE), à $\frac{2}{3}$ de chaque sommet. Exemple : si la médiane issue de $A$ mesure $12$ cm, alors $AG = \frac{2}{3} \times 12 = 8$ cm.
4 Hauteur : perpendiculaire issue d'un sommet sur le côté opposé. Les trois hauteurs se coupent à l'ORTHOCENTRE. Exemple : dans un triangle rectangle, les deux hauteurs issues des angles aigus sont les deux côtés de l'angle droit.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un triangle

ABC

a pour sommets

A(0 ; 0)

B(8 ; 0)

C(2 ; 6)

. Calculer les coordonnées du centroïde

G

et la longueur

AG

sachant que la médiane issue de

A

va au milieu

M

[BC]

Démarche :

Milieu de $[BC]$ : $M = \left(\dfrac{8+2}{2} ; \dfrac{0+6}{2}\right) = (5 ; 3)$ .
Centroïde : $G = \left(\dfrac{0+8+2}{3} ; \dfrac{0+0+6}{3}\right) = \left(\dfrac{10}{3} ; 2\right)$ .
Longueur $AM = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ cm. Donc $AG = \dfrac{2}{3} \times \sqrt{34} \approx 3{,}89$ cm.

Réponse : Le centroïde est en

G\left(\dfrac{10}{3} ; 2\right)

AG \approx 3{,}89

unités.

📐 Formules clés

Médiatrice : locus des points équidistants des deux extrémités

Centroïde

G

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}

Sur une médiane :

AG = \frac{2}{3} AM

(M = milieu du côté opposé)

🎨 Illustration

Triangle et droites remarquables

Quatre familles de droites, quatre points de concours

Sur le triangle $ABC$ de l'exemple ( $A(0;0)$ , $B(8;0)$ , $C(2;6)$ ) : les médianes se coupent au centre de gravité $G$ , les médiatrices au centre du cercle circonscrit $O$ , les hauteurs à l'orthocentre $H$ , et les bissectrices au centre du cercle inscrit $I$ .

1 Médianes (trait plein épais) : chaque sommet relié au milieu du côté opposé. Les trois se coupent au centre de gravité G, aux 2/3 de chaque sommet.
2 Médiatrices (tirets longs) : perpendiculaires à chaque côté en son milieu, elles ne passent pas forcément par un sommet. Elles se coupent au centre du cercle circonscrit O, équidistant de A, B et C.
3 Hauteurs (trait plein coloré) : perpendiculaires issues de chaque sommet sur le côté opposé. Elles se coupent à l'orthocentre H.
4 Bissectrices (tirets courts) : partagent chaque angle en deux. Elles se coupent au centre du cercle inscrit I, équidistant des trois côtés.

Ce qu'il faut lire : Les quatre vignettes montrent le même triangle à la même échelle : seule change la famille de droites tracée. Compare la position du point noir d'une vignette à l'autre — les quatre points de concours ne sont pas au même endroit.

Le même triangle

ABC

vu quatre fois : médianes (→

G

), médiatrices (→

O

), hauteurs (→

H

), bissectrices (→

I

). Ce triangle étant acutangle, les quatre points restent à l'intérieur du triangle.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

confondre médiane et médiatrice.

✅ La suggestion

La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé (elle passe par un sommet). La médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu (elle ne passe pas forcément par un sommet).

💡 À retenir

Quatre familles de droites : médiatrices, bissectrices, médianes, hauteurs — chacune a un point de concours.
Médiatrices → circumcentre (cercle circonscrit) ; bissectrices → incentre (cercle inscrit).
Médianes → centroïde (centre de gravité, à $\frac{2}{3}$ du sommet) ; hauteurs → orthocentre.
Ne pas confondre médiane (passe par un sommet) et médiatrice (perpendiculaire au milieu d'un côté).

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