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Translations et rotations

Image d'un point, vecteur de translation

Une translation déplace tous les points du plan du même vecteur $\vec{v}$ — même direction, même sens, même longueur. Ce n'est pas une rotation ni une symétrie : l'orientation reste identique, les figures ne sont pas retournées.

Une rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ tourne chaque point autour de $O$ , en conservant la distance $OA$ . Ces deux transformations sont des isométries directes : elles conservent distances, angles, aires, et l'orientation (sens des sommets).

La translation et la rotation sont omniprésentes en physique : déplacement d'un solide en translation pure (toutes les parties ont la même vitesse), rotation d'une roue, mouvement orbital.

Composition de deux translations = une translation (les vecteurs s'additionnent). C'est un outil puissant pour enchaîner des déplacements.

📖 Vocabulaire clé

Translation : Transformation qui déplace chaque point du plan d'un même vecteur

\vec{v}

. La figure glisse sans tourner ni se déformer.

Vecteur de translation : Caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur (norme). Noté

\vec{v}(a ; b)

en coordonnées.

Rotation : Transformation qui fait tourner chaque point autour d'un centre

O

d'un angle

\theta

, en conservant la distance au centre.

Isométrie : Transformation qui conserve les distances. La translation et la rotation sont des isométries directes (elles conservent aussi l'orientation).

📋 Méthode

1 Translation de vecteur $\vec{v}(a ; b)$ : image de $A(x ; y)$ → $A'(x + a ; y + b)$ . Exemple : $A(3 ; 1)$ et $\vec{v}(2 ; -4)$ → $A'(3+2 ; 1+(-4)) = A'(5 ; -3)$ .
2 Rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ : l'image $A'$ est telle que $OA' = OA$ et l'angle $\widehat{AOA'} = \theta$ . Exemple : rotation de $180°$ autour de l'origine : $A(2 ; 3)$ → $A'(-2 ; -3)$ .
3 Propriété d'isométrie : les deux transformations conservent longueurs, angles et aires (isométries directes). Exemple : un carré de côté $5$ cm translaté reste un carré de côté $5$ cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Sur un plan quadrillé, un bateau

B

est en

(1 ; 3)

. Le courant le déplace selon le vecteur

\vec{v}(4 ; -2)

. Où se trouve le bateau après ce déplacement ?

Démarche :

On applique la formule de la translation : $B'(x_B + a \,;\, y_B + b)$ .
$B'(1 + 4 \,;\, 3 + (-2)) = B'(5 \,;\, 1)$ .
Vérification : la distance parcourue est $\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}5$ unités.

Réponse : Le bateau arrive en

B'(5 ; 1)

, ayant parcouru environ

4{,}5

unités.

📐 Formules clés

Translation

\vec{v}(a;b)

A(x;y) \to A'(x+a\,;\,y+b)

Rotation de

180°

autour de

O

A(x;y) \to A'(2x_O - x\,;\,2y_O - y)

|OA'| = |OA|

(rotation conserve les distances)

🎨 Illustration

Translation dans le plan

Construire l'image d'un point par une translation de vecteur

\vec{v}(a\,;\,b)

Reprise de l'exemple du cours : $A(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(2\,;\,-4)$ donnent $A'(3+2\,;\,1+(-4)) = A'(5\,;\,-3)$ .

1 Le vecteur $\vec{v}(2\,;\,-4)$ donne le déplacement : on avance de $2$ vers la droite (abscisse) puis de $4$ vers le bas (ordonnée négative).
2 La flèche relie directement $A$ à son image $A'$ : c'est le même vecteur $\vec{v}$ qui déplacerait n'importe quel autre point du plan.
3 Vérification par coordonnées : $A'(3+2\,;\,1+(-4)) = A'(5\,;\,-3)$ , exactement le point marqué sur le graphique.

Ce qu'il faut lire : Le trajet en escalier (pointillés) montre séparément l'effet de

a

puis de

b

; la flèche pleine montre le vecteur réel

\vec{v}

qui va directement de

A

A'

Translation du point

A(3\,;\,1)

par le vecteur

\vec{v}(2\,;\,-4)

, donnant l'image

A'(5\,;\,-3)

— exemple repris de la méthode du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

lors d'une translation, tous les points se déplacent du MÊME vecteur.

✅ La suggestion

On ne tourne pas, on ne dilate pas. Le vecteur $\vec{v}$ a une direction, un sens ET une longueur.

💡 À retenir

Translation : chaque point se déplace du même vecteur $\vec{v}(a ; b)$ → on ajoute $a$ à l'abscisse et $b$ à l'ordonnée.
Rotation : chaque point tourne autour d'un centre $O$ en conservant sa distance à $O$ .
Ces deux transformations sont des isométries : elles conservent distances, angles et aires.
La composition de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs.

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