Matières › 📐 Mathématiques › Collège › Translations et rotations
➡️

Translations et rotations

Image d'un point, vecteur de translation

Un robot d'entrepôt reçoit deux consignes : « avance de 55 cases vers la droite et de 11 case vers le bas », puis « avance de 22 cases vers la gauche et de 33 cases vers le haut ». Où arrive-t-il ?

Tu peux le suivre case par case sur un quadrillage, et tu trouveras. Mais s'il reçoit trente consignes, ou si tu dois programmer la machine, dessiner ne suffit plus : il faut pouvoir calculer le déplacement total.

Pour cela, il faut d'abord une façon d'écrire un déplacement comme un objet unique, qu'on puisse additionner à un autre. C'est ce que ce chapitre introduit.

Une translation déplace tous les points du plan du même vecteur v⃗\vec{v} — même direction, même sens, même longueur. Ce n'est pas une rotation ni une symétrie : l'orientation reste identique, les figures ne sont pas retournées.

Une rotation de centre OO et d'angle θ\theta tourne chaque point autour de OO, en conservant la distance OAOA. Ces deux transformations sont des isométries directes : elles conservent distances, angles, aires, et l'orientation (sens des sommets).

La translation et la rotation sont omniprésentes en physique : déplacement d'un solide en translation pure (toutes les parties ont la même vitesse), rotation d'une roue, mouvement orbital.

Composition de deux translations = une translation (les vecteurs s'additionnent). C'est un outil puissant pour enchaîner des déplacements.

📖 Vocabulaire clé

Translation : Transformation qui déplace chaque point du plan d'un même vecteur v⃗\vec{v}. La figure glisse sans tourner ni se déformer.
Vecteur de translation : Caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur (norme). Noté v⃗(a;b)\vec{v}(a ; b) en coordonnées.
Rotation : Transformation qui fait tourner chaque point autour d'un centre OO d'un angle θ\theta, en conservant la distance au centre.
Isométrie : Transformation qui conserve les distances. La translation et la rotation sont des isométries directes (elles conservent aussi l'orientation).

📋 Méthode

  1. 1 Translation de vecteur v⃗(a;b)\vec{v}(a ; b) : image de A(x;y)A(x ; y) → A′(x+a;y+b)A'(x + a ; y + b). Exemple : A(3;1)A(3 ; 1) et v⃗(2;−4)\vec{v}(2 ; -4) → A′(3+2;1+(−4))=A′(5;−3)A'(3+2 ; 1+(-4)) = A'(5 ; -3).
  2. 2 Rotation de centre OO et d'angle θ\theta : l'image A′A' est telle que OA′=OAOA' = OA et l'angle AOA′^=θ\widehat{AOA'} = \theta. Exemple : rotation de 180°180° autour de l'origine : A(2;3)A(2 ; 3) → A′(−2;−3)A'(-2 ; -3).
  3. 3 Propriété d'isométrie : les deux transformations conservent longueurs, angles et aires (isométries directes). Exemple : un carré de côté 55 cm translaté reste un carré de côté 55 cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Sur un plan quadrillé, un bateau BB est en (1;3)(1 ; 3). Le courant le déplace selon le vecteur v⃗(4;−2)\vec{v}(4 ; -2). Où se trouve le bateau après ce déplacement ?
Démarche :
  1. On applique la formule de la translation : B′(xB+a ; yB+b)B'(x_B + a \,;\, y_B + b).
  2. B′(1+4 ; 3+(−2))=B′(5 ; 1)B'(1 + 4 \,;\, 3 + (-2)) = B'(5 \,;\, 1).
  3. Vérification : la distance parcourue est ∥v⃗∥=42+(−2)2=20≈4,5\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}5 unités.
Réponse : Le bateau arrive en B′(5;1)B'(5 ; 1), ayant parcouru environ 4,54{,}5 unités.

📐 Formules clés

Translation v⃗(a;b)\vec{v}(a;b) : A(x;y)→A′(x+a ; y+b)A(x;y) \to A'(x+a\,;\,y+b)
Rotation de 180°180° autour de OO : A(x;y)→A′(2xO−x ; 2yO−y)A(x;y) \to A'(2x_O - x\,;\,2y_O - y)
∣OA′∣=∣OA∣|OA'| = |OA| (rotation conserve les distances)

🎨 Illustrations

Translation dans le plan
Construire l'image d'un point par une translation de vecteur v⃗(a ; b)\vec{v}(a\,;\,b)

Reprise de l'exemple du cours : A(3 ; 1)A(3\,;\,1) et v⃗(2 ; −4)\vec{v}(2\,;\,-4) donnent A′(3+2 ; 1+(−4))=A′(5 ; −3)A'(3+2\,;\,1+(-4)) = A'(5\,;\,-3).

Translation du point A par le vecteur v Repere avec le point A en 3 ; 1 et son image A prime en 5 ; -3 par la translation de vecteur v de coordonnées 2 ; -4, avec la fleche du vecteur tracee entre les deux points. x y 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 a = 2 b = -4 v(2 ; -4) A(3 ; 1) A'(5 ; -3)
  • 1 Le vecteur v⃗(2 ; −4)\vec{v}(2\,;\,-4) donne le déplacement : on avance de 22 vers la droite (abscisse) puis de 44 vers le bas (ordonnée négative).
  • 2 La flèche relie directement AA à son image A′A' : c'est le même vecteur v⃗\vec{v} qui déplacerait n'importe quel autre point du plan.
  • 3 Vérification par coordonnées : A′(3+2 ; 1+(−4))=A′(5 ; −3)A'(3+2\,;\,1+(-4)) = A'(5\,;\,-3), exactement le point marqué sur le graphique.
Ce qu'il faut lire : Le trajet en escalier (pointillés) montre séparément l'effet de aa puis de bb ; la flèche pleine montre le vecteur réel v⃗\vec{v} qui va directement de AA à A′A'.
Translation du point A(3 ; 1)A(3\,;\,1) par le vecteur v⃗(2 ; −4)\vec{v}(2\,;\,-4), donnant l'image A′(5 ; −3)A'(5\,;\,-3) — exemple repris de la méthode du cours.
Un vecteur n'est pas un point
Le même vecteur peut se dessiner n'importe où

Un point a une place unique sur le quadrillage. Un vecteur, lui, ne dit qu'une chose : de combien on se déplace. Les trois flèches ci-dessous sont donc le même vecteur, malgré des positions différentes.

Trois representations du meme vecteur sur un quadrillage Sur un quadrillage, trois fleches sont tracees a des endroits differents. Chacune avance de trois carreaux vers la droite et monte de deux carreaux. Comme elles ont la meme direction, le meme sens et la meme longueur, elles representent toutes le meme vecteur, meme si leurs points de depart et d'arrivee sont differents. trois flèches, un seul vecteur : 3 carreaux à droite, 2 vers le haut
  • 1 Ce qui définit un vecteur, ce sont trois choses : sa direction, son sens et sa longueur. Jamais sa position.
  • 2 Les trois flèches ont les mêmes coordonnées, ici (3 ; 2)(3\,;\,2) en carreaux : elles sont donc égales, au sens des vecteurs.
  • 3 C'est ce qui rend la translation utile : un seul vecteur suffit à déplacer tous les points de la figure d'un coup.
Ce qu'il faut lire : Compte les carreaux pour chaque flèche : trois à droite, deux vers le haut, à chaque fois. Le point de départ n'entre pas dans la définition.
Trois flèches de même direction, même sens et même longueur : c'est un seul et même vecteur.
La réponse à la question d'ouverture
Deux translations enchaînées en font une seule

Le robot de l'introduction reçoit deux consignes. Plutôt que de le suivre case par case, on peut additionner les deux vecteurs : le résultat est un unique vecteur qui mène directement à l'arrivée.

Somme de deux vecteurs par la relation de Chasles Un point de depart A est relie a un point intermediaire par un premier vecteur qui avance de cinq carreaux vers la droite et descend d'un carreau. Depuis ce point intermediaire, un second vecteur recule de deux carreaux et monte de trois carreaux, menant au point d'arrivee. Une troisieme fleche, tracee en trait plein, relie directement A au point d'arrivee : elle avance de trois carreaux et monte de deux, ce qui correspond a la somme des coordonnees des deux premiers vecteurs. 1re consigne 2e consigne tout droit départ arrivée le trait plein remplace les deux pointillés
  • 1 Première consigne u⃗(5 ; −1)\vec{u}(5\,;\,-1), seconde v⃗(−2 ; 3)\vec{v}(-2\,;\,3) : on additionne abscisse avec abscisse et ordonnée avec ordonnée.
  • 2 u⃗+v⃗=(5+(−2) ; −1+3)=(3 ; 2)\vec{u} + \vec{v} = (5 + (-2)\,;\,-1 + 3) = (3\,;\,2) : c'est exactement la flèche en trait plein.
  • 3 Peu importe le chemin suivi : seul compte le point d'arrivée. Trente consignes se résument encore à une seule addition.
Ce qu'il faut lire : Suis d'abord les deux pointillés, puis le trait plein. Ils aboutissent au même endroit — mais le trait plein s'obtient par un calcul, sans rien dessiner.
Deux translations enchaînées équivalent à une seule, de vecteur la somme des deux.
Ce qui ne change pas
La figure glisse sans se déformer

Une translation ne change ni les longueurs, ni les angles, ni l'aire. La figure ne tourne pas, ne se retourne pas et ne grandit pas : elle glisse, c'est tout.

Un triangle et son image par translation Un triangle est dessine a gauche et son image par translation a droite. Les deux triangles sont rigoureusement identiques : memes longueurs de cotes, memes angles, meme aire, et meme orientation. Trois fleches paralleles de meme longueur relient chaque sommet a son image, ce qui montre que tous les points ont subi exactement le meme deplacement. figure de départ son image les trois flèches sont parallèles et de même longueur
  • 1 Les deux triangles sont superposables : on passe de l'un à l'autre en glissant, sans tourner ni retourner.
  • 2 Les trois flèches de liaison sont parallèles et de même longueur — c'est la signature d'une translation, et ce qui la distingue d'une rotation.
  • 3 Conséquence directe : si la figure de départ a une aire de 2424 cm², son image a exactement la même aire.
Ce qu'il faut lire : Vérifie sur la figure que les trois flèches sont parallèles. Si l'une d'elles penchait autrement, il ne s'agirait plus d'une translation.
Une translation conserve les longueurs, les angles et l'aire : la figure glisse sans se déformer.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

lors d'une translation, tous les points se déplacent du MÊME vecteur.

✅ La suggestion

On ne tourne pas, on ne dilate pas. Le vecteur v⃗\vec{v} a une direction, un sens ET une longueur.

💡 À retenir

  • Translation : chaque point se déplace du même vecteur v⃗(a;b)\vec{v}(a ; b) → on ajoute aa à l'abscisse et bb à l'ordonnée.
  • Rotation : chaque point tourne autour d'un centre OO en conservant sa distance à OO.
  • Ces deux transformations sont des isométries : elles conservent distances, angles et aires.
  • La composition de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs.
← Triangle rectangle et cercle circonscrit 31 / 49 → Droites remarquables du triangle