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Triangle rectangle et cercle circonscrit

Angle inscrit dans un demi-cercle (Thalès)

Dans un atelier, il faut tracer un angle parfaitement droit sur une grande plaque. Pas d'équerre assez grande, pas de rapporteur. On dispose seulement d'une ficelle et d'un crayon.

Un menuisier trace alors un demi-cercle, place un point n'importe où sur l'arc, et le relie aux deux extrémités du diamètre. Il affirme que l'angle obtenu est droit — à coup sûr, quel que soit le point choisi.

Cela paraît trop beau : pourquoi un point pris au hasard donnerait-il toujours exactement $90°$ ? Ce chapitre montre pourquoi, et pourquoi il n'y a aucune exception.

Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle est un résultat élégant : si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle et que $[BC]$ est un diamètre, alors l'angle $\hat{A}$ est nécessairement droit — et ce quel que soit l'emplacement de $A$ sur le cercle (tant qu'il n'est pas sur le diamètre).

Intuition géométrique : le centre $O$ du cercle est le milieu de $[BC]$ , et $OA = OB = OC = R$ (rayons). Le triangle $OAB$ et $OAC$ sont isocèles. En additionnant les angles on obtient $\hat{A} = 90°$ .

La réciproque est aussi vraie et utile : si $\hat{A} = 90°$ dans $ABC$ , alors $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, et son rayon est $R = \dfrac{BC}{2}$ .

Ce résultat est utilisé en construction géométrique : pour tracer un angle droit, il suffit d'inscrire un triangle dans un demi-cercle.

📖 Vocabulaire clé

Cercle circonscrit : Cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Son centre est équidistant des trois sommets.

Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.

Diamètre : Corde passant par le centre du cercle. C'est la plus grande corde possible :

d = 2R

Hypoténuse : Côté le plus long d'un triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Identifier si un côté est un diamètre : si $O$ est le centre du cercle et le milieu de $[BC]$ , alors $[BC]$ est un diamètre du cercle.
2 Théorème direct : si un côté est un diamètre et $A$ est sur le cercle, l'angle opposé à ce diamètre est nécessairement droit ( $90°$ ). Exemple : $[BC]$ est un diamètre et $A$ est sur le cercle → $\hat{A} = 90°$ .
3 Réciproque : si un angle d'un triangle est droit, le côté opposé (hypoténuse) est un diamètre du cercle circonscrit. Exemple : $\hat{A} = 90°$ et $BC = 14$ cm → le cercle circonscrit à pour rayon $R = \dfrac{14}{2} = 7$ cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un pont en arc a la forme d'un demi-cercle de diamètre

[BC] = 20

m. Un câble relie un point

A

situé sur l'arc aux deux extrémités

B

C

. Quel est l'angle

\hat{A}

formé par les deux câbles ? Si

AB = 12

m, quelle est la longueur

AC

Démarche :

$[BC]$ est un diamètre et $A$ est sur le cercle → d'après le théorème, $\hat{A} = 90°$ .
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On applique Pythagore : $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$ .
$AC = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ m.

Réponse : L'angle

\hat{A} = 90°

et le câble

AC

mesure

16

📐 Formules clés

Théorème :

[BC]

diamètre et

A

sur le cercle

\Rightarrow \hat{A} = 90°

Réciproque :

\hat{A} = 90°

dans

ABC

\Rightarrow

[BC]

est un diamètre du cercle circonscrit

Rayon du cercle circonscrit :

R = \dfrac{BC}{2}

(BC = hypoténuse)

🎨 Illustrations

Cercle circonscrit

Angle inscrit dans un demi-cercle : pourquoi l'angle en A est droit

Le point A est n'importe où sur le cercle (hors B et C) : l'angle en A reste toujours droit tant que BC est un diamètre.

1 O est le centre du cercle et le milieu du diamètre BC : donc OA = OB = OC = R.
2 Où que se trouve A sur le cercle, l'angle en A reste droit : ce n'est pas une coïncidence liée à la position choisie ici.
3 Ici A n'est pas au sommet du demi-cercle, pour bien montrer que le théorème est général et ne dépend pas de cette position particulière.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le diamètre BC : si A est sur le cercle, l'angle opposé à ce diamètre est automatiquement droit, quelle que soit la position de A.

Théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle : BC diamètre et A sur le cercle donc l'angle en A vaut 90 degrés.

Quel que soit le point

Trois positions de A, trois fois un angle droit

Le théorème affirme que l'angle est droit où que soit le point $A$ sur le cercle. Une seule figure ne prouve rien : en voici trois, sur le même cercle, avec le même diamètre.

1 Les trois points sont sur le même cercle et le segment $[BC]$ est le même diamètre à chaque fois.
2 Dans les trois triangles, l'angle au sommet posé sur le cercle vaut exactement $90°$ — ce n'est pas un effet de dessin.
3 C'est ce que dit le théorème : la position de $A$ sur le cercle est libre, le résultat ne bouge pas.

Ce qu'il faut lire : Choisis toi-même un quatrième point sur le cercle, relie-le à

B

et à

C

: tu obtiendras encore un angle droit. Le seul point interdit est celui qui tombe sur le diamètre lui-même.

Trois positions différentes de

A

sur le cercle, et trois fois un angle droit en

A

L'hypothèse qu'on oublie

Sans diamètre, plus d'angle droit

Le théorème ne dit pas « un triangle inscrit dans un cercle est rectangle ». Il exige que $[BC]$ soit un diamètre, c'est-à-dire qu'il passe par le centre. Si la corde ne passe pas par le centre, l'angle n'est plus droit.

1 À gauche, la corde passe par le centre $O$ : c'est un diamètre, et l'angle en $A$ vaut $90°$ .
2 À droite, la corde ne passe pas par $O$ . Le sommet est pourtant bien sur le cercle, mais l'angle ne vaut plus $90°$ .
3 Avant d'appliquer le théorème, vérifie donc toujours que le segment passe par le centre — c'est l'hypothèse, pas un détail.

Ce qu'il faut lire : Regarde où se trouve le point

O

dans chaque figure. À gauche il est sur la corde, à droite il est au-dessus. C'est cette différence, et elle seule, qui fait disparaître l'angle droit.

Le théorème exige un diamètre : avec une corde quelconque, l'angle n'est plus droit.

La conséquence utile

La médiane vers l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse

Si $A$ est sur le cercle et $[BC]$ un diamètre, alors $O$ est le milieu de $[BC]$ et $OA$ est un rayon. Donc $OA = OB = OC$ : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets.

1 $M$ est le milieu de $[BC]$ , donc $MB = MC$ : c'est la définition du milieu.
2 Mais $M$ est aussi le centre du cercle, et $A$ est dessus : donc $MA$ est un rayon, comme $MB$ et $MC$ .
3 D'où le résultat pratique : $MA = \dfrac{BC}{2}$ . Si l'hypoténuse mesure $26$ cm, la médiane issue de l'angle droit mesure $13$ cm.

Ce qu'il faut lire : Les trois segments partant de

M

ont la même longueur, parce que ce sont trois rayons du même cercle. C'est la façon la plus rapide de retrouver ce résultat sans le retenir par cœur.

Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit : il est à égale distance des trois sommets.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

le théorème s'applique uniquement quand le côté est un DIAMÈTRE, pas juste une corde du cercle.

✅ La suggestion

Un côté = diamètre signifie que son milieu est le centre du cercle.

💡 À retenir

Si un côté d'un triangle inscrit est un diamètre, l'angle opposé vaut $90°$ .
Réciproque : si un triangle est rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
Le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l'hypoténuse : $R = \dfrac{BC}{2}$ .

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