⭕

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Angle inscrit dans un demi-cercle (Thalès)

Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle est un résultat élégant : si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle et que $[BC]$ est un diamètre, alors l'angle $\hat{A}$ est nécessairement droit — et ce quel que soit l'emplacement de $A$ sur le cercle (tant qu'il n'est pas sur le diamètre).

Intuition géométrique : le centre $O$ du cercle est le milieu de $[BC]$ , et $OA = OB = OC = R$ (rayons). Le triangle $OAB$ et $OAC$ sont isocèles. En additionnant les angles on obtient $\hat{A} = 90°$ .

La réciproque est aussi vraie et utile : si $\hat{A} = 90°$ dans $ABC$ , alors $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, et son rayon est $R = \dfrac{BC}{2}$ .

Ce résultat est utilisé en construction géométrique : pour tracer un angle droit, il suffit d'inscrire un triangle dans un demi-cercle.

📖 Vocabulaire clé

Cercle circonscrit : Cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Son centre est équidistant des trois sommets.

Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.

Diamètre : Corde passant par le centre du cercle. C'est la plus grande corde possible :

d = 2R

Hypoténuse : Côté le plus long d'un triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Identifier si un côté est un diamètre : si $O$ est le centre du cercle et le milieu de $[BC]$ , alors $[BC]$ est un diamètre du cercle.
2 Théorème direct : si un côté est un diamètre et $A$ est sur le cercle, l'angle opposé à ce diamètre est nécessairement droit ( $90°$ ). Exemple : $[BC]$ est un diamètre et $A$ est sur le cercle → $\hat{A} = 90°$ .
3 Réciproque : si un angle d'un triangle est droit, le côté opposé (hypoténuse) est un diamètre du cercle circonscrit. Exemple : $\hat{A} = 90°$ et $BC = 14$ cm → le cercle circonscrit a pour rayon $R = \dfrac{14}{2} = 7$ cm.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un pont en arc a la forme d'un demi-cercle de diamètre

[BC] = 20

m. Un câble relie un point

A

situé sur l'arc aux deux extrémités

B

C

. Quel est l'angle

\hat{A}

formé par les deux câbles ? Si

AB = 12

m, quelle est la longueur

AC

Démarche :

$[BC]$ est un diamètre et $A$ est sur le cercle → d'après le théorème, $\hat{A} = 90°$ .
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On applique Pythagore : $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$ .
$AC = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ m.

Réponse : L'angle

\hat{A} = 90°

et le câble

AC

mesure

16

📐 Formules clés

Théorème :

[BC]

diamètre et

A

sur le cercle

\Rightarrow \hat{A} = 90°

Réciproque :

\hat{A} = 90°

dans

ABC

\Rightarrow

[BC]

est un diamètre du cercle circonscrit

Rayon du cercle circonscrit :

R = \dfrac{BC}{2}

(BC = hypoténuse)

🎨 Illustration

Cercle circonscrit

Angle inscrit dans un demi-cercle : pourquoi l'angle en A est droit

Le point A est n'importe où sur le cercle (hors B et C) : l'angle en A reste toujours droit tant que BC est un diamètre.

1 O est le centre du cercle et le milieu du diamètre BC : donc OA = OB = OC = R.
2 Où que se trouve A sur le cercle, l'angle en A reste droit : ce n'est pas une coïncidence liée à la position choisie ici.
3 Ici A n'est pas au sommet du demi-cercle, pour bien montrer que le théorème est général et ne dépend pas de cette position particulière.

Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le diamètre BC : si A est sur le cercle, l'angle opposé à ce diamètre est automatiquement droit, quelle que soit la position de A.

Théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle : BC diamètre et A sur le cercle donc l'angle en A vaut 90 degrés.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

le théorème s'applique uniquement quand le côté est un DIAMÈTRE, pas juste une corde du cercle.

✅ La suggestion

Un côté = diamètre signifie que son milieu est le centre du cercle.

💡 À retenir

Si un côté d'un triangle inscrit est un diamètre, l'angle opposé vaut $90°$ .
Réciproque : si un triangle est rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
Le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l'hypoténuse : $R = \dfrac{BC}{2}$ .

← Relatifs : multiplication et division 30 / 49 → Translations et rotations