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Relatifs : multiplication et division

Règle des signes, produit, quotient

🔬 Application physique-chimie : Calcul de variations de température, produit de charges électriques de signes opposés
Tu dois 5050 € à trois personnes : ta situation vaut 3×(−50)=−1503 \times (-50) = -150 €. Maintenant, ces trois dettes sont annulées. Que devient ta situation ?

Tu retires trois fois une dette de 5050 €, ce qui s'écrit (−3)×(−50)(-3) \times (-50). Et sans faire aucun calcul, tu sais déjà que tu es plus riche de 150150 € qu'avant : la situation impose que le résultat soit positif.

C'est la seule justification honnête de « moins par moins fait plus » : ce n'est pas une convention à retenir, c'est ce que la réalité oblige à écrire.

La règle des signes pour la multiplication est intuitive si on pense aux opposés : multiplier par −1-1 inverse le signe. Donc (−1)×(−1)=1(-1) \times (-1) = 1 car « l'opposé de l'opposé ». Règle générale : pair de −- → ++, impair de −- → −-.

Piège classique avec les exposants : (−3)2=(−3)×(−3)=+9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9 (le −- est dans la base), mais −32=−(3×3)=−9-3^2 = -(3 \times 3) = -9 (l'exposant s'applique uniquement au 33). Les parenthèses sont essentielles.

En physique, les grandeurs algébriques (tension, position, vitesse) peuvent être négatives — le signe indique un sens (opposé à la convention positive choisie). Par exemple, une vitesse de −5-5 m/s signifie un déplacement dans le sens opposé à l'axe choisi.

📖 Vocabulaire clé

Nombre relatif : Nombre muni d'un signe (++ ou −-) et d'une distance à zéro. Exemples : +7+7, −3,5-3{,}5.
Distance à zéro : Distance entre le nombre et 00 sur la droite graduée, toujours positive : la distance à zéro de −5-5 est 55, celle de +5+5 aussi. (Au lycée, on l'appellera « valeur absolue ».)
Règle des signes : Deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
Opposé d'un nombre : L'opposé de aa est −a-a. Leur somme vaut 00 : a+(−a)=0a + (-a) = 0.

📋 Règle des signes

  1. 1 Distance à zéro : calculer d'abord le résultat comme si les nombres étaient positifs. Exemple : pour (−6)×(+4)(-6) \times (+4), on calcule 6×4=246 \times 4 = 24.
  2. 2 Déterminer le signe : (+)×(+)=(+)(+) \times (+) = (+), (−)×(−)=(+)(-) \times (-) = (+), (+)×(−)=(−)(+) \times (-) = (-), (−)×(+)=(−)(-) \times (+) = (-). Exemple : (−6)×(+4)(-6) \times (+4) → signes contraires → résultat négatif → −24-24.
  3. 3 Suite de multiplications : compter le nombre de facteurs négatifs. Pair → positif ; impair → négatif. Exemple : (−2)×(−3)×(−1)(-2) \times (-3) \times (-1) → 33 facteurs négatifs (impair) → résultat négatif → −6-6.
  4. 4 Division : suit les mêmes règles de signes que la multiplication. Exemple : (−15)÷(−3)=+5(-15) \div (-3) = +5 (deux négatifs → positif).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un sous-marin plonge de 88 m par minute pendant 55 minutes, puis remonte de 33 m par minute pendant 44 minutes. Quelle est la variation totale de profondeur ?
Démarche :
  1. Descente : (−8)×5=−40(-8) \times 5 = -40 m (le signe −- indique qu'on descend).
  2. Remontée : (+3)×4=+12(+3) \times 4 = +12 m (le signe ++ indique qu'on remonte).
  3. Variation totale : (−40)+(+12)=−28(-40) + (+12) = -28 m.
Réponse : Le sous-marin a une variation totale de −28-28 m (il est 2828 m plus profond qu'au départ).

📐 Formules clés

(+a)×(+b)=+ab(+a) \times (+b) = +ab
(−a)×(−b)=+ab(-a) \times (-b) = +ab
(+a)×(−b)=−ab(+a) \times (-b) = -ab
(−a)÷(+b)=−ab(-a) \div (+b) = -\dfrac{a}{b}

🎨 Illustrations

Droite graduée — sauts et changement de sens
Multiplier par un relatif : une histoire de sens

La longueur du saut ne change pas, mais quand on multiplie par un nombre négatif, on inverse le sens de la répétition.

Comparons (−2)×3(-2) \times 3 et (−2)×(−3)(-2) \times (-3) sur deux droites graduées superposées.

Deux droites graduées comparant (-2) x 3 et (-2) x (-3) En haut, une droite graduée de -8 a 8 montre trois sauts de -2 vers la gauche partant de 0 et arrivant a -6, illustrant (-2) x 3 = -6. En bas, une deuxième droite graduee identique montre trois sauts de +2 vers la droite partant de 0 et arrivant a +6, illustrant (-2) x (-3) = +6 : le sens des sauts s'est inverse. (-2) x 3 = -6 3 sauts de -2, vers la gauche -2 -2 -2 -8 -4 -2 -6 0 +2 +4 +6 +8 (-2) x (-3) = +6 3 sauts de +2, vers la droite (sens inverse !) +2 +2 +2 -8 -6 -4 -2 0 +2 +4 +6 +8
  • 1 Ligne du haut — (−2)×3(-2) \times 3 : on répète 33 fois le saut de −2-2, toujours dans le même sens (vers la gauche), comme une addition répétée. On part de 00 et on arrive à −6-6.
  • 2 Ligne du bas — (−2)×(−3)(-2) \times (-3) : multiplier par −3-3 revient à faire l'opposé de « 33 sauts de −2-2 ». Le sens s'inverse : ce sont désormais 33 sauts de +2+2 vers la droite. On part de 00 et on arrive à +6+6.
  • 3 Ce qui ne change pas : la longueur du saut reste 22 dans les deux cas — seul le signe du deuxième facteur décide de la direction.
  • 4 Règle des signes retrouvée : (−)×(+)=(−)(-) \times (+) = (-) (même sens → résultat négatif) et (−)×(−)=(+)(-) \times (-) = (+) (sens inversé → résultat positif).
Ce qu'il faut lire : Multiplier par un nombre négatif inverse le sens des sauts sur la droite graduée : (−2)×3=−6(-2) \times 3 = -6 (vers la gauche) devient (−2)×(−3)=+6(-2) \times (-3) = +6 (mêmes sauts, mais vers la droite).
Deux droites graduées superposées : en haut (−2)×3=−6(-2) \times 3 = -6, en bas (−2)×(−3)=+6(-2) \times (-3) = +6, pour visualiser le renversement de sens.
Compter, pas apparier
C'est le nombre de facteurs négatifs qui décide

La règle « moins par moins fait plus » suffit pour deux facteurs. Au-delà, elle égare : ce qu'il faut, c'est compter les facteurs négatifs et regarder si ce nombre est pair ou impair.

Signe d'un produit selon le nombre de facteurs negatifs Trois produits sont compares. Le premier comporte deux facteurs negatifs, un nombre pair, et son resultat est positif. Le deuxieme en comporte trois, un nombre impair, et son resultat est negatif. Le troisieme en comporte quatre, un nombre pair, et son resultat redevient positif. Le signe du resultat ne depend donc que de la parite du nombre de facteurs negatifs. (−2) × (−3) 2 facteurs négatifs pair : résultat +6 (−2) × (−3) × (−1) 3 facteurs négatifs impair : résultat −6 (−1) × (−2) × (−3) × (−1) 4 facteurs négatifs pair : résultat +6 seule la parité du compte change le signe
  • 1 La valeur du produit ne change pas d'une ligne à l'autre : c'est toujours 66. Seul le signe varie.
  • 2 Nombre pair de facteurs négatifs : résultat positif. Nombre impair : résultat négatif.
  • 3 Méthode sûre : calcule d'abord le produit des valeurs sans les signes, puis compte les moins pour décider du signe final.
Ce qu'il faut lire : Entoure les facteurs négatifs et compte-les. Tu n'as plus qu'une question à te poser : ce nombre est-il pair ou impair ?
Le signe d'un produit dépend uniquement de la parité du nombre de facteurs négatifs.
La parenthèse change tout
Moins cinq au carré n'est pas moins cinq, au carré

Dans (−5)2(-5)^2, l'exposant porte sur −5-5 tout entier. Dans −52-5^2, il ne porte que sur le 55, et le signe moins reste devant. Les deux écritures se ressemblent et donnent des résultats opposés.

Comparaison entre moins cinq entre parentheses au carre et moins cinq au carre A gauche, l'ecriture avec parentheses : l'exposant porte sur le nombre negatif tout entier, ce qui revient a multiplier moins cinq par moins cinq et donne plus vingt-cinq. A droite, l'ecriture sans parentheses : l'exposant ne porte que sur le cinq, le signe moins reste en dehors, ce qui donne l'oppose de vingt-cinq, soit moins vingt-cinq. Les deux resultats sont opposes. (−5)² exposant porté par −5 entier (−5) × (−5) = +25 −5² exposant porté par le 5 seul opposé de 5 × 5 = −25 deux écritures voisines, deux résultats opposés
  • 1 (−5)2=(−5)×(−5)=+25(-5)^2 = (-5) \times (-5) = +25 : deux facteurs négatifs, nombre pair, résultat positif.
  • 2 −52=−(5×5)=−25-5^2 = -(5 \times 5) = -25 : le signe moins n'entre jamais dans le carré, il attend dehors.
  • 3 À la calculatrice, la même distinction existe : taper −5-5 puis le carré ne donne pas la même chose que taper la parenthèse.
Ce qu'il faut lire : Cherche la parenthèse avant tout calcul. Si le signe moins est dedans, il est élevé au carré ; s'il est dehors, il reste dehors.
La parenthèse décide si le signe moins est élevé au carré : (−5)2=25(-5)^2 = 25 mais −52=−25-5^2 = -25.
La division aussi
La règle des signes vaut pour la division

Les élèves apprennent la règle sur la multiplication et hésitent devant un quotient. C'est pourtant exactement la même règle, parce que diviser revient à multiplier par l'inverse.

Regle des signes appliquee a la multiplication puis a la division Un tableau compare quatre cas. Pour la multiplication : plus par plus donne plus, moins par moins donne plus, plus par moins donne moins. Pour la division, les memes combinaisons donnent exactement les memes signes : quinze divise par trois donne cinq, moins quinze divise par moins trois donne cinq, et moins quinze divise par trois donne moins cinq. La regle est donc identique dans les deux cas. multiplication division (+3) × (+5) = +15 (+15) ÷ (+3) = +5 (−3) × (−5) = +15 (−15) ÷ (−3) = +5 (−3) × (+5) = −15 (−15) ÷ (+3) = −5 mêmes signes au départ, mêmes signes à la fin
  • 1 Ligne par ligne, les signes de gauche et de droite coïncident : la règle ne fait aucune différence entre les deux opérations.
  • 2 La raison est simple : diviser par −3-3, c'est multiplier par −13-\dfrac{1}{3}, donc on retombe sur une multiplication.
  • 3 Une seule règle à retenir pour les deux opérations, et elle se résume au comptage des signes négatifs.
Ce qu'il faut lire : Lis le tableau ligne par ligne plutôt que colonne par colonne : à chaque fois, le signe du résultat est le même des deux côtés.
La règle des signes est identique pour la multiplication et pour la division.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

(−3)2=(−3)×(−3)=+9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9, mais −32=−(3×3)=−9-3^2 = -(3 \times 3) = -9.

✅ La suggestion

Les parenthèses changent tout ! Sans parenthèses, l'exposant s'applique uniquement au 33, pas au signe.

💡 À retenir

  • Mêmes signes → produit positif ; signes contraires → produit négatif.
  • La division suit exactement les mêmes règles de signes que la multiplication.
  • Pour un produit de plusieurs facteurs : compter les facteurs négatifs. Pair → ++, impair → −-.
  • Attention aux parenthèses : (−3)2=+9(-3)^2 = +9 mais −32=−9-3^2 = -9.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de variations de température, produit de charges électriques de signes opposés

Mots-clés associés : Nombres relatifsRègle des signesProduitQuotientNégatif
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