Matières › 📐 Mathématiques › Collège › Relatifs : multiplication et division
±

Relatifs : multiplication et division

Règle des signes, produit, quotient

🔬 Application physique-chimie : Calcul de variations de température, produit de charges électriques de signes opposés
La règle des signes pour la multiplication est intuitive si on pense aux opposés : multiplier par −1-1 inverse le signe. Donc (−1)×(−1)=1(-1) \times (-1) = 1 car « l'opposé de l'opposé ». Règle générale : pair de −- → ++, impair de −- → −-.

Piège classique avec les exposants : (−3)2=(−3)×(−3)=+9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9 (le −- est dans la base), mais −32=−(3×3)=−9-3^2 = -(3 \times 3) = -9 (l'exposant s'applique uniquement au 33). Les parenthèses sont essentielles.

En physique, les grandeurs algébriques (tension, position, vitesse) peuvent être négatives — le signe indique un sens (opposé à la convention positive choisie). Par exemple, une vitesse de −5-5 m/s signifie un déplacement dans le sens opposé à l'axe choisi.

📖 Vocabulaire clé

Nombre relatif : Nombre muni d'un signe (++ ou −-) et d'une valeur absolue. Exemples : +7+7, −3,5-3{,}5.
Valeur absolue : Distance à zéro sur la droite graduée, toujours positive. ∣−5∣=5|{-5}| = 5 et ∣+5∣=5|{+5}| = 5.
Règle des signes : Deux facteurs de même signe donnent un produit positif ; deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
Opposé d'un nombre : L'opposé de aa est −a-a. Leur somme vaut 00 : a+(−a)=0a + (-a) = 0.

📋 Règle des signes

  1. 1 Valeur absolue : calculer la valeur du résultat comme si les nombres étaient positifs. Exemple : pour (−6)×(+4)(-6) \times (+4), la valeur absolue est 6×4=246 \times 4 = 24.
  2. 2 Déterminer le signe : (+)×(+)=(+)(+) \times (+) = (+), (−)×(−)=(+)(-) \times (-) = (+), (+)×(−)=(−)(+) \times (-) = (-), (−)×(+)=(−)(-) \times (+) = (-). Exemple : (−6)×(+4)(-6) \times (+4) → signes contraires → résultat négatif → −24-24.
  3. 3 Suite de multiplications : compter le nombre de facteurs négatifs. Pair → positif ; impair → négatif. Exemple : (−2)×(−3)×(−1)(-2) \times (-3) \times (-1) → 33 facteurs négatifs (impair) → résultat négatif → −6-6.
  4. 4 Division : suit les mêmes règles de signes que la multiplication. Exemple : (−15)÷(−3)=+5(-15) \div (-3) = +5 (deux négatifs → positif).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un sous-marin plonge de 88 m par minute pendant 55 minutes, puis remonte de 33 m par minute pendant 44 minutes. Quelle est la variation totale de profondeur ?
Démarche :
  1. Descente : (−8)×5=−40(-8) \times 5 = -40 m (le signe −- indique qu'on descend).
  2. Remontée : (+3)×4=+12(+3) \times 4 = +12 m (le signe ++ indique qu'on remonte).
  3. Variation totale : (−40)+(+12)=−28(-40) + (+12) = -28 m.
Réponse : Le sous-marin a une variation totale de −28-28 m (il est 2828 m plus profond qu'au départ).

📐 Formules clés

(+a)×(+b)=+ab(+a) \times (+b) = +ab
(−a)×(−b)=+ab(-a) \times (-b) = +ab
(+a)×(−b)=−ab(+a) \times (-b) = -ab
(−a)÷(+b)=−ab(-a) \div (+b) = -\dfrac{a}{b}

🎨 Illustration

Droite graduée — sauts et changement de sens
Multiplier par un relatif : une histoire de sens

La longueur du saut ne change pas, mais quand on multiplie par un nombre négatif, on inverse le sens de la répétition.

Comparons (−2)×3(-2) \times 3 et (−2)×(−3)(-2) \times (-3) sur deux droites graduées superposées.

Deux droites graduées comparant (-2) x 3 et (-2) x (-3) En haut, une droite graduée de -8 a 8 montre trois sauts de -2 vers la gauche partant de 0 et arrivant a -6, illustrant (-2) x 3 = -6. En bas, une deuxieme droite graduee identique montre trois sauts de +2 vers la droite partant de 0 et arrivant a +6, illustrant (-2) x (-3) = +6 : le sens des sauts s'est inverse. (-2) x 3 = -6 3 sauts de -2, vers la gauche -2 -2 -2 -8 -4 -2 -6 0 +2 +4 +6 +8 (-2) x (-3) = +6 3 sauts de +2, vers la droite (sens inverse !) +2 +2 +2 -8 -6 -4 -2 0 +2 +4 +6 +8
  • 1 Ligne du haut — (−2)×3(-2) \times 3 : on répète 33 fois le saut de −2-2, toujours dans le même sens (vers la gauche), comme une addition répétée. On part de 00 et on arrive à −6-6.
  • 2 Ligne du bas — (−2)×(−3)(-2) \times (-3) : multiplier par −3-3 revient à faire l'opposé de « 33 sauts de −2-2 ». Le sens s'inverse : ce sont désormais 33 sauts de +2+2 vers la droite. On part de 00 et on arrive à +6+6.
  • 3 Ce qui ne change pas : la longueur du saut reste 22 dans les deux cas — seul le signe du deuxième facteur décide de la direction.
  • 4 Règle des signes retrouvée : (−)×(+)=(−)(-) \times (+) = (-) (même sens → résultat négatif) et (−)×(−)=(+)(-) \times (-) = (+) (sens inversé → résultat positif).
Ce qu'il faut lire : Multiplier par un nombre négatif inverse le sens des sauts sur la droite graduée : (−2)×3=−6(-2) \times 3 = -6 (vers la gauche) devient (−2)×(−3)=+6(-2) \times (-3) = +6 (mêmes sauts, mais vers la droite).
Deux droites graduées superposées : en haut (−2)×3=−6(-2) \times 3 = -6, en bas (−2)×(−3)=+6(-2) \times (-3) = +6, pour visualiser le renversement de sens.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

(−3)2=(−3)×(−3)=+9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9, mais −32=−(3×3)=−9-3^2 = -(3 \times 3) = -9.

✅ La suggestion

Les parenthèses changent tout ! Sans parenthèses, l'exposant s'applique uniquement au 33, pas au signe.

💡 À retenir

  • Mêmes signes → produit positif ; signes contraires → produit négatif.
  • La division suit exactement les mêmes règles de signes que la multiplication.
  • Pour un produit de plusieurs facteurs : compter les facteurs négatifs. Pair → ++, impair → −-.
  • Attention aux parenthèses : (−3)2=+9(-3)^2 = +9 mais −32=−9-3^2 = -9.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de variations de température, produit de charges électriques de signes opposés

Mots-clés associés : Nombres relatifsRègle des signesProduitQuotientNégatif
← Fractions : Multiplication et Division 29 / 49 → Triangle rectangle et cercle circonscrit