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Fractions : Multiplication et Division

Produit et quotient de fractions

🔬 Application physique-chimie : Formules enchaînées : v=dtv = \frac{d}{t}, ρ=mV\rho = \frac{m}{V}, changements d'unités
Tu as une demi-plaque de chocolat, et tu en manges les trois quarts. Quelle part de la plaque entière as-tu mangée ?

Tu sens que c'est une multiplication : « les trois quarts de la moitié ». Mais quelque chose cloche. Depuis l'école primaire, multiplier veut dire agrandir — et ici tu obtiens 38\dfrac{3}{8}, c'est-à-dire moins que la moitié dont tu es parti, et moins que les trois quarts aussi.

Ce chapitre explique pourquoi multiplier peut réduire, et comment calculer ces parts de parts.

Multiplier des fractions est plus simple que de les additionner : pas besoin de dénominateur commun — on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.

La simplification croisée évite les grands nombres : avant de multiplier, simplifier en diagonale (34×89\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} → simplifier 33 et 99 par 33, 44 et 88 par 44 → 11×23=23\frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}).

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}. Intuition : diviser par 12\dfrac{1}{2} revient à multiplier par 22 (couper en demi → deux fois plus de morceaux).

En physique, les conversions d'unités enchaînent des multiplications/divisions de fractions : 11 m/s =1 m1 s×3600 s1 h=3600= \dfrac{1\,\text{m}}{1\,\text{s}} \times \dfrac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}} = 3600 m/h = 3,63{,}6 km/h.

📖 Vocabulaire clé

Produit de fractions : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}.
Inverse d'une fraction : L'inverse de ab\dfrac{a}{b} (avec a≠0a \neq 0) est ba\dfrac{b}{a}. Leur produit vaut 11 : ab×ba=1\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1.
Quotient de fractions : Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}.
Simplification croisée : Avant de multiplier, on simplifie un numérateur avec le dénominateur de l'autre fraction (en diagonale) par un diviseur commun.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Multiplication : ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}. Simplifier avant de multiplier si possible (simplification croisée). Exemple : 25×37=2×35×7=635\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}.
  2. 2 Division : ab÷cd=ab×dc=a×db×c\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}. Diviser par une fraction = multiplier par son inverse. Exemple : 34÷25=34×52=158\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}.
  3. 3 Simplification croisée : avant de multiplier, simplifier numérateur avec dénominateur en diagonale. Exemple : 67×149\dfrac{6}{7} \times \dfrac{14}{9} → on simplifie 66 et 99 par 33 (→2\to 2 et 33), 77 et 1414 par 77 (→1\to 1 et 22) → 21×23=43\dfrac{2}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une recette de gâteau nécessite 34\dfrac{3}{4} de litre de lait. On veut préparer 23\dfrac{2}{3} de la recette. Quel volume de lait faut-il ?
Démarche :
  1. Il faut calculer 23\dfrac{2}{3} de 34\dfrac{3}{4} L, c'est-à-dire 23×34\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}.
  2. Simplification croisée : 33 au numérateur et 33 au dénominateur se simplifient → 21×14=24\dfrac{2}{1} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4}.
  3. On simplifie : 24=12\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
Réponse : Il faut 12\dfrac{1}{2} litre de lait, soit 0,50{,}5 L.

📐 Formules clés

ab×cd=acbd\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}
ab÷cd=ab×dc=adbc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}
ab÷a=1b\dfrac{a}{b} \div a = \dfrac{1}{b} et a×1b=aba \times \dfrac{1}{b} = \dfrac{a}{b}

🎨 Illustrations

Modèle d'aire pour la multiplication de fractions
Le rectangle unité découpé en 21 cases pour visualiser 23×57\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}

Le rectangle représente le nombre 11.

On le partage en 33 colonnes (des tiers) et en 77 lignes (des septièmes) : cela crée 3×7=213 \times 7 = 21 petites cases identiques.

Rectangle unité découpé pour illustrer 2/3 fois 5/7 Un rectangle representant 1 est quadrille en 3 colonnes et 7 lignes, soit 21 petites cases. La bande des 2 premières colonnes (2/3) et la bande des 5 premières lignes (5/7) se superposent sur une zone de 10 cases, illustrant 2/3 fois 5/7 égale 10/21. 2/3 1/3 5/7 2/7 10/21 3 × 7 = 21 cases au total 2 × 5 = 10 cases coloriées
  • 1 Étape 1 : Le rectangle entier vaut 11. On le découpe en 33 colonnes verticales : chaque colonne vaut 13\dfrac{1}{3}.
  • 2 Étape 2 : On découpe aussi en 77 lignes horizontales : chaque ligne vaut 17\dfrac{1}{7}. Le quadrillage complet compte 3×7=213 \times 7 = 21 petites cases, chacune valant 121\dfrac{1}{21}.
  • 3 Étape 3 : La bande verticale des 22 premières colonnes représente 23\dfrac{2}{3} ; la bande horizontale des 55 premières lignes représente 57\dfrac{5}{7}.
  • 4 Étape 4 : La zone où les deux bandes se superposent (en couleur foncée) contient 2×5=102 \times 5 = 10 petites cases sur les 2121 : c'est exactement 23×57=1021\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}.
Ce qu'il faut lire : Multiplier deux fractions, c'est croiser deux découpages du même rectangle : le nombre de petites cases coloriées (produit des numérateurs) sur le nombre total de petites cases (produit des dénominateurs) donne directement 23×57=1021\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}.
Modèle d'aire : 3×7=213 \times 7 = 21 petites cases au total, dont 2×5=102 \times 5 = 10 coloriées, soit 23×57=1021\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}.
La réponse à la question d'ouverture
Multiplier par un nombre plus petit que 1 fait diminuer

Depuis le primaire, multiplier veut dire agrandir. C'est vrai tant qu'on multiplie par un nombre plus grand que 11. En dessous de 11, la multiplication réduit.

Effet de la multiplication selon la taille du facteur Une barre de reference de longueur huit est dessinee en haut. En dessous, la meme barre multipliee par deux mesure seize : elle est plus longue. Encore en dessous, la meme barre multipliee par trois quarts ne mesure plus que six : elle est plus courte que la barre de depart. Les trois barres partent du meme bord gauche et sont dessinees a la meme echelle, si bien que la comparaison des longueurs est directe. départ 8 × 2 16 : plus long × 3/4 6 : plus court le trait marque la longueur de départ
  • 1 Multiplier 88 par 22 donne 1616 : le facteur dépasse 11, donc le résultat grandit.
  • 2 Multiplier 88 par 34\dfrac{3}{4} donne 66 : le facteur est plus petit que 11, donc le résultat diminue.
  • 3 Le repère est toujours le nombre 11 : au-dessus on agrandit, en dessous on réduit, et à 11 exactement rien ne bouge.
Ce qu'il faut lire : Avant de calculer, regarde le facteur. S'il est plus petit que 11, tu sais déjà que ton résultat sera plus petit que le nombre de départ — un contrôle gratuit.
Multiplier par 34\dfrac{3}{4} réduit la longueur, alors que multiplier par 22 l'augmente.
Laquelle retourner ?
C'est la deuxième fraction qu'on renverse

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Encore faut-il renverser la bonne : c'est toujours celle qui suit le signe de division, jamais la première.

Division de fractions, calcul juste et erreur de fraction renversee On part de la division de trois quarts par trois cinquiemes. Le calcul juste renverse la seconde fraction et multiplie trois quarts par cinq tiers, ce qui donne quinze douziemes, soit un et quart. En dessous, en trait tirete, l'erreur frequente : l'eleve renverse la premiere fraction et calcule quatre tiers fois trois cinquiemes, ce qui donne douze quinziemes, soit quatre cinquiemes. Les deux resultats different, l'un est superieur a un et l'autre inferieur. calcul de départ : 3/4 ÷ 3/5 juste on renverse la SECONDE : 3/4 × 5/3 = 15/12 = 1,25 erreur on renverse la première : 4/3 × 3/5 = 12/15 = 0,8, ce qui ne convient pas
  • 1 Le contrôle qui tranche : on divise par 35\dfrac{3}{5}, un nombre plus petit que 11, donc le résultat doit être plus grand que 34\dfrac{3}{4}.
  • 2 Le calcul juste donne 1,251{,}25, effectivement plus grand que 0,750{,}75. L'erreur donne 0,80{,}8… mais aussi plus grand, donc ce seul contrôle ne suffit pas ici.
  • 3 La règle reste la seule garantie : la fraction renversée est celle qui vient après le signe de division.
Ce qu'il faut lire : Repère le signe de division et pose ton doigt dessus. La fraction à retourner est celle qui se trouve juste à sa droite.
Diviser par une fraction, c'est multiplier par l'inverse de la seconde fraction.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

L'erreur la plus fréquente du chapitre : retourner la mauvaise fraction.

Pour 23÷45\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5}, on retourne celle qui vient après le signe ÷\div : 23×54=1012=56\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}.

Retourner la première donnerait 32×45=1210=65\dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} : c'est exactement l'inverse du bon résultat.

Autre glissade courante : multiplier sans rien retourner, 23×45=815\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}.

✅ La suggestion

Un contrôle rapide la repère : on divise par 45\dfrac{4}{5}, un nombre plus petit que 11, donc le résultat doit être plus grand que 23\dfrac{2}{3} — or 815≈0,53\dfrac{8}{15} \approx 0{,}53 est plus petit que 0,670{,}67.

💡 À retenir

  • Multiplier deux fractions : on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
  • Diviser par une fraction = multiplier par son inverse (on « retourne » la deuxième fraction).
  • Toujours simplifier avant de multiplier (simplification croisée) pour éviter les grands nombres.
  • L'inverse de ab\dfrac{a}{b} est ba\dfrac{b}{a} — attention, 00 n'a pas d'inverse.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Formules enchaînées : v=dtv = \frac{d}{t}, ρ=mV\rho = \frac{m}{V}, changements d'unités

Mots-clés associés : Produit de fractionsQuotientFraction inverseSimplification croisée
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