✖️

Fractions : Multiplication et Division

Produit et quotient de fractions

🔬 Application physique-chimie : Formules enchaînées :

v = \frac{d}{t}

\rho = \frac{m}{V}

, changements d'unités

Multiplier des fractions est plus simple que de les additionner : pas besoin de dénominateur commun — on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.

La simplification croisée évite les grands nombres : avant de multiplier, simplifier en diagonale ( $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$ → simplifier $3$ et $9$ par $3$ , $4$ et $8$ par $4$ → $\frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ ).

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ . Intuition : diviser par $\dfrac{1}{2}$ revient à multiplier par $2$ (couper en demi → deux fois plus de morceaux).

En physique, les conversions d'unités enchaînent des multiplications/divisions de fractions : $1$ m/s $= \dfrac{1\,\text{m}}{1\,\text{s}} \times \dfrac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}} = 3600$ m/h = $3{,}6$ km/h.

📖 Vocabulaire clé

Produit de fractions : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Inverse d'une fraction : L'inverse de

\dfrac{a}{b}

(avec

a \neq 0

) est

\dfrac{b}{a}

. Leur produit vaut

1

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1

Quotient de fractions : Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

Simplification croisée : Avant de multiplier, on simplifie un numérateur avec le dénominateur de l'autre fraction (en diagonale) par un diviseur commun.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Multiplication : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$ . Simplifier avant de multiplier si possible (simplification croisée). Exemple : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$ .
2 Division : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$ . Diviser par une fraction = multiplier par son inverse. Exemple : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$ .
3 Simplification croisée : avant de multiplier, simplifier numérateur avec dénominateur en diagonale. Exemple : $\dfrac{6}{7} \times \dfrac{14}{9}$ → on simplifie $6$ et $9$ par $3$ ( $\to 2$ et $3$ ), $7$ et $14$ par $7$ ( $\to 1$ et $2$ ) → $\dfrac{2}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une recette de gâteau nécessite

\dfrac{3}{4}

de litre de lait. On veut préparer

\dfrac{2}{3}

de la recette. Quel volume de lait faut-il ?

Démarche :

Il faut calculer $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{3}{4}$ L, c'est-à-dire $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$ .
Simplification croisée : $3$ au numérateur et $3$ au dénominateur se simplifient → $\dfrac{2}{1} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4}$ .
On simplifie : $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

Réponse : Il faut

\dfrac{1}{2}

litre de lait, soit

0{,}5

📐 Formules clés

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}

\dfrac{a}{b} \div a = \dfrac{1}{b}

a \times \dfrac{1}{b} = \dfrac{a}{b}

🎨 Illustration

Modèle d'aire pour la multiplication de fractions

Le rectangle unité découpé en 21 cases pour visualiser

\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}

Le rectangle représente le nombre $1$ .

On le partage en $3$ colonnes (des tiers) et en $7$ lignes (des septièmes) : cela crée $3 \times 7 = 21$ petites cases identiques.

1 Étape 1 : Le rectangle entier vaut $1$ . On le découpe en $3$ colonnes verticales : chaque colonne vaut $\dfrac{1}{3}$ .
2 Étape 2 : On découpe aussi en $7$ lignes horizontales : chaque ligne vaut $\dfrac{1}{7}$ . Le quadrillage complet compte $3 \times 7 = 21$ petites cases, chacune valant $\dfrac{1}{21}$ .
3 Étape 3 : La bande verticale des $2$ premières colonnes représente $\dfrac{2}{3}$ ; la bande horizontale des $5$ premières lignes représente $\dfrac{5}{7}$ .
4 Étape 4 : La zone où les deux bandes se superposent (en couleur foncée) contient $2 \times 5 = 10$ petites cases sur les $21$ : c'est exactement $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}$ .

Ce qu'il faut lire : Multiplier deux fractions, c'est croiser deux découpages du même rectangle : le nombre de petites cases coloriées (produit des numérateurs) sur le nombre total de petites cases (produit des dénominateurs) donne directement

\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}

Modèle d'aire :

3 \times 7 = 21

petites cases au total, dont

2 \times 5 = 10

coloriées, soit

\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Erreur fréquente en division : diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, comme en multiplication.

✅ La suggestion

$\dfrac{6}{4} \div \dfrac{3}{2}$ ne vaut PAS $\dfrac{6 \div 3}{4 \div 2} = \dfrac{2}{2} = 1$ . La bonne méthode : $\dfrac{6}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{12} = 1$ . Même résultat ici, mais par chance !

💡 À retenir

Multiplier deux fractions : on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse (on « retourne » la deuxième fraction).
Toujours simplifier avant de multiplier (simplification croisée) pour éviter les grands nombres.
L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ — attention, $0$ n'a pas d'inverse.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Formules enchaînées :

v = \frac{d}{t}

\rho = \frac{m}{V}

, changements d'unités

Mots-clés associés : Produit de fractionsQuotientFraction inverseSimplification croisée

← Théorème de Pythagore 28 / 49 → Relatifs : multiplication et division