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Théorème de Pythagore

Triangle rectangle, calcul de la troisième longueur

🔬 Application physique-chimie : Norme d'un vecteur force, distance résultante, calcul de composantes
Pour vérifier qu'un poteau est parfaitement vertical sans équerre ni rapporteur, un technicien peut simplement tendre un câble depuis son sommet jusqu'au sol et mesurer trois longueurs : la hauteur du poteau, la distance au sol, et la longueur du câble. Si ces trois mesures respectent une certaine relation, l'angle est bien droit — c'est le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore dit que dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit — c'est aussi le plus long côté.

La réciproque est puissante : si c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, alors le triangle est rectangle. En physique, cette formule donne la norme d'un vecteur résultant (∥F⃗∥=Fx2+Fy2\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}) et la distance entre deux points.

Attention au sens de la formule : pour trouver un côté adjacent, on utilise a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} — on soustrait, pas on additionne ! Vérification : le résultat doit être inférieur à l'hypoténuse.

📖 Vocabulaire clé

Hypoténuse : Côté le plus long du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.
Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit (90°).
Réciproque : Si a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 exactement, alors le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au côté cc).

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Identifier le triangle rectangle et son hypoténuse (le côté en face de l'angle droit — toujours le plus long). Exemple : un triangle avec un angle droit en CC a son hypoténuse [AB][AB].
  2. 2 Appliquer le théorème : c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 où cc est l'hypoténuse et aa, bb les deux autres côtés. Exemple : AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2.
  3. 3 Chercher un côté non-hypoténuse : a2=c2−b2⇒a=c2−b2a^2 = c^2 - b^2 \Rightarrow a = \sqrt{c^2 - b^2}. Exemple : si AB=13AB = 13 et BC=5BC = 5, alors AC=132−52=144=12AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12.
  4. 4 Vérification : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Ici 13>12>513 > 12 > 5 ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un poteau de 44 m de haut est maintenu par un câble fixé au sol à 33 m du pied. Quelle est la longueur du câble ?
Démarche :
  1. Le poteau, le sol et le câble forment un triangle rectangle (angle droit entre le poteau et le sol).
  2. Le câble est l'hypoténuse cc, le poteau vaut a=4a = 4 m et la distance au sol b=3b = 3 m.
  3. c2=a2+b2=42+32=16+9=25c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25.
  4. c=25=5c = \sqrt{25} = 5 m.
Réponse : Le câble mesure 55 m (triangle 3-4-5).

📐 Formules clés

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (avec cc = hypoténuse)
a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}
∥v⃗∥=vx2+vy2\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} (norme d'un vecteur 2D)

🎨 Illustrations

Triangle rectangle
Repérer visuellement l'hypoténuse et choisir la bonne formule

Le côté opposé à l'angle droit décide toute la suite : si c'est lui qu'on cherche, on additionne ; sinon on soustrait.

Triangle rectangle pour le theoreme de Pythagore Le schema montre un triangle rectangle 3 4 5 trace a l'echelle, angle droit en A, avec l'hypoténuse en evidence et les deux formules utiles selon l'inconnue. A B C a = 4 b = 3 c = 5 Hypoténuse Chercher c : c² = a² + b² Chercher a ou b : a² = c² − b²
  • 1 L'hypoténuse est le seul côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long côté du triangle.
  • 2 Si l'inconnue est l'hypoténuse cc, on additionne les carrés des deux autres côtés.
  • 3 Si l'inconnue est un petit côté, on isole son carré puis on soustrait le carré du côté connu à celui de l'hypoténuse.
Ce qu'il faut lire : Avant toute formule, trouve l'angle droit. Le côté en face fixe le rôle de l'hypoténuse.
Schéma de référence pour distinguer rapidement addition et soustraction dans un calcul de Pythagore.
Le piège du chapitre
On additionne pour l'hypoténuse, on soustrait pour un petit côté

L'erreur la plus fréquente du chapitre n'est pas de se tromper dans un carré : c'est d'additionner dans les deux cas. Les deux triangles ci-dessous ont la même forme ; seule change la longueur cherchée, et cela suffit à changer l'opération.

Deux triangles rectangles identiques, selon que l'inconnue est l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit Deux triangles rectangles 6 8 10 sont dessines cote a cote, à la même echelle et sur la même ligne de base. Sur celui de gauche les deux côtés de l'angle droit valent 6 et 8 et l'hypoténuse est inconnue : on additionne les carres, 36 plus 64 font 100, et la racine de 100 vaut 10. Sur celui de droite l'hypoténuse vaut 10 et un côté de l'angle droit vaut 6, l'autre cote de l'angle droit est inconnu : on soustrait, 100 moins 36 font 64, et la racine de 64 vaut 8. La seule difference entre les deux figures est l'emplacement du point d'interrogation. 8 6 ? on cherche l’hypoténuse 36 + 64 = 100 racine de 100 = 10 ? 6 10 on cherche un petit côté 100 - 36 = 64 racine de 64 = 8
  • 1 À gauche, l'inconnue est l'hypoténuse : elle est plus grande que chacun des deux autres côtés, donc on additionne — 62+82=1006^2 + 8^2 = 100, puis 100=10\sqrt{100} = 10.
  • 2 À droite, l'inconnue est un côté de l'angle droit : elle est plus petite que l'hypoténuse, donc on soustrait — 102−62=6410^2 - 6^2 = 64, puis 64=8\sqrt{64} = 8.
  • 3 Le contrôle qui ne trompe jamais : l'hypoténuse est toujours le plus long côté. Si ton résultat pour un petit côté dépasse l'hypoténuse, tu as additionné au lieu de soustraire.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord où est le point d'interrogation. S'il est sur le côté en face de l'angle droit, tu additionnes. S'il est sur un côté de l'angle droit, tu soustrais. Compare ensuite ton résultat à l'hypoténuse : il doit être plus petit.
Le même triangle 66-88-1010 : additionner pour l'hypoténuse, soustraire pour un côté de l'angle droit.
Trouver l'hypotenuse
L'hypoténuse ne dépend pas de l'orientation du triangle

Beaucoup d'élèves cherchent l'hypoténuse « en haut » ou « en diagonale ». Ce n'est pas une affaire de position sur la feuille : l'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit, et elle le reste quand on fait tourner le triangle.

Le meme triangle rectangle dans trois orientations differentes Le meme triangle rectangle 3 4 5 est dessine trois fois, dans trois orientations differentes. A chaque fois l'angle droit est marque par un petit carre et l'hypoténuse est tracee en trait plus epais. Dans la première figure l'hypoténuse monte vers la droite, dans la deuxième elle descend, dans la troisième elle est horizontale en haut et l'angle droit se trouve en bas. Dans les trois cas l'hypoténuse est le côté situe en face de l'angle droit, jamais celui qui occupe une position particuliere sur la feuille. angle droit en bas à gauche angle droit en haut à droite hypoténuse horizontale
  • 1 Les trois triangles sont le même : côtés 33 et 44, hypoténuse 55. Seule l'orientation sur la feuille change.
  • 2 Dans les trois cas, l'hypoténuse est le côté tracé en trait fort, et c'est celui qui ne touche pas le petit carré de l'angle droit.
  • 3 Dans la troisième figure, l'hypoténuse est horizontale et « en haut » : la position ne dit donc rien. Seul l'angle droit décide.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur le petit carré de l'angle droit, puis cherche le côté que ton doigt ne touche pas : c'est l'hypoténuse. Fais-le sur les trois figures, tu trouveras à chaque fois le côté en trait fort.
Le même triangle 33-44-55 dans trois orientations : l'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.
La réciproque est exacte, ou elle n'est pas
Presque rectangle ne veut rien dire

La réciproque ne tolère aucun « à peu près ». Le triangle 55-77-99 ci-dessous ressemble à un triangle rectangle, et il ne l'est pas : ses mesures donnent 7474 d'un côté et 8181 de l'autre.

Un triangle 5 7 9 qui ressemble a un triangle rectangle sans en etre un A gauche, un triangle de cotes 5, 7 et 9 est dessine a l'echelle. Son plus grand angle mesure environ 95 degrés : il est visiblement proche de l'angle droit, mais il le depasse. Aucun petit carre ne le marque, puisque ce n'est pas un angle droit. A droite, le calcul de la reciproque est pose : la somme des carres des deux petits cotes vaut 25 plus 49, soit 74, tandis que le carre du plus grand côté vaut 81. Les deux nombres ne sont pas égaux, donc le triangle n'est pas rectangle, et l'écart de sept unités ne se rattrape pas par un arrondi. 9 7 5 cet angle vaut 95,7 degrés 25 + 49 = 74 mais 81 : pas rectangle 74 proche de 81 donc oui non : il faut l égalite
  • 1 Calcul de la réciproque : 52+72=25+49=745^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74, alors que 92=819^2 = 81. Les deux nombres diffèrent, donc le triangle n'est pas rectangle.
  • 2 Le plus grand angle de ce triangle mesure en réalité 95,7°95{,}7° — il dépasse l'angle droit de presque 6°6°, ce qui est déjà beaucoup pour l'oeil.
  • 3 Un écart de 77 entre 7474 et 8181 ne se rattrape par aucun arrondi : la réciproque demande l'égalité exacte, jamais une ressemblance.
Ce qu'il faut lire : Mesure le plus grand angle de la figure de gauche avec ton équerre : elle ne se superpose pas tout à fait. C'est normal, cet angle vaut 95,7°95{,}7°. Une figure peut tromper l'oeil de quelques degrés ; le calcul, lui, tranche sans hésiter.
Le triangle 55-77-99 : son plus grand angle vaut 95,7°95{,}7°, et 52+72=74≠81=925^2 + 7^2 = 74 \neq 81 = 9^2.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le théorème ne s'applique QU'aux triangles rectangles.

✅ La suggestion

Avant de l'utiliser, identifie l'angle droit. Le côté en face de l'angle droit est l'hypoténuse — c'est toujours le plus grand côté. Si tu doutes, la réciproque permet de vérifier : si a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, alors le triangle est rectangle en... l'angle opposé à cc.

💡 À retenir

  • c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 ne fonctionne QUE dans un triangle rectangle
  • L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit et c'est le plus grand côté
  • Pour trouver un petit côté : on soustrait (a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2})
  • La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Norme d'un vecteur force, distance résultante, calcul de composantes

Mots-clés associés : HypoténuseTriangle rectangleCarréRacine carréeRéciproque
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