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Théorème de Pythagore

Triangle rectangle, calcul de la troisième longueur

🔬 Application physique-chimie : Norme d'un vecteur force, distance résultante, calcul de composantes

Pour vérifier qu'un poteau est parfaitement vertical sans équerre ni rapporteur, un technicien peut simplement tendre un câble depuis son sommet jusqu'au sol et mesurer trois longueurs : la hauteur du poteau, la distance au sol, et la longueur du câble. Si ces trois mesures respectent une certaine relation, l'angle est bien droit — c'est le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore dit que dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $c^2 = a^2 + b^2$ . L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit — c'est aussi le plus long côté.

La réciproque est puissante : si $c^2 = a^2 + b^2$ , alors le triangle est rectangle. En physique, cette formule donne la norme d'un vecteur résultant ( $\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ ) et la distance entre deux points.

Attention au sens de la formule : pour trouver un côté adjacent, on utilise $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ — on soustrait, pas on additionne ! Vérification : le résultat doit être inférieur à l'hypoténuse.

📖 Vocabulaire clé

Hypoténuse : Côté le plus long du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.

Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit (90°).

Réciproque : Si

a^2 + b^2 = c^2

exactement, alors le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au côté

c

📋 Méthode en 4 étapes

1 Identifier le triangle rectangle et son hypoténuse (le côté en face de l'angle droit — toujours le plus long). Exemple : un triangle avec un angle droit en $C$ a son hypoténuse $[AB]$ .
2 Appliquer le théorème : $c^2 = a^2 + b^2$ où $c$ est l'hypoténuse et $a$ , $b$ les deux autres côtés. Exemple : $AB^2 = AC^2 + BC^2$ .
3 Chercher un côté non-hypoténuse : $a^2 = c^2 - b^2 \Rightarrow a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Exemple : si $AB = 13$ et $BC = 5$ , alors $AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .
4 Vérification : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Ici $13 > 12 > 5$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un poteau de

4

m de haut est maintenu par un câble fixé au sol à

3

m du pied. Quelle est la longueur du câble ?

Démarche :

Le poteau, le sol et le câble forment un triangle rectangle (angle droit entre le poteau et le sol).
Le câble est l'hypoténuse $c$ , le poteau vaut $a = 4$ m et la distance au sol $b = 3$ m.
$c^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ m.

Réponse : Le câble mesure

5

m (triangle 3-4-5).

📐 Formules clés

c^2 = a^2 + b^2

(avec

c

= hypoténuse)

a = \sqrt{c^2 - b^2}

\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

(norme d'un vecteur 2D)

🎨 Illustration

Triangle rectangle

Repérer visuellement l'hypoténuse et choisir la bonne formule

Le côté opposé à l'angle droit décide toute la suite : si c'est lui qu'on cherche, on additionne ; sinon on soustrait.

1 L'hypoténuse est le seul côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long côté du triangle.
2 Si l'inconnue est l'hypoténuse $c$ , on additionne les carrés des deux autres côtés.
3 Si l'inconnue est un petit côté, on isole son carré puis on soustrait le carré du côté connu à celui de l'hypoténuse.

Ce qu'il faut lire : Avant toute formule, trouve l'angle droit. Le côté en face fixe le rôle de l'hypoténuse.

Schéma de référence pour distinguer rapidement addition et soustraction dans un calcul de Pythagore.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le théorème ne s'applique QU'aux triangles rectangles.

✅ La suggestion

Avant de l'utiliser, identifie l'angle droit. Le côté en face de l'angle droit est l'hypoténuse — c'est toujours le plus grand côté. Si tu doutes, la réciproque permet de vérifier : si $a^2 + b^2 = c^2$ , alors le triangle est rectangle en... l'angle opposé à $c$ .

💡 À retenir

$c^2 = a^2 + b^2$ ne fonctionne QUE dans un triangle rectangle
L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit et c'est le plus grand côté
Pour trouver un petit côté : on soustrait ( $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ )
La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Norme d'un vecteur force, distance résultante, calcul de composantes

Mots-clés associés : HypoténuseTriangle rectangleCarréRacine carréeRéciproque

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