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Calcul Algébrique – Isoler une inconnue

Équations 1er degré, calcul littéral

🔬 Application physique-chimie : Transformer toute formule physique :

\rho = m/V

→ trouver

m

Un rectangle a un périmètre de $46$ cm et sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Quelle est sa largeur ?

Tu peux essayer : $10$ et $17$ ? Le périmètre fait $54$ , trop grand. $8$ et $15$ ? On tombe sur $46$ . Trouvé.

Maintenant, même problème avec un périmètre de $47{,}8$ cm et un écart de $6{,}3$ cm. Le tâtonnement ne mène plus nulle part, et pourtant le problème est exactement le même.

Il te faut une méthode qui donne la réponse sans deviner, quels que soient les nombres. C'est tout l'objet de ce chapitre.

Isoler une inconnue, c'est comme défaire un nœud : on défait les opérations dans l'ordre inverse. Principe fondamental : l'égalité est une balance — toute opération effectuée d'un côté doit l'être de l'autre.

En physique, la même formule sert dans les deux sens : $\rho = \dfrac{m}{V}$ permet de calculer $m$ (si on connaît $\rho$ et $V$ ), ou $V$ (si on connaît $m$ et $\rho$ ). Il n'y a pas de "nouvelle formule" — juste de l'algèbre.

Mémo pour ne pas se perdre : identifier d'abord ce que l'on cherche ( $x$ ), repérer ce qui l'entoure (additions, multiplications…), défaire de l'extérieur vers l'intérieur.

Toujours vérifier en réinjectant la solution dans l'équation de départ : c'est la seule façon d'être sûr à 100% du résultat.

📖 Vocabulaire clé

Équation : Égalité comportant une (ou plusieurs) inconnue(s), vraie seulement pour certaines valeurs.

Inconnue : Quantité que l'on cherche, souvent notée

x

I

V

, etc.

Opération inverse : L'opération qui « annule » une autre : l'addition annule la soustraction, la multiplication annule la division.

Vérification : Remplacer l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ pour s'assurer que l'égalité est vraie.

📋 Méthode en 3 étapes, et deux cas à connaître

1 Identifier l'inconnue à isoler et les opérations qui l'entourent (addition, multiplication, puissance, etc.). Exemple : dans $3x + 7 = 22$ , l'inconnue est $x$ , elle est d'abord multipliée par 3, puis on ajoute 7.
2 Défaire les opérations dans l'ordre inverse (de l'extérieur vers l'intérieur) en faisant la même chose des deux côtés. Exemple : $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 22 - 7 = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{3} = 5$ .
3 Vérifier en réinjectant le résultat dans l'équation de départ. Exemple : $3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22$ ✓ C'est cohérent !
4 Cas 1 — l'inconnue des deux côtés : on rassemble d'abord les $x$ dans un seul membre, en retirant le plus petit terme en $x$ des deux côtés.

Exemple : $8x + 4 = 3x + 24 \Rightarrow 5x + 4 = 24 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$ .

Vérification : $8 \times 4 + 4 = 36$ et $3 \times 4 + 24 = 36$ ✓
5 Cas 2 — un coefficient négatif : on divise par le coefficient avec son signe.

Exemple : $-4x + 9 = 1 \Rightarrow -4x = 1 - 9 = -8 \Rightarrow x = \dfrac{-8}{-4} = 2$ (deux négatifs donnent un positif).

Vérification : $-4 \times 2 + 9 = 1$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : La formule de la vitesse est

v = \dfrac{d}{t}

. Un train parcourt

d = 180

km en

t = 1{,}5

h. Calcule

v

, puis isole

d

v = 90

km/h et

t = 2{,}5

Démarche :

Calcul direct : $v = \dfrac{180}{1{,}5} = 120$ km/h.
On veut isoler $d$ dans $v = \dfrac{d}{t}$ . On multiplie les deux côtés par $t$ : $d = v \times t$ .
Application : $d = 90 \times 2{,}5 = 225$ km.
Vérification : $\dfrac{225}{2{,}5} = 90$ km/h ✓

Réponse :

v = 120

km/h puis

d = 225

📐 Formules clés

ax + b = c

alors

x = \dfrac{c - b}{a}

(avec

a \neq 0

)

\dfrac{a}{b} = c

alors

a = b \times c

b = \dfrac{a}{c}

a \cdot b = c

alors

a = \dfrac{c}{b}

b = \dfrac{c}{a}

🎨 Illustrations

Résoudre une équation — la balance à deux plateaux

Isoler

x

en gardant l'égalité en équilibre

Prenons l'équation la plus simple possible : $4x = 20$ .

Pour isoler $x$ , on applique la même opération aux deux plateaux de la balance : ici, diviser par $4$ des deux côtés.

1 Étape 1 — Départ : la balance est en équilibre, avec $4x$ sur un plateau et $20$ sur l'autre.
2 Étape 2 — Diviser les deux côtés par $4$ : le plateau de gauche passe de $4x$ à $x$ (le facteur $4$ disparaît), et celui de droite passe de $20$ à $20 \div 4 = 5$ .
3 Résultat : $x$ se retrouve seul sur son plateau, face à $5$ — l'égalité reste vraie tout au long de la manipulation.

Ce qu'il faut lire : Le principe est toujours le même : ce qu'on fait à un plateau, on le fait à l'autre — sinon la balance penche et l'égalité n'est plus vraie.

Résolution de

4x = 20

par la métaphore de la balance à deux plateaux : diviser les deux côtés par

4

pour isoler

x = 5

L'ordre inverse

On défait les opérations dans l'ordre inverse

Pour habiller, on met les chaussettes puis les chaussures. Pour déshabiller, on retire les chaussures puis les chaussettes. Une équation se défait de la même façon : par la dernière opération subie.

1 En construisant, la dernière opération subie par $x$ est le $-3$ . C'est donc la première à défaire.
2 On ajoute $3$ des deux côtés : $5x = 30$ . Puis on divise par $5$ : $x = 6$ .
3 Diviser par $5$ en premier n'est pas interdit, mais il faut alors diviser tout le membre de gauche : on obtient $x - 0{,}6 = 5{,}4$ , donc $x = 6$ également. L'erreur serait d'écrire $x - 3 = 5{,}4$ , en oubliant de diviser aussi le $3$ .

Ce qu'il faut lire : Compare les deux lignes de flèches : elles parcourent le même chemin en sens opposé. C'est exactement ce que tu fais en résolvant.

Résoudre, c'est remonter le chemin de construction de l'équation, dans l'ordre inverse.

Les deux membres entiers

Ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre en entier

L'erreur n'est pas d'oublier l'autre membre : c'est de n'en traiter qu'une partie. Diviser par $2$ doit s'appliquer à tout ce qui se trouve de l'autre côté, pas seulement au premier terme rencontré.

1 Le membre de droite est un bloc : $6 + 8$ vaut $14$ , et c'est $14$ que l'on divise par $2$ .
2 La vérification tranche : avec $x = 7$ , on a $2 \times 7 = 14$ et $6 + 8 = 14$ . Les deux membres coïncident.
3 Avec $x = 11$ , on aurait $2 \times 11 = 22$ , alors que $6 + 8 = 14$ . L'égalité est rompue.

Ce qu'il faut lire : Avant de diviser, réduis d'abord chaque membre à un seul nombre quand c'est possible. Tu n'auras plus qu'un terme à traiter de chaque côté.

Diviser une égalité, c'est diviser chaque membre en entier, jamais un seul de ses termes.

Le contrôle qui ne coûte rien

Remplacer x par sa valeur pour vérifier

Une équation offre quelque chose de rare : on peut vérifier soi-même son résultat, sans corrigé. Il suffit de remplacer $x$ par la valeur trouvée et de comparer les deux membres.

1 Vérifier ne consiste pas à refaire le calcul : on remplace $x$ par la valeur trouvée et on compare les deux membres.
2 Si les deux membres donnent le même nombre, la solution est juste — c'est une certitude, pas une impression.
3 Cette vérification détecte aussi bien une erreur de signe qu'une erreur d'ordre des opérations.

Ce qu'il faut lire : Prends l'habitude de finir chaque équation par cette ligne. Elle coûte trente secondes et te dit, seul, si ton résultat tient.

Remplacer

x

par la valeur trouvée : si les deux membres coïncident, la solution est juste.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le piège numéro 1 : oublier d'appliquer l'opération des deux côtés.

✅ La suggestion

Si tu soustrais 5 à gauche, tu dois soustraire 5 à droite aussi. L'égalité est une balance : ce que tu fais d'un côté, tu le fais de l'autre !

💡 À retenir

L'égalité est une balance : même opération des deux côtés
Défaire les opérations de l'extérieur vers l'intérieur (inverse de la construction)
Toujours vérifier en substituant la valeur trouvée
En physique, isoler une grandeur dans une formule = même technique qu'en algèbre

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Transformer toute formule physique :

\rho = m/V

→ trouver

m

Mots-clés associés : ÉquationIsoler xCalcul littéralFactorisation

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