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Calcul Algébrique – Isoler une inconnue

Équations 1er degré, calcul littéral

🔬 Application physique-chimie : Transformer toute formule physique :

\rho = m/V

→ trouver

m

Isoler une inconnue, c'est comme défaire un nœud : on défait les opérations dans l'ordre inverse. Principe fondamental : l'égalité est une balance — toute opération effectuée d'un côté doit l'être de l'autre.

En physique, la même formule sert dans les deux sens : $\rho = \dfrac{m}{V}$ permet de calculer $m$ (si on connaît $\rho$ et $V$ ), ou $V$ (si on connaît $m$ et $\rho$ ). Il n'y a pas de "nouvelle formule" — juste de l'algèbre.

Mémo pour ne pas se perdre : identifier d'abord ce que l'on cherche ( $x$ ), repérer ce qui l'entoure (additions, multiplications…), défaire de l'extérieur vers l'intérieur.

Toujours vérifier en réinjectant la solution dans l'équation de départ : c'est la seule façon d'être sûr à 100% du résultat.

📖 Vocabulaire clé

Équation : Égalité comportant une (ou plusieurs) inconnue(s), vraie seulement pour certaines valeurs.

Inconnue : Quantité que l'on cherche, souvent notée

x

I

V

, etc.

Opération inverse : L'opération qui « annule » une autre : l'addition annule la soustraction, la multiplication annule la division.

Vérification : Remplacer l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ pour s'assurer que l'égalité est vraie.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Identifier l'inconnue à isoler et les opérations qui l'entourent (addition, multiplication, puissance, etc.). Exemple : dans $3x + 7 = 22$ , l'inconnue est $x$ , elle est d'abord multipliée par 3, puis on ajoute 7.
2 Défaire les opérations dans l'ordre inverse (de l'extérieur vers l'intérieur) en faisant la même chose des deux côtés. Exemple : $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 22 - 7 = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{3} = 5$ .
3 Vérifier en réinjectant le résultat dans l'équation de départ. Exemple : $3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22$ ✓ C'est cohérent !

✅ Exemple résolu

Énoncé : La formule de la vitesse est

v = \dfrac{d}{t}

. Un train parcourt

d = 180

km en

t = 1{,}5

h. Calcule

v

, puis isole

d

v = 90

km/h et

t = 2{,}5

Démarche :

Calcul direct : $v = \dfrac{180}{1{,}5} = 120$ km/h.
On veut isoler $d$ dans $v = \dfrac{d}{t}$ . On multiplie les deux côtés par $t$ : $d = v \times t$ .
Application : $d = 90 \times 2{,}5 = 225$ km.
Vérification : $\dfrac{225}{2{,}5} = 90$ km/h ✓

Réponse :

v = 120

km/h puis

d = 225

📐 Formules clés

ax + b = c

alors

x = \dfrac{c - b}{a}

(avec

a \neq 0

)

\dfrac{a}{b} = c

alors

a = b \times c

b = \dfrac{a}{c}

a \cdot b = c

alors

a = \dfrac{c}{b}

b = \dfrac{c}{a}

🎨 Illustration

Résoudre une équation — la balance à deux plateaux

Isoler

x

en gardant l'égalité en équilibre

Reprenons l'exemple du tableau ci-dessus : $4x = 20$ .

Pour isoler $x$ , on applique la même opération aux deux plateaux de la balance : ici, diviser par $4$ des deux côtés.

1 Étape 1 — Départ : la balance est en équilibre, avec $4x$ sur un plateau et $20$ sur l'autre.
2 Étape 2 — Diviser les deux côtés par $4$ : le plateau de gauche passe de $4x$ à $x$ (le facteur $4$ disparaît), et celui de droite passe de $20$ à $20 \div 4 = 5$ .
3 Résultat : $x$ se retrouve seul sur son plateau, face à $5$ — l'égalité reste vraie tout au long de la manipulation.

Ce qu'il faut lire : Le principe est toujours le même : ce qu'on fait à un plateau, on le fait à l'autre — sinon la balance penche et l'égalité n'est plus vraie.

Résolution de

4x = 20

par la métaphore de la balance à deux plateaux : diviser les deux côtés par

4

pour isoler

x = 5

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le piège numéro 1 : oublier d'appliquer l'opération des deux côtés.

✅ La suggestion

Si tu soustrais 5 à gauche, tu dois soustraire 5 à droite aussi. L'égalité est une balance : ce que tu fais d'un côté, tu le fais de l'autre !

💡 À retenir

L'égalité est une balance : même opération des deux côtés
Défaire les opérations de l'extérieur vers l'intérieur (inverse de la construction)
Toujours vérifier en substituant la valeur trouvée
En physique, isoler une grandeur dans une formule = même technique qu'en algèbre

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Transformer toute formule physique :

\rho = m/V

→ trouver

m

Mots-clés associés : ÉquationIsoler xCalcul littéralFactorisation

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