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Opérations sur les fractions

Addition, soustraction, comparaison

Tu as mangé le tiers d'une tablette de chocolat, ton voisin le quart d'une tablette identique. À vous deux, quelle part d'une tablette avez-vous mangée ?

Impossible de compter directement : un tiers et un quart ne sont pas des parts de la même taille. Additionner « 11 part » et « 11 part » donnerait 22, ce qui ne veut rien dire, et additionner les dénominateurs donnerait 27\dfrac{2}{7} — soit moins que le tiers de départ, alors qu'on a ajouté quelque chose.

Il faut donc d'abord redécouper les deux tablettes de la même façon. C'est tout le chapitre.

Additionner des fractions nécessite un dénominateur commun pour la même raison qu'on ne peut pas additionner des pommes et des oranges directement : 13+14\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} ne vaut pas 27\dfrac{2}{7} !

On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs, puis on amplifie chaque fraction pour l’amener à ce dénominateur. Multiplier les deux dénominateurs entre eux marche toujours ; en listant leurs multiples on trouve souvent plus petit, ce qui évite d’avoir à simplifier à la fin.

Pour la multiplication, c'est plus simple : on multiplie directement numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun. Pour la division, on multiplie par l'inverse du diviseur.

Partager une recette, cumuler des durées, additionner des parts de budget : dès qu’on réunit deux grandeurs découpées différemment, il faut savoir les ramener au même dénominateur.

📖 Vocabulaire clé

Fraction : Nombre de la forme ab\dfrac{a}{b} avec b≠0b \neq 0. aa est le numérateur, bb le dénominateur.
Multiple commun : Nombre qui figure dans les tables des deux dénominateurs. Multiples de 33 : 3,6,9,12…3, 6, 9, 12\ldots ; multiples de 44 : 4,8,12…4, 8, 12\ldots — 1212 est leur plus petit multiple commun, donc le plus petit dénominateur commun.
Fractions équivalentes : Fractions représentant le même nombre : 23=46=69\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}. On multiplie numérateur et dénominateur par le même facteur.
Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun (sauf 1). Ex : 712\dfrac{7}{12}.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Trouver un multiple commun aux deux dénominateurs, le plus petit possible.
  2. 2 Convertir chaque fraction au dénominateur commun en multipliant numérateur et dénominateur par le même facteur.
  3. 3 Additionner/Soustraire les numérateurs ; conserver le dénominateur commun.
  4. 4 Simplifier la fraction obtenue si possible : diviser numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que possible.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer 23+34\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}.
Démarche :
  1. Multiples de 33 : 33, 66, 99, 1212. Multiples de 44 : 44, 88, 1212. Le plus petit multiple commun est 1212.
  2. Conversion : 23=812\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} et 34=912\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}.
  3. Addition des numérateurs : 8+912=1712\dfrac{8 + 9}{12} = \dfrac{17}{12}.
Réponse : 1712\dfrac{17}{12}

📐 Formules clés

ab+cb=a+cb\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} (même dénominateur)
ab+cd=a×d+c×bb×d\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + c \times b}{b \times d} (dénominateurs différents)
Comparer : ab\dfrac{a}{b} et cd\dfrac{c}{d} → réduire au même dénominateur puis comparer les numérateurs

🎨 Illustrations

Addition de fractions
De 2/3 + 3/4 aux douzièmes : visualiser 17/12

L'exemple du cours : 23+34\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}. Ramenées au dénominateur commun 1212 (plus petit multiple commun de 33 et 44), les deux fractions deviennent 812\dfrac{8}{12} et 912\dfrac{9}{12}, dont la somme 1712\dfrac{17}{12} dépasse un entier.

Addition de fractions par bandes Cinq bandes de meme largeur : deux tiers, trois quarts, leur conversion en douziemes huit sur douze et neuf sur douze, puis la somme dix-sept douziemes montree comme une bande pleine plus cinq douziemes d'une seconde bande. 2/3 (en tiers) 0 1 3/4 (en quarts) 0 1 Dénominateur commun : les douzièmes (3 × 4 = 12) 8/12 (= 2/3 converti) 0 1 9/12 (= 3/4 converti) 0 1 Somme : 8/12 + 9/12 = 17/12 17/12 = 1 + 5/12 + 1 entier (12/12) 5/12
  • 1 Les deux premières bandes montrent 23\dfrac{2}{3} et 34\dfrac{3}{4} avec leur découpage naturel (en tiers, puis en quarts).
  • 2 En redécoupant les deux bandes en douzièmes, on voit que 23=812\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} et 34=912\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} : même longueur, juste plus de parts.
  • 3 La ligne verticale pointillée marque la valeur 11 (un entier) : la bande finale 1712\dfrac{17}{12} la dépasse, ce qui correspond à 11 entier plus 512\dfrac{5}{12}.
Ce qu'il faut lire : Une fois les bandes redécoupées au même dénominateur, on additionne simplement les parts coloriées : 8+9=178 + 9 = 17 douzièmes.
Bandes fractionnaires pour 23+34=812+912=1712=1512\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12} = 1\dfrac{5}{12}.
L'erreur classique
Additionner les dénominateurs donne un résultat trop petit

13+14\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} ne fait pas 27\dfrac{2}{7}. Les bandes le montrent sans un mot : la somme des deux parts est plus grande que chacune, alors que 27\dfrac{2}{7} est plus petite que 13\dfrac{1}{3}. Le résultat annoncé est du mauvais côté.

La somme d'un tiers et d'un quart comparee a deux septiemes Quatre bandes de meme longueur totale sont empilees. La premiere montre un tiers teinte, la deuxieme un quart teinte. La troisieme montre la somme reelle, sept douziemes, qui est nettement plus longue que chacune des deux precedentes. La quatrieme, en trait tirete, montre deux septiemes, le resultat errone obtenu en additionnant les numerateurs et les denominateurs : cette bande est plus courte que le tiers de depart, ce qui est impossible pour une somme de deux quantites positives. Toutes les bandes ont exactement la meme longueur totale, si bien que les portions teintees se comparent directement. 1/3 1/4 7/12 la vraie somme 2/7 plus petit que 1/3 : impossible une somme est plus grande que chacune de ses parts additionner les dénominateurs découpe plus fin au lieu d ajouter
  • 1 13+14=412+312=712≈0,58\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \approx 0{,}58.
  • 2 27≈0,29\dfrac{2}{7} \approx 0{,}29, soit moins de la moitié du vrai résultat — et même moins que 13\dfrac{1}{3} seul.
  • 3 Le contrôle est immédiat et sans calcul : une somme de deux quantités positives est toujours plus grande que chacune d'elles. Si le résultat est plus petit, la méthode est fausse.
Ce qu'il faut lire : Compare la longueur de la bande 27\dfrac{2}{7} à celle de 13\dfrac{1}{3} : elle est plus courte. Ajouter quelque chose ne peut pas faire diminuer — ce seul réflexe suffit à écarter la réponse.
Les bandes de 13\dfrac{1}{3}, 14\dfrac{1}{4}, de leur vraie somme 712\dfrac{7}{12} et du résultat erroné 27\dfrac{2}{7}, plus court que 13\dfrac{1}{3}.
Ce que fait le dénominateur commun
Redécouper les deux bandes de la même façon

Chercher un dénominateur commun n'est pas une manipulation de nombres : c'est redécouper les deux bandes en parts de même taille. Une fois les parts identiques, on peut enfin les compter ensemble — c'est tout ce qu'on cherchait.

Deux bandes redecoupees en douziemes pour pouvoir etre additionnees En haut, deux bandes de meme longueur : la premiere est partagee en trois tiers dont un est teinte, la seconde en quatre quarts dont un est teinte. Les parts n'ont pas la meme taille, on ne peut donc pas les compter ensemble. En bas, les deux memes bandes sont redecoupees en douze parts egales chacune : le tiers devient quatre douziemes et le quart devient trois douziemes. Les parts ont maintenant exactement la meme taille dans les deux bandes, si bien qu'on peut les additionner et obtenir sept douziemes. Les traits de decoupe supplementaires sont traces plus finement que les traits d'origine. parts de tailles différentes : on ne peut pas compter ensemble 1/3 1/4 on redécoupe les deux en douzièmes 4/12 3/12 4 douzièmes + 3 douzièmes = 7 douzièmes
  • 1 Un tiers de la bande vaut exactement quatre douzièmes ; un quart en vaut exactement trois.
  • 2 Les parts ont désormais la même taille dans les deux bandes : on peut donc les compter ensemble, 4+3=74 + 3 = 7.
  • 3 La quantité n'a pas changé, seul le découpage a changé. C'est pourquoi le dénominateur commun ne modifie jamais la valeur d'une fraction.
Ce qu'il faut lire : Regarde la bande du tiers avant et après : la partie teintée est exactement la même longueur, elle est simplement coupée en quatre morceaux. Trouver un dénominateur commun, c'est trouver un découpage qui va aux deux bandes à la fois.
Les bandes de 13\dfrac{1}{3} et 14\dfrac{1}{4} redécoupées en douzièmes : 412+312=712\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}.
La multiplication, elle, n'en demande pas
Multiplier, c'est prendre une part d'une part

Piège exactement inverse du précédent : pour multiplier deux fractions, on ne cherche aucun dénominateur commun. On prend simplement une part d'une part, ce que le découpage en deux sens montre d'un coup d'œil.

Un carre partage en deux sens pour montrer le produit de deux fractions Un carre represente une unite entiere. Il est partage en trois bandes verticales, dont deux sont teintees legerement pour representer deux tiers. Il est ensuite partage en quatre bandes horizontales, dont trois sont teintees pour representer trois quarts. Le rectangle ou les deux teintes se superposent occupe six cases sur les douze du quadrillage obtenu, ce qui montre que deux tiers multiplies par trois quarts font six douziemes, c'est-a-dire un demi. Aucun denominateur commun n'a ete cherche : les numerateurs se multiplient entre eux et les denominateurs entre eux. 2 colonnes sur 3 3 rangées sur 4 2/3 × 3/4 numérateurs : 2 × 3 = 6 dénominateurs : 3 × 4 = 12 = 6/12 = 1/2 aucun dénominateur commun
  • 1 Le carré représente l'unité. Deux colonnes sur trois donnent 23\dfrac{2}{3} ; trois rangées sur quatre donnent 34\dfrac{3}{4}.
  • 2 Leur zone commune couvre 66 cases sur les 1212 du quadrillage : 23×34=612=12\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.
  • 3 Les 1212 cases viennent de 3×43 \times 4 et les 66 de 2×32 \times 3 : la règle « numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux » se lit directement sur le quadrillage.
Ce qu'il faut lire : Le résultat est plus petit que chacune des deux fractions, et c'est normal : prendre les trois quarts de quelque chose qui ne représente déjà que deux tiers laisse forcément moins que ces deux tiers.
Le carré unité partagé en deux sens : 23×34=612=12\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}, sans aucun dénominateur commun.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège fréquent : additionner les dénominateurs !

✅ La suggestion

13+14≠27\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}. Il faut réduire au dénominateur commun 1212 : 412+312=712\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}.

💡 À retenir

  • Pour additionner des fractions, il faut ABSOLUMENT un dénominateur commun.
  • On ne peut JAMAIS additionner les dénominateurs : 13+14≠27\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}.
  • Pour multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
  • Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.
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