Opérations sur les fractions

Addition, soustraction, comparaison

Additionner des fractions nécessite un dénominateur commun pour la même raison qu'on ne peut pas additionner des pommes et des oranges directement : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ ne vaut pas $\dfrac{2}{7}$ !

On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs, puis on amplifie chaque fraction pour l’amener à ce dénominateur. Multiplier les deux dénominateurs entre eux marche toujours ; en listant leurs multiples on trouve souvent plus petit, ce qui évite d’avoir à simplifier à la fin.

Pour la multiplication, c'est plus simple : on multiplie directement numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun. Pour la division, on multiplie par l'inverse du diviseur.

Partager une recette, cumuler des durées, additionner des parts de budget : dès qu’on réunit deux grandeurs découpées différemment, il faut savoir les ramener au même dénominateur.

📖 Vocabulaire clé

Fraction : Nombre de la forme

\dfrac{a}{b}

avec

b \neq 0

a

est le numérateur,

b

le dénominateur.

Multiple commun : Nombre qui figure dans les tables des deux dénominateurs. Multiples de

3

3, 6, 9, 12\ldots

; multiples de

4

4, 8, 12\ldots

—

12

est leur plus petit multiple commun, donc le plus petit dénominateur commun.

Fractions équivalentes : Fractions représentant le même nombre :

\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}

. On multiplie numérateur et dénominateur par le même facteur.

Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun (sauf 1). Ex :

\dfrac{7}{12}

📋 Méthode en 4 étapes

1 Trouver un multiple commun aux deux dénominateurs, le plus petit possible.
2 Convertir chaque fraction au dénominateur commun en multipliant numérateur et dénominateur par le même facteur.
3 Additionner/Soustraire les numérateurs ; conserver le dénominateur commun.
4 Simplifier la fraction obtenue si possible : diviser numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que possible.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer

\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}

Démarche :

Multiples de $3$ : $3$ , $6$ , $9$ , $12$ . Multiples de $4$ : $4$ , $8$ , $12$ . Le plus petit multiple commun est $12$ .
Conversion : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ .
Addition des numérateurs : $\dfrac{8 + 9}{12} = \dfrac{17}{12}$ .

Réponse :

\dfrac{17}{12}

📐 Formules clés

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}

(même dénominateur)

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + c \times b}{b \times d}

(dénominateurs différents)

Comparer :

\dfrac{a}{b}

\dfrac{c}{d}

→ réduire au même dénominateur puis comparer les numérateurs

🎨 Illustration

Addition de fractions

De 2/3 + 3/4 aux douzièmes : visualiser 17/12

L'exemple du cours : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}$ . Ramenées au dénominateur commun $12$ (plus petit multiple commun de $3$ et $4$ ), les deux fractions deviennent $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{9}{12}$ , dont la somme $\dfrac{17}{12}$ dépasse un entier.

1 Les deux premières bandes montrent $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}$ avec leur découpage naturel (en tiers, puis en quarts).
2 En redécoupant les deux bandes en douzièmes, on voit que $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ : même longueur, juste plus de parts.
3 La ligne verticale pointillée marque la valeur $1$ (un entier) : la bande finale $\dfrac{17}{12}$ la dépasse, ce qui correspond à $1$ entier plus $\dfrac{5}{12}$ .

Ce qu'il faut lire : Une fois les bandes redécoupées au même dénominateur, on additionne simplement les parts coloriées :

8 + 9 = 17

douzièmes.

Bandes fractionnaires pour

\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12} = 1\dfrac{5}{12}

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège fréquent : additionner les dénominateurs !

✅ La suggestion

$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}$ . Il faut réduire au dénominateur commun $12$ : $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ .

💡 À retenir

Pour additionner des fractions, il faut ABSOLUMENT un dénominateur commun.
On ne peut JAMAIS additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}$ .
Pour multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.

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