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Proportionnalité appliquée

Pourcentages, échelles, vitesse moyenne

🔬 Application physique-chimie : Calcul de la vitesse moyenne d'un mobile, lecture d'échelles sur une carte ou un plan d'architecte

La proportionnalité est l'outil mathématique de la mise à l'échelle : quand on double une grandeur, l'autre double aussi. Les pourcentages sont un cas particulier où le coefficient est exprimé sur 100.

Piège courant avec les pourcentages : une baisse de $20\%$ puis une hausse de $20\%$ ne revient PAS au prix initial ! Exemple : $100 \to 80 \to 96$ (pas $100$ ). En effet $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$ .

Les échelles cartographiques sont des rapports : $\dfrac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte = $25\,000$ cm = $250$ m en réalité.

La vitesse $v = \dfrac{d}{t}$ est le coefficient de proportionnalité entre distance et temps quand la vitesse est constante. Toujours vérifier la cohérence des unités : $1$ km/h $= \dfrac{1}{3{,}6}$ m/s.

📖 Vocabulaire clé

Pourcentage : Proportion exprimée sur 100.

p\%

T = \dfrac{p}{100} \times T

Échelle : Rapport entre une distance sur un plan et la distance réelle correspondante. Échelle

\dfrac{1}{25\,000}

→ 1 cm = 250 m.

Vitesse moyenne : Quotient de la distance totale par le temps total :

v = \dfrac{d}{t}

. S'exprime en km/h ou m/s.

Coefficient multiplicateur : Facteur par lequel on multiplie pour appliquer une variation.

+20\% \to \times 1{,}20

;

-15\% \to \times 0{,}85

📋 Méthode en 3 cas

1 Pourcentage : $p\%$ de $T = \dfrac{p}{100} \times T$ . Pour trouver le taux : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$ .
2 Échelle : $\text{distance réelle} = \dfrac{\text{distance sur plan}}{\text{échelle}}$ . Ex : échelle $1/25000$ → $1$ cm sur plan = $250$ m réels.
3 Vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$ , donc $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$ . Vérifier la cohérence des unités (km/h, m/s).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un jean coûte

60

€. Il est soldé à

-30\%

. Quel est le nouveau prix ?

Démarche :

Réduction : $30\%$ de $60 = \dfrac{30}{100} \times 60 = 18$ €.
Nouveau prix : $60 - 18 = 42$ €.
Ou directement : $60 \times 0{,}70 = 42$ €.

Réponse :

42

€

📐 Formules clés

p\% \text{ de } T = \dfrac{p}{100} \times T

Échelle

e

d_{\text{réelle}} = \dfrac{d_{\text{plan}}}{e}

v = \dfrac{d}{t}

;

d = v \times t

;

t = \dfrac{d}{v}

Conversion :

1\,\text{km/h} = \dfrac{1}{3{,}6}\,\text{m/s}

🎨 Illustration

Échelle et proportionnalité

Une carte à l'échelle 1/25 000 : du papier au terrain

D'après le cours, l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $250$ m dans la réalité. En appliquant le même coefficient, $6$ cm représentent $6 \times 250 = 1\,500$ m, comme dans l'évaluation du module.

1 Les deux règles sont alignées verticalement : une même colonne représente une même distance, lue en centimètres en haut et en mètres en réalité en bas.
2 Le trait en pointillé sur $1$ cm rejoint $250$ m : c'est la définition même de l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$ .
3 Le second trait en pointillé sur $6$ cm rejoint $1\,500$ m, en appliquant exactement le même coefficient — c'est la valeur utilisée dans l'évaluation du cours.

Ce qu'il faut lire : Sur une carte, chaque centimètre correspond toujours au même nombre de mètres réels : c'est une situation de proportionnalité directe.

Correspondance à l'échelle

\dfrac{1}{25\,000}

entre distance sur la carte (cm) et distance réelle (m).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège avec les unités de vitesse : $90$ km/h $\neq$ $90$ m/s.

✅ La suggestion

Pour convertir : $90 \div 3{,}6 = 25$ m/s. Toujours vérifier que distance et temps sont dans les mêmes unités que la vitesse.

💡 À retenir

$p\%$ de $T$ = $\dfrac{p}{100} \times T$ . Ne jamais oublier de diviser par 100.
Les hausses et baisses de pourcentage ne s'annulent pas : $+20\%$ puis $-20\%$ donne $-4\%$ .
Vitesse = distance ÷ temps. Vérifier que les unités sont cohérentes.
Échelle : multiplier la distance sur la carte par le dénominateur de l'échelle.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de la vitesse moyenne d'un mobile, lecture d'échelles sur une carte ou un plan d'architecte

Mots-clés associés : ProportionnalitéPourcentageÉchelleVitesseDistanceDurée

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