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Proportionnalité appliquée

Pourcentages, échelles, vitesse moyenne

🔬 Application physique-chimie : Calcul de la vitesse moyenne d'un mobile, lecture d'échelles sur une carte ou un plan d'architecte
Trois croissants coûtent 3,603{,}60 €. Combien coûtent sept croissants ? Un enfant de 22 ans mesure 8686 cm. Combien mesure-t-il à 88 ans ?

La première question a une réponse, 8,408{,}40 €. La seconde n'en a pas. Pourtant les deux se ressemblent : dans les deux cas, une grandeur augmente quand l'autre augmente. Ce qui les sépare n'est donc pas le calcul, c'est de savoir quand tu as le droit de le faire.

La proportionnalité est l'outil mathématique de la mise à l'échelle : quand on double une grandeur, l'autre double aussi. Les pourcentages sont un cas particulier où le coefficient est exprimé sur 100.

Piège courant avec les pourcentages : une baisse de 20%20\% puis une hausse de 20%20\% ne revient PAS au prix initial ! Exemple : 100→80→96100 \to 80 \to 96 (pas 100100). En effet 0,8×1,2=0,960{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96.

Les échelles cartographiques sont des rapports : 125 000\dfrac{1}{25\,000} signifie que 11 cm sur la carte = 25 00025\,000 cm = 250250 m en réalité.

La vitesse v=dtv = \dfrac{d}{t} est le coefficient de proportionnalité entre distance et temps quand la vitesse est constante.

Toujours vérifier que la distance et la durée sont dans les unités de la vitesse : des kilomètres et des heures pour des km/h.

📖 Vocabulaire clé

Pourcentage : Proportion exprimée sur 100. p%p\% de T=p100×TT = \dfrac{p}{100} \times T.
Échelle : Rapport entre une distance sur un plan et la distance réelle correspondante. Échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000} → 1 cm = 250 m.
Vitesse moyenne : Quotient de la distance totale par le temps total : v=dtv = \dfrac{d}{t}. S'exprime en km/h ou m/s.
Coefficient multiplicateur : Facteur par lequel on multiplie pour appliquer une variation. +20%→×1,20+20\% \to \times 1{,}20 ; −15%→×0,85-15\% \to \times 0{,}85.

📋 Méthode en 3 cas

  1. 1 Pourcentage : p%p\% de T=p100×TT = \dfrac{p}{100} \times T.

    Pour retrouver un taux, on rapporte la variation au total de départ : de 120120 € à 9090 €, la baisse vaut 3030 € et 30120×100=25%\dfrac{30}{120} \times 100 = 25\%.
  2. 2 Échelle : 125 000\dfrac{1}{25\,000} signifie que la réalité est 25 00025\,000 fois plus grande que la carte.

    Distance réelle == distance sur la carte ×25 000\times 25\,000, en centimètres, puis on convertit : 33 cm →75 000\to 75\,000 cm =750= 750 m.
  3. 3 Vitesse : v=dtv = \dfrac{d}{t}, donc d=v×td = v \times t et t=dvt = \dfrac{d}{v}.

    À 2020 km/h pendant 1,51{,}5 h : d=20×1,5=30d = 20 \times 1{,}5 = 30 km.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un jean coûte 6060 €. Il est soldé à −30%-30\%. Quel est le nouveau prix ?
Démarche :
  1. Réduction : 30%30\% de 60=30100×60=1860 = \dfrac{30}{100} \times 60 = 18 €.
  2. Nouveau prix : 60−18=4260 - 18 = 42 €.
  3. Ou directement : 60×0,70=4260 \times 0{,}70 = 42 €.
Réponse : 4242 €

📐 Formules clés

p% de T=p100×Tp\% \text{ de } T = \dfrac{p}{100} \times T
Échelle 1n\dfrac{1}{n} : dreˊelle=dcarte×nd_{\text{réelle}} = d_{\text{carte}} \times n (même unité des deux côtés, puis convertir)
v=dtv = \dfrac{d}{t} ; d=v×td = v \times t ; t=dvt = \dfrac{d}{v}

🎨 Illustrations

Échelle et proportionnalité
Une carte à l'échelle 1/25 000 : du papier au terrain

D'après le cours, l'échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000} signifie que 11 cm sur la carte représente 250250 m dans la réalité. En appliquant le même coefficient, 66 cm représentent 6×250=1 5006 \times 250 = 1\,500 m, comme dans l'évaluation du module.

Double regle carte et distance reelle a l'echelle 1 sur 25000 Deux regles horizontales alignees : distance sur la carte en centimetres en haut, distance reelle en metres en bas. Un centimetre correspond a deux cent cinquante metres, six centimetres correspondent a mille cinq cents metres. Distance sur la carte (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 Distance réelle (m) 1 cm ↔ 250 m 6 cm ↔ 1500 m
  • 1 Les deux règles sont alignées verticalement : une même colonne représente une même distance, lue en centimètres en haut et en mètres en réalité en bas.
  • 2 Le trait en pointillé sur 11 cm rejoint 250250 m : c'est la définition même de l'échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000}.
  • 3 Le second trait en pointillé sur 66 cm rejoint 1 5001\,500 m, en appliquant exactement le même coefficient — c'est la valeur utilisée dans l'évaluation du cours.
Ce qu'il faut lire : Sur une carte, chaque centimètre correspond toujours au même nombre de mètres réels : c'est une situation de proportionnalité directe.
Correspondance à l'échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000} entre distance sur la carte (cm) et distance réelle (m).
Le piège des pourcentages
Baisser de 20%20\% puis augmenter de 20%20\% ne ramène pas au départ

On part de 100100 €, on retire 20%20\%, puis on rajoute 20%20\% : on ne retombe pas sur 100100 €, mais sur 9696 €. La raison tient en une phrase : les deux pourcentages ne se calculent pas sur la même base.

Un prix baisse de 20 pour cent puis augmente de 20 pour cent Trois barres verticales de meme largeur sont posees sur la meme ligne de base et dessinees a la meme echelle. La premiere represente le prix de depart de 100 euros. La deuxieme, apres une baisse de 20 pour cent, represente 80 euros : la baisse retiree vaut 20 euros et se calcule sur 100. La troisieme, apres une hausse de 20 pour cent appliquee a 80 euros, represente 96 euros : la hausse ajoutee ne vaut que 16 euros, car elle se calcule sur 80 et non sur 100. Le prix final est donc inferieur de 4 euros au prix de depart, ce que montre un trait de repere horizontal trace au niveau des 100 euros initiaux. 100 € 100 € au départ 80 € après − 20 % on retire 20 96 € après + 20 % on rajoute 16 il manque 4 € à la fin
  • 1 La baisse se calcule sur 100100 € : elle vaut 2020 €, et le prix tombe à 8080 €.
  • 2 La hausse se calcule sur 8080 €, pas sur 100100 : elle ne vaut donc que 0,20×80=160{,}20 \times 80 = 16 €, et le prix remonte à 9696 €.
  • 3 Le calcul direct le confirme : 100×0,8×1,2=96100 \times 0{,}8 \times 1{,}2 = 96. Le résultat est une perte de 4%4\% quel que soit le prix de départ, puisque 0,8×1,2=0,960{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96.
Ce qu'il faut lire : Compare la hauteur retirée puis la hauteur rajoutée : la seconde est visiblement plus courte. Un pourcentage n'est jamais une quantité en soi, c'est toujours une part de quelque chose — et ce quelque chose a changé entre les deux étapes.
Un prix de 100100 € baissé de 20%20\% puis augmenté de 20%20\% : il finit à 9696 €, car la hausse porte sur 8080 € et non sur 100100 €.
Reconnaître, pas supposer
Deux tableaux, un seul est proportionnel

La proportionnalité ne se devine pas au fait que « ça augmente ». Elle se vérifie : le rapport entre les deux lignes doit être le même partout. À gauche il l'est, à droite il ne l'est pas — et pourtant les deux séries montent régulièrement.

Un tableau proportionnel et un tableau qui ne l'est pas Deux tableaux de deux lignes sont presentes cote a cote. Celui de gauche donne un nombre de kilos et un prix : 2 kilos pour 6 euros, 5 kilos pour 15 euros, 8 kilos pour 24 euros. Le quotient du prix par la masse vaut 3 dans les trois cas, le tableau est donc proportionnel. Celui de droite donne un age et une taille : 2 ans pour 86 centimetres, 5 ans pour 110 centimetres, 8 ans pour 128 centimetres. Les quotients valent 43, 22 et 16, ils sont tous differents, donc le tableau n'est pas proportionnel bien que la taille augmente regulierement avec l'age. Sous chaque tableau, les quotients calcules sont indiques. proportionnel kilos prix 2 5 8 6 15 24 6÷2 = 3 15÷5 = 3 24÷8 = 3 toujours 3 le coefficient existe non proportionnel âge taille 2 5 8 86 110 128 86÷2 = 43 110÷5 = 22 128÷8 = 16 43, puis 22, puis 16 aucun coefficient les deux séries montent, une seule est proportionnelle
  • 1 À gauche, le prix divisé par la masse donne 33 à chaque colonne : c'est le coefficient de proportionnalité, en euros par kilo.
  • 2 À droite, la taille divisée par l'âge donne 4343, puis 2222, puis 1616 : aucun coefficient commun, donc aucune proportionnalité.
  • 3 Une grandeur qui augmente régulièrement n'est pas pour autant proportionnelle. Un enfant de 88 ans ne mesure pas quatre fois la taille d'un enfant de 22 ans.
Ce qu'il faut lire : Pour trancher, divise chaque valeur du bas par celle du haut, colonne par colonne. Si tu retrouves toujours le même nombre, c'est proportionnel ; s'il change, ce ne l'est pas — et une seule colonne qui diffère suffit à conclure.
Un tableau proportionnel (coefficient 33 partout) et un tableau qui ne l'est pas (quotients 4343, 2222, 1616), bien que les deux séries croissent.
Pourcentage de quoi
Le même pourcentage sur deux touts différents

Un pourcentage ne dit rien tant qu'on ne sait pas de quoi il est la part. 30%30\% des élèves d'une classe de 3030 et 30%30\% des élèves d'une classe de 1010, c'est la même fraction mais pas le même nombre d'élèves : 99 d'un côté, 33 de l'autre.

Trente pour cent de deux groupes de tailles differentes A gauche, une classe de 30 eleves est representee par 30 pastilles disposees en trois rangees de dix ; 9 d'entre elles sont teintees, ce qui represente 30 pour cent de la classe. A droite, un groupe de 10 eleves est represente par 10 pastilles disposees sur une rangee ; 3 d'entre elles sont teintees, ce qui represente aussi 30 pour cent. La proportion est donc la meme dans les deux cas, mais le nombre d'eleves concernes est trois fois plus grand a gauche qu'a droite. Les pastilles ont exactement la meme taille des deux cotes, si bien que la comparaison des effectifs se fait a vue. 30 % dans les deux cas classe de 30 élèves 9 élèves groupe de 10 élèves 3 élèves même part, trois fois moins d élèves un pourcentage se rapporte toujours à un tout, qu il faut nommer
  • 1 Classe de 3030 : 30100×30=9\dfrac{30}{100} \times 30 = 9 élèves.
  • 2 Groupe de 1010 : 30100×10=3\dfrac{30}{100} \times 10 = 3 élèves.
  • 3 Le pourcentage est identique, l'effectif ne l'est pas. C'est aussi pourquoi on ne peut jamais additionner deux pourcentages portant sur des touts différents.
Ce qu'il faut lire : Compte les pastilles teintées de chaque côté : 99 à gauche, 33 à droite. Les pastilles ont pourtant la même taille et la part est la même. Avant d'interpréter un pourcentage, demande-toi toujours : pourcentage de quoi ?
30%30\% d'une classe de 3030 élèves (99 élèves) et 30%30\% d'un groupe de 1010 élèves (33 élèves) : même part, effectifs différents.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

« −20%-20\% puis +20%+20\% » ne ramène pas au prix de départ, parce que les deux pourcentages ne portent pas sur le même prix : 100→80→96100 \to 80 \to 96.

De même, pour retrouver un taux de réduction, on divise toujours par le prix de départ : de 250250 € à 200200 €, la baisse de 5050 € vaut 50250=20%\dfrac{50}{250} = 20\%, et non 50200=25%\dfrac{50}{200} = 25\%.

💡 À retenir

  • p%p\% de TT = p100×T\dfrac{p}{100} \times T. Ne jamais oublier de diviser par 100.
  • Les hausses et baisses de pourcentage ne s'annulent pas : +20%+20\% puis −20%-20\% donne −4%-4\%.
  • Vitesse = distance ÷ temps. Vérifier que les unités sont cohérentes.
  • Échelle : multiplier la distance sur la carte par le dénominateur de l'échelle.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul de la vitesse moyenne d'un mobile, lecture d'échelles sur une carte ou un plan d'architecte

Mots-clés associés : ProportionnalitéPourcentageÉchelleVitesseDistanceDurée
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