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Expressions littérales

Calculer, réduire, substituer

Jusqu'ici, en arithmétique, tu calcules avec des nombres précis : « combien font 3+53 + 5 ? ». Avec les expressions littérales, on franchit une étape fondamentale : on remplace « un nombre inconnu » par une lettre (souvent xx, aa, nn…). C'est le début de l'algèbre !

Imagine une formule de prix : « le prix est 5 € par kilo, plus 2 € de frais fixes ». En arithmétique, tu calculerais cas par cas (5×1+2=75 \times 1 + 2 = 7, 5×2+2=125 \times 2 + 2 = 12…). Avec l'algèbre, tu écris une seule formule : P=5x+2P = 5x + 2, et elle fonctionne pour toutes les valeurs de xx (le nombre de kilos). C'est plus puissant, plus rapide, plus général.

Termes semblables : on ne peut additionner que des termes avec la même variable au même degré — 3x3x et 5x5x sont semblables (→8x\to 8x), mais 3x3x et 5x25x^2 ne le sont pas. De même, 22 et 3x3x ne sont pas semblables. Pense à des unités : on n'additionne pas des mètres et des mètres carrés !

La substitution (remplacer la lettre par un nombre) permet de vérifier un résultat ou de calculer une formule physique comme Ec=12mv2E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 ou U=RIU = RI. C'est un outil essentiel en sciences : on écrit la formule générale, puis on « injecte » les valeurs pour obtenir le résultat numérique.

Pour vérifier qu'une simplification est correcte, on peut substituer une valeur test : si 2+3x=5x2 + 3x = 5x était vrai, alors pour x=2x = 2 on aurait 2+6=102 + 6 = 10, soit 8=108 = 10, ce qui est faux. Cet outil de vérification te sera très utile tout au long du collège et au lycée.

📖 Vocabulaire clé

Expression littérale : Expression contenant des lettres (variables) et des nombres liés par des opérations. Ex : 3x+2y−53x + 2y - 5.
Termes semblables : Termes ayant exactement la même partie littérale (même variable, même exposant). 3x3x et −5x-5x sont semblables ; 3x3x et 3x23x^2 ne le sont pas.
Substitution : Action de remplacer chaque lettre par une valeur numérique pour calculer le résultat.
Forme réduite : Expression dans laquelle tous les termes semblables ont été regroupés. Ex : 5a+3b−2a=3a+3b5a + 3b - 2a = 3a + 3b.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Calculer la valeur : remplacer chaque lettre par sa valeur numérique, puis effectuer les calculs dans l'ordre (priorités).
  2. 2 Réduire : regrouper les termes semblables (même variable avec même exposant). Ex : 3x+2x=5x3x + 2x = 5x.
  3. 3 Attention aux signes : −2x−3x=−5x-2x - 3x = -5x (les signes se combinent).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Réduire 7x−3+2x+57x - 3 + 2x + 5, puis calculer pour x=4x = 4.
Démarche :
  1. Regrouper les termes en xx : 7x+2x=9x7x + 2x = 9x.
  2. Regrouper les constantes : −3+5=2-3 + 5 = 2.
  3. Forme réduite : 9x+29x + 2.
  4. Pour x=4x = 4 : 9×4+2=36+2=389 \times 4 + 2 = 36 + 2 = 38.
Réponse : Forme réduite : 9x+29x + 2 ; pour x=4x = 4 : 3838

📐 Formules clés

ax+bx=(a+b)xax + bx = (a + b)x (factorisation par xx)
a×b=aba \times b = ab (on peut omettre le signe ×\times)
−a×(−b)=ab-a \times (-b) = ab et a×(−b)=−aba \times (-b) = -ab
Substitution : si x=3x = 3, alors 2x+1=2×3+1=72x + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7

🎨 Illustrations

Termes semblables — le regroupement
Regrouper 3x3x et 5x5x en un seul terme

Deux termes en xx peuvent se rassembler en un seul, comme deux paquets identiques qu'on empile.

3x3x et 5x5x sont des termes semblables (même lettre xx, même exposant) : on additionne simplement leurs coefficients pour obtenir 8x8x.

Regroupement des termes semblables 3x et 5x Deux etiquettes encadrees, l'une marquee 3x et l'autre 5x, sont reliees par des courbes qui convergent vers une seule etiquette encadree en bas marquee 8x, illustrant que les deux termes en x se combinent en additionnant leurs coefficients 3 et 5 pour donner 8. Terme n°1 3x terme en x Terme n°2 5x terme en x + on regroupe : 3 + 5 = 8 Après regroupement 8x forme réduite
  • 1 Étape 1 — Repérer les termes semblables : 3x3x et 5x5x ont tous les deux la lettre xx à l'exposant 11 : ils peuvent se regrouper.
  • 2 Étape 2 — Additionner les coefficients : on garde la lettre xx et on additionne seulement les nombres devant : 3+5=83 + 5 = 8.
  • 3 Étape 3 — Écrire la forme réduite : 3x+5x=8x3x + 5x = 8x. Un seul terme reste, plus simple à utiliser.
Ce qu'il faut lire : Regrouper des termes semblables, c'est additionner leurs coefficients en gardant la partie littérale inchangée : 3x+5x=(3+5)x=8x3x + 5x = (3+5)x = 8x.
Les deux étiquettes 3x3x et 5x5x convergent vers une seule étiquette 8x8x : 3+5=83 + 5 = 8.
On n'additionne que le semblable
Pourquoi 4+3x4 + 3x ne fait pas 7x7x

Un nombre seul et un nombre de xx ne sont pas de même nature. Les additionner reviendrait à ajouter des sacs à des billes : le total ne veut rien dire tant que xx n'a pas de valeur. En revanche 3x+2x3x + 2x se regroupe très bien : ce sont les mêmes objets.

Termes semblables et termes de natures differentes A gauche, trois jetons marques x et deux jetons marques x sont regroupes : ils sont de meme nature, on peut donc les compter ensemble et obtenir cinq jetons x. A droite, quatre jetons marques 1 et trois jetons marques x sont poses cote a cote : ils ne sont pas de meme nature, on ne peut donc pas les regrouper en sept jetons, et l'expression 4 plus 3 x reste telle quelle. Les jetons portant un x sont teintes differemment des jetons portant un 1, ce qui rend la difference de nature visible. 3x + 2x x x x x x = 5x même nature, on regroupe 4 + 3x 1 1 1 1 x x x natures différentes, rien à regrouper tant que x n a pas de valeur, 4 et 3x ne se comptent pas ensemble l expression 4 + 3x est déjà sous sa forme la plus simple
  • 1 3x+2x=5x3x + 2x = 5x : ce sont cinq fois le même objet, on peut les compter ensemble.
  • 2 4+3x4 + 3x ne se réduit pas : les quatre unités et les trois xx ne sont pas la même chose.
  • 3 Le contrôle est immédiat : pour x=10x = 10, 4+3x4 + 3x vaut 3434 alors que 7x7x vaudrait 7070. Une réduction fausse se repère toujours en donnant une valeur à la lettre.
Ce qu'il faut lire : Avant de regrouper deux termes, demande-toi s'ils portent la même lettre. Si oui, additionne leurs coefficients ; si non, laisse-les côte à côte — une expression non réductible n'est pas une expression inachevée.
Termes semblables (3x+2x=5x3x + 2x = 5x) et termes de natures différentes (4+3x4 + 3x, non réductible).
Deux lettres, deux grandeurs
3a+2b3a + 2b ne se réduit pas non plus

Deux lettres différentes désignent deux grandeurs indépendantes : rien ne dit que aa et bb ont la même valeur. Les additionner en 5ab5ab ou en 5a5a reviendrait à décider, sans raison, qu'un stylo coûte le même prix qu'un cahier.

Trois articles d'un prix et deux articles d'un autre prix Un panier contient trois stylos, dont le prix unitaire est note a, et deux cahiers, dont le prix unitaire est note b. Le prix total s'ecrit trois a plus deux b, et cette expression ne peut pas etre reduite car les stylos et les cahiers n'ont aucune raison de couter le meme prix. Deux exemples chiffres sont donnes en dessous : si a vaut 2 euros et b vaut 3 euros, le total fait 12 euros ; si a vaut 5 euros et b vaut 1 euro, le total fait 17 euros. Les deux totaux different, ce qui montre que l'expression depend bien de deux valeurs independantes. 3a + 2b 3 stylos à a euros 2 cahiers à b euros si a = 2 et b = 3 : 3 × 2 + 2 × 3 = 12 € si a = 5 et b = 1 : 3 × 5 + 2 × 1 = 17 € deux lettres différentes ne se regroupent jamais
  • 1 aa et bb sont deux grandeurs indépendantes : connaître aa ne dit rien de bb.
  • 2 Le total change selon les deux valeurs : 1212 € dans un cas, 1717 € dans l'autre, alors que l'expression est la même.
  • 3 3a+2b3a + 2b est donc déjà réduite. On ne peut la simplifier davantage qu'en apprenant que aa et bb sont liées — ce que l'énoncé ne dit pas.
Ce qu'il faut lire : Regarde les deux paquets : ils ne contiennent pas les mêmes objets. Tu peux compter les stylos entre eux et les cahiers entre eux, mais pas tout ensemble tant que tu ignores les prix.
Trois articles à aa euros et deux à bb euros : 3a+2b3a + 2b ne se réduit pas, le total dépendant de deux valeurs indépendantes.
Doubler ou élever au carré
2x2x et x2x^2 ne sont pas la même chose

Les deux écritures se ressemblent et se confondent facilement. Elles ne donnent pourtant le même résultat que pour deux valeurs de xx : 00 et 22. Partout ailleurs elles s'écartent, et de plus en plus vite.

Comparaison de deux x et de x au carre pour plusieurs valeurs Un tableau compare les valeurs de deux x et de x au carre pour x valant 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Les deux lignes donnent 0 et 0, puis 2 et 1, puis 4 et 4, puis 6 et 9, puis 8 et 16, puis 10 et 25. Les deux expressions ne coincident que pour x egal a 0 et pour x egal a 2, ce qui est signale par un encadrement de ces deux colonnes. Pour les autres valeurs, l'ecart se creuse rapidement : a x egal 5, deux x vaut 10 alors que x au carre vaut 25, soit plus du double. elles ne coïncident que deux fois x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 0 2 4 6 8 10 0 1 4 9 16 25 2x x² 2x veut dire x + x, tandis que x² veut dire x × x à x = 5, l écart est déjà de 15
  • 1 2x2x signifie x+xx + x : on double. x2x^2 signifie x×xx \times x : on multiplie le nombre par lui-même.
  • 2 Les deux ne coïncident que pour x=0x = 0 et x=2x = 2, ce que les deux colonnes teintées signalent.
  • 3 À x=5x = 5, l'écart atteint déjà 25−10=1525 - 10 = 15, et il continue de croître. Vérifier sur x=2x = 2 seul serait donc trompeur : c'est justement la valeur où l'erreur ne se voit pas.
Ce qu'il faut lire : Pour lever le doute, remplace xx par un nombre autre que 00 ou 22 — 33 ou 55 conviennent très bien. Si les deux écritures donnaient toujours la même chose, on n'en aurait pas deux.
Valeurs de 2x2x et de x2x^2 pour xx de 00 à 55 : elles ne coïncident qu'en x=0x = 0 et x=2x = 2.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

2+3x≠5x2 + 3x \neq 5x.

✅ La suggestion

On ne peut pas additionner un terme constant (22) et un terme en xx (3x3x) — ce ne sont pas des termes semblables. 2+3x2 + 3x est déjà simplifié !

💡 À retenir

  • Seuls les termes semblables (même variable, même degré) peuvent être additionnés.
  • 2+3x≠5x2 + 3x \neq 5x — une constante et un terme en xx ne se combinent pas.
  • La substitution permet de vérifier une simplification.
  • Les signes se combinent : −2x−3x=−5x-2x - 3x = -5x (pas −1x-1x).
← Proportionnalité appliquée 16 / 49 → Symétrie centrale