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Symétrie centrale

Centre de symétrie, construction du symétrique

Imagine une photo punaisée par son centre sur un panneau : si tu la fais pivoter d'un demi-tour ( $180°$ ) autour de la punaise, chaque point de la photo se retrouve exactement de l'autre côté, à la même distance du centre. C'est exactement ce que fait la symétrie centrale.

La symétrie centrale par rapport à un point $O$ fait correspondre à chaque point $A$ un point $A'$ tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ — autrement dit, $O$ est « entre » $A$ et $A'$ , à égale distance des deux.

C'est équivalent à une rotation de $180°$ autour de $O$ . Visuellement, tout « tourne d'un demi-tour ».

Différence avec la symétrie axiale : la symétrie axiale utilise un axe (droite), la symétrie centrale utilise un point. Une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d'axe de symétrie (ex : le parallélogramme non rectangle).

En coordonnées, la formule est simple : $A'(2x_O - x_A \;; 2y_O - y_A)$ . La symétrie centrale conserve les distances et les angles, mais inverse l'orientation.

📖 Vocabulaire clé

Symétrie centrale : Transformation qui associe à chaque point

A

un point

A'

tel que le centre

O

est le milieu de

[AA']

Centre de symétrie : Point

O

par rapport auquel la symétrie est définie. Il est le milieu de chaque paire de points symétriques.

Isométrie : Transformation qui conserve les distances. La symétrie centrale est une isométrie (indirecte car elle inverse l'orientation).

Milieu d'un segment : Point

M

tel que

M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

. Partage le segment en deux parties égales.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Symétrique d'un point : tracer la droite $(OA)$ passant par $A$ et le centre $O$ .
2 Reporter la distance $OA$ de l'autre côté de $O$ : $OA' = OA$ , et $O$ est entre $A$ et $A'$ .
3 Pour une figure : construire le symétrique de chaque sommet, puis relier dans le même ordre.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Trouver le symétrique de

A(5 ; 3)

par rapport à

O(2 ; 1)

Démarche :

$x_{A'} = 2 \times 2 - 5 = 4 - 5 = -1$ .
$y_{A'} = 2 \times 1 - 3 = 2 - 3 = -1$ .
Vérification : milieu de $[AA'] = \left(\dfrac{5+(-1)}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = (2 ; 1) = O$ ✓.

Réponse :

A'(-1 ; -1)

📐 Formules clés

O =

milieu de

[AA']

, donc

\vec{OA'} = -\vec{OA}

En coordonnées : si

O(x_O ; y_O)

A(x_A ; y_A)

, alors

A'(2x_O - x_A ; 2y_O - y_A)

La symétrie centrale conserve : distances, angles, aires (isométrie indirecte).

🎨 Illustration

Symétrie centrale dans un repère

Construire le symétrique d'un point par rapport à un centre

Le point $A(5 ; 3)$ est réfléchi par rapport au centre $O(2 ; 1)$ . Le symétrique $A'$ est tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ : on trouve $A'(-1 ; -1)$ .

1 Les points $A$ , $O$ et $A'$ sont alignés : $A'$ se trouve sur la droite $(AO)$ , de l'autre côté de $O$ .
2 Les deux petites marques sur $[OA]$ et $[OA']$ indiquent des distances égales : $OA = OA'$ .
3 Formule : $x_{A'} = 2x_O - x_A = 2 \times 2 - 5 = -1$ et $y_{A'} = 2y_O - y_A = 2 \times 1 - 3 = -1$ .

Ce qu'il faut lire : Le centre

O

est le milieu de

[AA']

: il se trouve exactement au milieu du segment qui relie un point à son symétrique.

Symétrique de

A(5 ; 3)

par rapport au centre

O(2 ; 1)

: on obtient

A'(-1 ; -1)

, avec

O

milieu de

[AA']

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ne pas confondre symétrie axiale et symétrie centrale.

✅ La suggestion

La symétrie axiale utilise un axe (droite) ; la symétrie centrale utilise un point. La symétrie centrale revient à une rotation de $180°$ .

💡 À retenir

Le centre $O$ est le milieu de chaque paire de points symétriques.
Formule : $A'(2x_O - x_A ; 2y_O - y_A)$ .
Symétrie centrale = rotation de $180°$ .
Ne pas confondre avec la symétrie axiale (axe vs point).

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