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Symétrie centrale

Centre de symétrie, construction du symétrique

Imagine une photo punaisée par son centre sur un panneau : si tu la fais pivoter d'un demi-tour ( $180°$ ) autour de la punaise, chaque point de la photo se retrouve exactement de l'autre côté, à la même distance du centre. C'est exactement ce que fait la symétrie centrale.

La symétrie centrale par rapport à un point $O$ fait correspondre à chaque point $A$ un point $A'$ tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ — autrement dit, $O$ est « entre » $A$ et $A'$ , à égale distance des deux.

C'est équivalent à une rotation de $180°$ autour de $O$ . Visuellement, tout « tourne d'un demi-tour ».

Différence avec la symétrie axiale : la symétrie axiale utilise un axe (droite), la symétrie centrale utilise un point. Une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d'axe de symétrie (ex : le parallélogramme non rectangle).

En coordonnées, la formule est simple : $A'(2x_O - x_A \;; 2y_O - y_A)$ . La symétrie centrale conserve les distances et les angles, mais inverse l'orientation.

📖 Vocabulaire clé

Symétrie centrale : Transformation qui associe à chaque point

A

un point

A'

tel que le centre

O

est le milieu de

[AA']

Centre de symétrie : Point

O

par rapport auquel la symétrie est définie. Il est le milieu de chaque paire de points symétriques.

Isométrie : Transformation qui conserve les distances. La symétrie centrale est une isométrie (indirecte car elle inverse l'orientation).

Milieu d'un segment : Point

M

tel que

M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

. Partage le segment en deux parties égales.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Symétrique d'un point : tracer la droite $(OA)$ passant par $A$ et le centre $O$ .
2 Reporter la distance $OA$ de l'autre côté de $O$ : $OA' = OA$ , et $O$ est entre $A$ et $A'$ .
3 Pour une figure : construire le symétrique de chaque sommet, puis relier dans le même ordre.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Trouver le symétrique de

A(5 ; 3)

par rapport à

O(2 ; 1)

Démarche :

$x_{A'} = 2 \times 2 - 5 = 4 - 5 = -1$ .
$y_{A'} = 2 \times 1 - 3 = 2 - 3 = -1$ .
Vérification : milieu de $[AA'] = \left(\dfrac{5+(-1)}{2} ; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = (2 ; 1) = O$ ✓.

Réponse :

A'(-1 ; -1)

📐 Formules clés

O =

milieu de

[AA']

, donc

\vec{OA'} = -\vec{OA}

En coordonnées : si

O(x_O ; y_O)

A(x_A ; y_A)

, alors

A'(2x_O - x_A ; 2y_O - y_A)

La symétrie centrale conserve : distances, angles, aires (isométrie indirecte).

🎨 Illustrations

Symétrie centrale dans un repère

Construire le symétrique d'un point par rapport à un centre

Le point $A(5 ; 3)$ est réfléchi par rapport au centre $O(2 ; 1)$ . Le symétrique $A'$ est tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ : on trouve $A'(-1 ; -1)$ .

1 Les points $A$ , $O$ et $A'$ sont alignés : $A'$ se trouve sur la droite $(AO)$ , de l'autre côté de $O$ .
2 Les deux petites marques sur $[OA]$ et $[OA']$ indiquent des distances égales : $OA = OA'$ .
3 Formule : $x_{A'} = 2x_O - x_A = 2 \times 2 - 5 = -1$ et $y_{A'} = 2y_O - y_A = 2 \times 1 - 3 = -1$ .

Ce qu'il faut lire : Le centre

O

est le milieu de

[AA']

: il se trouve exactement au milieu du segment qui relie un point à son symétrique.

Symétrique de

A(5 ; 3)

par rapport au centre

O(2 ; 1)

: on obtient

A'(-1 ; -1)

, avec

O

milieu de

[AA']

Centrale ou axiale

Un demi-tour n'est pas un reflet

Sur une figure non symétrique, les deux transformations ne donnent pas le même résultat. La symétrie axiale se lit comme un reflet dans un miroir ; la symétrie centrale, comme un demi-tour. Sur un carré ou un disque, l'écart serait invisible : c'est pourquoi la figure choisie a la forme d'un L.

1 Le demi-tour autour de $O$ envoie la figure en bas à gauche : elle a pivoté de $180°$ .
2 Le reflet dans l'axe vertical la laisse en haut : elle a seulement été retournée de gauche à droite.
3 Les deux résultats sont différents parce que le L n'a aucune symétrie propre. La symétrie centrale conserve le sens de parcours de la figure, la symétrie axiale l'inverse.

Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur le pied du L de départ, puis cherche-le sur chaque transformée. Après le demi-tour, il pointe vers le bas ; après le reflet, il pointe encore vers le haut. C'est ce détail qui distingue les deux transformations.

La même figure en L, son symétrique par rapport au point

O

(demi-tour) et son symétrique par rapport à un axe vertical (reflet) : deux résultats distincts.

Ce que veut dire « milieu »

Le centre est à égale distance, et sur la même droite

Dire que $O$ est le milieu de $[AA']$ impose deux choses à la fois, et les deux comptent : les points $A$ , $O$ et $A'$ sont alignés, et les longueurs $OA$ et $OA'$ sont égales. Oublier l'alignement est l'erreur la plus fréquente.

1 Alignement : $A$ , $O$ et $A'$ sont sur une même droite. Le vérifier revient à s'assurer que le segment $[AA']$ passe par $O$ .
2 Égalité : $OA = OA'$ , ce que codent les deux tics identiques sur les deux moitiés du segment.
3 Le point en tirets est à la bonne distance de $O$ mais hors de la droite : il n'est donc pas le symétrique de $A$ . La distance seule ne suffit jamais.

Ce qu'il faut lire : Place ta règle sur

A

A'

: elle doit passer exactement sur

O

. Mesure ensuite les deux moitiés, elles doivent être égales. Ces deux vérifications ensemble définissent le symétrique, l'une sans l'autre ne suffit pas.

Le centre

O(2 ; 1)

milieu de

[AA']

avec

A(5 ; 3)

A'(-1 ; -1)

: alignement et égalité des deux moitiés.

Centre sans axe

Le parallélogramme a un centre, mais aucun axe

Le cours l'affirme : une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d'axe de symétrie. Le parallélogramme quelconque en est l'exemple, et il vaut la peine d'être vu : plier la figure en deux ne marche jamais, alors que la faire tourner d'un demi-tour la remet exactement sur elle-même.

1 Le centre du parallélogramme est le point de croisement de ses diagonales : un demi-tour autour de lui redonne exactement la même figure.
2 Aucun pliage ne fonctionne : la figure penche d'un côté, donc les deux moitiés ne se recouvrent jamais.
3 Ce n'est pas un cas exotique — le rectangle, lui, possède les deux ; le parallélogramme quelconque montre que le centre et l'axe sont bien deux propriétés indépendantes.

Ce qu'il faut lire : Décalque le parallélogramme de gauche, plante ton crayon sur

O

et fais tourner le calque d'un demi-tour : il retombe exactement sur le dessin. Essaie maintenant de plier ta feuille sur l'un des traits de droite : les deux moitiés ne coïncident jamais.

Le parallélogramme quelconque : un centre de symétrie au croisement des diagonales, et aucun axe de symétrie.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ne pas confondre symétrie axiale et symétrie centrale.

✅ La suggestion

La symétrie axiale utilise un axe (droite) ; la symétrie centrale utilise un point. La symétrie centrale revient à une rotation de $180°$ .

💡 À retenir

Le centre $O$ est le milieu de chaque paire de points symétriques.
Formule : $A'(2x_O - x_A ; 2y_O - y_A)$ .
Symétrie centrale = rotation de $180°$ .
Ne pas confondre avec la symétrie axiale (axe vs point).

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