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Triangles

Construction, types, inégalité triangulaire

Prends trois baguettes de 33 cm, 44 cm et 88 cm et essaie de fabriquer un triangle. Tu n'y arriveras pas.

Avec 66 cm, 77 cm et 1010 cm, en revanche, cela marche du premier coup. Trois longueurs ne suffisent donc pas à faire un triangle : encore faut-il qu'elles puissent se rejoindre. Sais-tu dire à l'avance lesquelles conviennent, sans rien tracer ?

Le triangle est la forme géométrique la plus simple que l'on puisse tracer avec des segments : trois côtés, trois sommets, trois angles. Mais derrière cette simplicité se cachent des propriétés puissantes, utilisées partout dans le monde réel.

Sa propriété fondamentale : la somme des angles intérieurs est toujours 180°180°, quelle que soit la forme du triangle. Pourquoi 180°180° ? Si l'on trace une droite parallèle au côté de base passant par le sommet opposé, les trois angles du triangle forment exactement un angle plat (alternes-internes). Connaître deux angles suffit donc toujours à trouver le troisième !

L'inégalité triangulaire (c<a+bc < a + b) traduit une réalité physique : le chemin direct entre deux points est toujours plus court que le chemin qui passe par un troisième point. Il suffit de vérifier que le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. Si cette condition n'est pas respectée, le triangle est tout simplement impossible à construire : essaie de fermer un triangle avec des baguettes de 33 cm, 44 cm et 1010 cm — tu n'y arriveras pas !

Dans la vie courante, le triangle est partout : la charpente d'un toit, les pylônes électriques, les ponts en treillis, les grues de chantier… Pourquoi ? Parce que le triangle est la seule figure géométrique qui est indéformable : un carré peut s'aplatir en losange, mais un triangle garde toujours sa forme. C'est pour cela que les ingénieurs l'utilisent dans toute structure qui doit résister à des forces.

Les triangles isocèles (2 côtés égaux → 2 angles de base égaux) et équilatéraux (3 côtés égaux → angles de 60°60°) ont des propriétés de symétrie particulières qui les rendent encore plus utiles en architecture et en design.

📖 Vocabulaire clé

Triangle : Polygone à 3 côtés. La somme de ses angles intérieurs vaut toujours 180°180°.
Inégalité triangulaire : Pour que trois longueurs aa, bb, cc forment un triangle, le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
Triangle isocèle : Triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles à la base sont égaux.
Triangle équilatéral : Triangle dont les trois côtés sont égaux. Les trois angles valent 60°60°.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Vérifier l'inégalité triangulaire : le plus grand côté < somme des deux autres.
  2. 2 Identifier le type : isocèle (2 côtés égaux), équilatéral (3 côtés égaux), rectangle (angle droit, repéré au rapporteur ou à l'équerre).
  3. 3 Calculer un angle manquant : angle inconnu = 180°−180° - (somme des deux autres angles).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Peut-on construire un triangle avec des côtés de 55 cm, 77 cm et 1010 cm ? Si oui, quelle est la nature du triangle ?
Démarche :
  1. Plus grand côté : 1010. Somme des deux autres : 5+7=125 + 7 = 12. 10<1210 < 12 ✓ → triangle possible.
  2. Tous les côtés sont différents → triangle scalène (quelconque).
Réponse : Triangle scalène (quelconque)

📐 Formules clés

Somme des angles : A^+B^+C^=180°\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°
Inégalité triangulaire : c<a+bc < a + b (le plus grand côté)
Triangle isocèle : deux côtés égaux ⟹ deux angles à la base égaux
Triangle équilatéral : a=b=ca = b = c ⟹ A^=B^=C^=60°\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60°

🎨 Illustrations

Types de triangles
Isocèle, équilatéral, rectangle : les marques conventionnelles

Les tics indiquent une égalité de longueur ; le petit carré indique un angle droit.

Trois types de triangles : isocele, equilateral, rectangle Trois petits triangles cote a cote avec leurs marques conventionnelles : tics d'egalite sur les cotes egaux pour l'isocele et l'equilateral, petit carre d'angle droit pour le rectangle. Isocèle Équilatéral A B C Rectangle
  • 1 Isocèle : les deux côtés marqués du même tic sont égaux, donc les deux angles à la base sont égaux.
  • 2 Équilatéral : les trois côtés portent le même tic, les trois angles valent 60 degrés.
  • 3 Rectangle : le petit carré signale l'angle droit, opposé à l'hypoténuse (en couleur).
Ce qu'il faut lire : Les marques sur la figure (tics, carré) remplacent les mesures : elles suffisent à identifier le type de triangle sans mesurer.
Les trois grandes familles de triangles et leurs marques conventionnelles.
Quand le triangle ne se ferme pas
Pourquoi certaines longueurs sont impossibles

Avec 33 cm, 44 cm et 1010 cm, le triangle ne peut pas exister : les deux petits côtés, même dépliés en ligne droite, n'atteignent pas l'extrémité du grand.

Deux petits cotes trop courts pour fermer un triangle Un segment de 10 centimetres est trace horizontalement. Au-dessus, les deux autres cotes, de 3 et 4 centimetres, sont deplies bout a bout en ligne droite depuis l'extremite gauche : ensemble ils ne mesurent que 7 centimetres et s'arretent nettement avant l'extremite droite du grand cote. Un ecart de 3 centimetres reste a franchir, ce qui montre que le triangle ne peut pas se fermer. 10 cm 3 cm 4 cm il manque 3 cm
  • 1 Somme des deux petits côtés : 3+4=73 + 4 = 7 cm.
  • 2 Le plus grand côté mesure 1010 cm, or 10>710 > 7 : les deux petits ne se rejoignent jamais.
  • 3 Condition pour construire : le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
Ce qu'il faut lire : Imagine que tu fais pivoter les deux petits côtés autour de leurs extrémités, comme deux bras articulés. Même complètement dépliés, ils s'arrêtent 33 cm trop tôt : aucune position ne permet de les faire se toucher.
Avec 33 cm, 44 cm et 1010 cm, les deux petits côtés réunis (77 cm) n'atteignent pas le grand (1010 cm).
Une seule inégalité à tester
C'est le plus grand côté qui décide

Inutile de tester les trois sommes possibles : dès qu'un côté est le plus long, les deux autres inégalités sont automatiquement vraies. Une seule vérification suffit.

Les trois inegalites a comparer, dont une seule est utile Pour les longueurs 6, 8 et 13 centimetres, les trois inegalites sont representees par des barres horizontales. Les deux premieres, qui comparent un petit cote a la somme des deux autres, sont largement verifiees et donc sans interet. La troisieme, qui compare le plus grand cote de 13 centimetres a la somme 6 plus 8 egale 14 centimetres, se joue a un centimetre pres : c'est la seule qui decide. 6 contre 8 + 13 sans intérêt 8 contre 6 + 13 sans intérêt 13 contre 6 + 8 tout se joue ici : 13 est plus court que 14, donc ça passe
  • 1 6<8+13=216 < 8 + 13 = 21 : vrai, et de loin.
  • 2 8<6+13=198 < 6 + 13 = 19 : vrai, et de loin.
  • 3 13<6+8=1413 < 6 + 8 = 14 : vrai de justesse — la seule inégalité qui informe.
Ce qu'il faut lire : Compare les longueurs des barres : sur les deux premières lignes, la barre du bas dépasse énormément celle du haut, le test est gagné d'avance. Sur la dernière, les deux barres sont presque de la même longueur : c'est là que la réponse se décide.
Des trois inégalités, seule celle qui porte sur le plus grand côté peut échouer.
Base ou sommet
Dans un triangle isocèle, quels angles sont égaux ?

Les deux angles égaux sont ceux qui s'appuient sur la base, c'est-à-dire sur le côté qui n'est pas codé. L'angle du sommet, lui, est différent des deux autres.

Triangle isocele : angle au sommet et angles de base Un triangle isocele pointe vers le haut. Ses deux cotes obliques portent chacun un tic d'egalite, ce qui indique qu'ils sont de meme longueur. L'angle au sommet, en haut, mesure 40 degres. Les deux angles de base, en bas a gauche et en bas a droite, sont marques d'un point d'interrogation car ce sont eux que l'on cherche ; ils sont egaux entre eux et valent chacun 70 degres. 40° sommet ? ? base : les deux angles égaux
  • 1 Les deux côtés codés sont égaux : le triangle est isocèle.
  • 2 Les angles égaux sont ceux qui s'appuient sur la base, jamais celui du sommet.
  • 3 Calcul en deux temps : 180−40=140180 - 40 = 140, puis 140÷2=70140 \div 2 = 70. Contrôle : 70+70+40=18070 + 70 + 40 = 180 ✓
Ce qu'il faut lire : Suis du doigt les deux côtés qui portent un tic : ils partent tous les deux du sommet. Les angles égaux sont donc à l'autre bout de ces côtés, en bas — jamais celui d'où ils partent.
Angle au sommet 40°40° ; les deux angles de base, égaux, valent 70°70° chacun.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ne vérifier l'inégalité triangulaire que pour un seul cas.

✅ La suggestion

Il faut que LE PLUS GRAND côté soit inférieur à la somme des deux autres. Si cc est le plus grand, seule la vérification c<a+bc < a + b est nécessaire.

💡 À retenir

  • La somme des angles d'un triangle est toujours 180°180°.
  • Le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.
  • Triangle isocèle = 2 côtés égaux = 2 angles de base égaux.
  • Triangle équilatéral = 3 côtés égaux = 3 angles de 60°60°.
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