Matières › 📐 Mathématiques › Collège › Parallélogrammes et propriétés
▱

Parallélogrammes et propriétés

Parallélogramme, rectangle, losange, carré

Un cerf-volant, une table pliante, la grille d'un portail : ces objets du quotidien gardent une forme de parallélogramme même quand on les incline, parce que leurs côtés opposés restent toujours parallèles entre eux.

Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles. De cette propriété découlent toutes les autres : les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux, et les diagonales se coupent en leur milieu.

Hiérarchie : tout carré est un rectangle et un losange ; tout rectangle est un parallélogramme ; tout losange est un parallélogramme — mais l'inverse n'est pas vrai.

Pour identifier un parallélogramme, il suffit de vérifier une des conditions : côtés opposés parallèles, ou côtés opposés égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu.

L'aire d'un parallélogramme est base × hauteur. Attention : la hauteur est perpendiculaire à la base, pas le côté latéral. L'aire d'un losange se calcule avec ses diagonales : A=d1×d22\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}.

📖 Vocabulaire clé

Parallélogramme : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les diagonales se coupent en leur milieu.
Rectangle : Parallélogramme ayant 4 angles droits. Ses diagonales sont de même longueur.
Losange : Parallélogramme ayant 4 côtés de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
Carré : Quadrilatère qui est à la fois rectangle ET losange : 4 angles droits et 4 côtés égaux.

📋 Méthode : identifier et utiliser les propriétés

  1. 1 Parallélogramme : côtés opposés parallèles ET égaux ; diagonales qui se coupent en leur milieu.
  2. 2 Rectangle : parallélogramme avec 4 angles droits ; diagonales égales.
  3. 3 Losange : parallélogramme avec 4 côtés égaux ; diagonales perpendiculaires.
  4. 4 Carré : rectangle ET losange (4 angles droits + 4 côtés égaux).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un losange a des diagonales de 88 cm et 66 cm, et un côté de 55 cm. Calcule son aire.
Démarche :
  1. Aire : A=d1×d22=8×62=24\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24 cm².
  2. Les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu → demi-diagonales : 44 et 33 cm.
Réponse : Aire = 2424 cm²

📐 Formules clés

Parallélogramme ABCDABCD : AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC} (vecteurs égaux)
Diagonales d'un parallélogramme : milieu de [AC][AC] = milieu de [BD][BD]
Aire du parallélogramme : A=b×h\mathcal{A} = b \times h (base ×\times hauteur)
Aire du losange : A=d1×d22\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} (demi-produit des diagonales)

🎨 Illustration

Quadrilatères particuliers
Parallélogramme, rectangle, losange, carré : quelles propriétés en plus ?

Les tics identiques marquent des longueurs égales (côtés ou demi-diagonales), les petits carrés marquent des angles droits. Le panneau losange reprend l'exemple du cours : diagonales de 88 cm et 66 cm, côté de 55 cm.

Parallelogramme, rectangle, losange et carre avec diagonales codees Quatre quadrilateres avec leurs diagonales et des tics d'egalite : un parallelogramme quelconque, un rectangle avec ses quatre angles droits, un losange aux diagonales de 8 centimetres et 6 centimetres perpendiculaires, et un carre qui cumule angles droits et cotes egaux. Parallélogramme Rectangle d1 = 8 cm d2 = 6 cm côté = 5 cm Losange Carré
  • 1 Dans les 44 figures, les diagonales se coupent en leur milieu : c'est justement la propriété qui définit un parallélogramme — les tics sur chaque moitié de diagonale montrent l'égalité des deux moitiés.
  • 2 Le rectangle ajoute 44 angles droits (petits carrés) ET des diagonales de même longueur : toutes les demi-diagonales portent le même tic.
  • 3 Le losange ajoute 44 côtés égaux (même tic sur les 44 côtés) ET des diagonales perpendiculaires (petit carré au centre). Avec des diagonales de 88 cm et 66 cm, les demi-diagonales mesurent 44 cm et 33 cm, pour un côté de 55 cm — exactement l'exemple du cours.
  • 4 Le carré cumule tout : 44 angles droits, 44 côtés égaux, diagonales égales ET perpendiculaires.
Ce qu'il faut lire : Pour identifier une figure, une seule propriété codée ne suffit pas si elle n'est pas vraie partout : il faut que la propriété (angle droit, longueur égale...) se vérifie sur les 44 côtés ou les 44 demi-diagonales, pas sur un seul.
Codage des figures : tics identiques = longueurs égales, petits carrés = angles droits. Le losange reprend les valeurs de l'exemple du cours (diagonales 88 cm et 66 cm, côté 55 cm).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

un rectangle est TOUJOURS un parallélogramme, mais un parallélogramme n'est pas forcément un rectangle.

✅ La suggestion

Hiérarchie : carré ⊂ rectangle ⊂ parallélogramme et carré ⊂ losange ⊂ parallélogramme.

💡 À retenir

  • Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
  • Rectangle = parallélogramme + angles droits. Losange = parallélogramme + côtés égaux.
  • Carré = rectangle + losange.
  • Aire du losange : d1×d22\dfrac{d_1 \times d_2}{2}.
← Triangles 19 / 49 → Angles et parallélisme