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Angles et parallélisme

Alternes-internes, correspondants, internes de même côté

Deux planches doivent être parfaitement parallèles. Elles font trois mètres de long, tu n'as qu'un rapporteur, et tu ne peux pas les prolonger pour voir si elles finissent par se croiser. Comment t'en assurer ?

Mesurer l'écart en deux endroits ne suffit pas tout à fait : rien ne dit qu'il ne varie pas ailleurs. Il existe pourtant une vérification qui se fait en un seul point, avec un seul trait tracé en travers — et elle, elle est certaine.

Quand une sécante coupe deux droites parallèles, elle crée des paires d'angles avec des relations précises.

Les alternes-internes (configuration en Z) sont égaux. Les correspondants (configuration en F) sont égaux. Les angles internes du même côté de la sécante (configuration en U) sont supplémentaires (somme = 180°180°).

Point clé : ces propriétés ne valent que si les droites sont parallèles — et réciproquement, si ces propriétés sont vérifiées, alors les droites sont forcément parallèles. C'est une façon de démontrer le parallélisme.

En optique, les rayons parallèles incidents sur un miroir vérifient ces propriétés angulaires, ce qui explique la construction des images dans les miroirs plans.

📖 Vocabulaire clé

Sécante : Droite qui coupe deux autres droites. Elle crée des angles à chaque point d'intersection.
Angles alternes-internes : Paire d'angles situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites (configuration en Z). Égaux si les droites sont parallèles.
Angles correspondants : Paire d'angles situés du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur (configuration en F). Égaux si parallèles.
Angles supplémentaires : Deux angles dont la somme vaut 180°180°. Les angles internes du même côté de la sécante sont supplémentaires si les droites sont parallèles.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la sécante (droite qui coupe les deux parallèles) et les deux parallèles.
  2. 2 Repérer la configuration : alternes-internes (en Z), correspondants (en F), ou internes de même côté (en U).
  3. 3 Appliquer la propriété : alternes-internes → égaux ; correspondants → égaux ; internes de même côté → supplémentaires.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 72°72°. Trouver l'angle alterne-interne, l'angle interne du même côté et l'angle correspondant.
Démarche :
  1. Angle alterne-interne : même mesure → 72°72° (car droites parallèles, configuration en Z).
  2. Angle interne du même côté : supplémentaire → 180°−72°=108°180° - 72° = 108° (configuration en U).
  3. Angle correspondant : même mesure → 72°72° (configuration en F).
Réponse : Alterne-interne : 72°72°, interne (même côté) : 108°108°, correspondant : 72°72°

📐 Formules clés

Alternes-internes : a^=b^\hat{a} = \hat{b} (configuration en Z)
Correspondants : a^=c^\hat{a} = \hat{c} (configuration en F)
Internes de même côté : a^+d^=180°\hat{a} + \hat{d} = 180° (configuration en U)
Angles supplémentaires : a^+b^=180°\hat{a} + \hat{b} = 180°

🎨 Illustrations

Angles et parallélisme
Les 8 angles formés par une sécante coupant deux parallèles

Deux droites parallèles (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont coupées par une sécante : quatre angles se forment à chaque point d’intersection, soit huit angles au total, numérotés de 1 à 8.

Huit angles formés par une sécante coupant deux droites parallèles Deux droites parallèles d1 et d2 sont coupées par une sécante. Quatre angles se forment à chaque intersection, numérotés de 1 à 8. Les angles 3, 5 et 7 sont égaux entre eux ; l'angle 6 est supplémentaire à l'angle 3. d1 d2 sécante 1 2 3 4 5 6 7 8
  • 1 Les angles 3 et 7 sont correspondants (même position par rapport à la sécante, arcs pleins) : ils sont égaux.
  • 2 Les angles 3 et 5 sont alternes-internes (configuration en Z : entre les deux parallèles, de part et d’autre de la sécante) : ils sont égaux.
  • 3 Les angles 3 et 6 sont internes du même côté de la sécante (configuration en U : entre les deux parallèles, arc plus sombre) : leur somme vaut 180°180°, ils sont supplémentaires.
  • 4 Les angles 1, 2, 4 et 8 ferment la figure : chacun est soit vertical (égal à l’angle opposé par le sommet), soit supplémentaire à ses voisins immédiats.
Ce qu'il faut lire : Repère d’abord la sécante (la droite oblique), puis regarde si les deux angles à comparer sont entre les deux parallèles (internes) ou à l’extérieur, et s’ils sont du même côté ou de part et d’autre de la sécante.
Deux droites parallèles coupées par une sécante : huit angles numérotés, avec le trio 3-5-7 égal (arcs pleins) et l’angle 6 supplémentaire à l’angle 3 (arc plus sombre).
Le seul critère à retenir
De quel côté de la sécante ?

Pas besoin de retenir trois noms. De part et d'autre de la sécante, les angles sont égaux ; du même côté, ils sont supplémentaires. Le côté se voit, les noms s'oublient.

Angles de part et d'autre de la secante, puis du meme cote Deux droites parallelles horizontales sont coupees par une secante oblique. A gauche de la secante et a droite de la secante, deux angles alternes-internes de 45 degres chacun sont marques : ils sont egaux. Du meme cote de la secante, deux angles internes de 45 et 135 degres sont marques : leur somme fait 180 degres, ils sont supplementaires. La secante est tracee en trait plein et les deux parallelles portent chacune une fleche unique indiquant leur direction commune. 45° 45° de part et d'autre donc égaux 135° même côté : 45° + 135° = 180°
  • 1 De part et d'autre de la sécante : les deux angles sont égaux (45°45° et 45°45°).
  • 2 Du même côté de la sécante : les deux angles sont supplémentaires (45°+135°=180°45° + 135° = 180°).
  • 3 Contrôle de vraisemblance : deux angles égaux sont tous deux aigus ou tous deux obtus ; deux angles supplémentaires sont l'un aigu et l'autre obtus (sauf deux angles droits).
Ce qu'il faut lire : Avant de chercher le nom de la configuration, pose ton doigt sur la sécante : les deux angles sont-ils du même côté de ton doigt, ou de part et d'autre ? Cette seule question décide entre « égaux » et « supplémentaires ».
Le côté de la sécante suffit à décider : de part et d'autre, égaux ; du même côté, supplémentaires.
La condition qu'on oublie
Sans parallèles, la règle tombe

Ces propriétés ne valent que si les droites sont parallèles. Dès qu'elles ne le sont pas, les angles « alternes-internes » n'ont plus aucune raison d'être égaux — et ils ne le sont pas.

Deux droites non parallelles coupees par une secante A gauche, deux droites parallelles coupees par une secante : les deux angles alternes-internes mesurent 45 degres chacun et sont donc egaux. A droite, deux droites non parallelles coupees par la meme secante : les angles alternes-internes mesurent 45 et 59 degres, ils ne sont pas egaux. Les deux dessins sont a la meme echelle et la secante y a la meme inclinaison, si bien que la seule difference est le parallelisme des deux droites. 45° 45° parallèles égaux, la règle vaut 45° 59° non parallèles inégaux, la règle tombe
  • 1 À gauche, les droites sont parallèles : les alternes-internes valent 45°45° tous les deux.
  • 2 À droite, elles ne le sont pas : les mêmes positions donnent 45°45° et 59°59°.
  • 3 Toute justification doit donc commencer par l'hypothèse : « les droites étant parallèles, alors… »
Ce qu'il faut lire : Mesure les deux angles marqués de chaque côté au rapporteur. À gauche tu trouves deux fois la même valeur, à droite deux valeurs différentes — pourtant la sécante est inclinée pareil. C'est donc bien le parallélisme, et lui seul, qui fait la règle.
La même configuration, avec et sans parallélisme : les alternes-internes ne sont égaux que dans le premier cas.
La promesse tenue
Pourquoi la somme des angles d'un triangle fait 180°180°

Voici la démonstration annoncée au chapitre des triangles. On trace la parallèle à la base passant par le sommet : les trois angles du triangle se retrouvent alignés et forment un angle plat.

Demonstration de la somme des angles d'un triangle Un triangle est pose sur une base horizontale. Par son sommet passe une droite parallele a cette base. Les deux angles de la base du triangle se retrouvent reportes de part et d'autre du sommet, sur la parallele, parce qu'ils sont alternes-internes avec eux. Les trois angles au sommet se suivent alors sans trou ni chevauchement le long de la parallele et forment un angle plat de 180 degres, ce qui demontre que la somme des angles du triangle vaut 180 degres. 1 2 3 1 2 au sommet : 1 + 3 + 2 forment un angle plat, donc 180°
  • 1 L'angle 1 se retrouve au sommet : il est alterne-interne avec lui, les deux droites étant parallèles.
  • 2 Même raison pour l'angle 2, de l'autre côté.
  • 3 Au sommet, les trois angles se suivent le long d'une droite : leur somme est donc 180°180°. La somme des angles d'un triangle vaut 180°180°.
Ce qu'il faut lire : Suis l'angle marqué 1 en bas à gauche, puis retrouve-le en haut, à gauche du sommet : c'est le même, parce que les deux droites sont parallèles. Fais de même avec l'angle 2. Il ne reste alors, en haut, que les trois angles du triangle posés côte à côte sur une droite.
La parallèle à la base reporte les deux angles de base au sommet : les trois angles forment un angle plat.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ces propriétés ne sont valables QUE si les deux droites sont parallèles.

✅ La suggestion

Si elles ne le sont pas, les angles alternes-internes ne sont plus égaux. C'est aussi une façon de prouver que deux droites sont parallèles !

💡 À retenir

  • Alternes-internes (Z) et correspondants (F) sont ÉGAUX si les droites sont parallèles.
  • Internes de même côté (U) sont SUPPLÉMENTAIRES (+=180°+ = 180°) si les droites sont parallèles.
  • La réciproque est vraie : si ces relations sont vérifiées, les droites sont parallèles.
  • Si les angles ne vérifient pas ces relations, les droites ne sont PAS parallèles.
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