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Angles et parallélisme

Alternes-internes, correspondants, internes de même côté

Quand une sécante coupe deux droites parallèles, elle crée des paires d'angles avec des relations précises.

Les alternes-internes (configuration en Z) sont égaux. Les correspondants (configuration en F) sont égaux. Les angles internes du même côté de la sécante (configuration en U) sont supplémentaires (somme = 180°180°).

Point clé : ces propriétés ne valent que si les droites sont parallèles — et réciproquement, si ces propriétés sont vérifiées, alors les droites sont forcément parallèles. C'est une façon de démontrer le parallélisme.

En optique, les rayons parallèles incidents sur un miroir vérifient ces propriétés angulaires, ce qui explique la construction des images dans les miroirs plans.

📖 Vocabulaire clé

Sécante : Droite qui coupe deux autres droites. Elle crée des angles à chaque point d'intersection.
Angles alternes-internes : Paire d'angles situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites (configuration en Z). Égaux si les droites sont parallèles.
Angles correspondants : Paire d'angles situés du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur (configuration en F). Égaux si parallèles.
Angles supplémentaires : Deux angles dont la somme vaut 180°180°. Les angles internes du même côté de la sécante sont supplémentaires si les droites sont parallèles.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la sécante (droite qui coupe les deux parallèles) et les deux parallèles.
  2. 2 Repérer la configuration : alternes-internes (en Z), correspondants (en F), ou internes de même côté (en U).
  3. 3 Appliquer la propriété : alternes-internes → égaux ; correspondants → égaux ; internes de même côté → supplémentaires.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 72°72°. Trouver l'angle alterne-interne, l'angle interne du même côté et l'angle correspondant.
Démarche :
  1. Angle alterne-interne : même mesure → 72°72° (car droites parallèles, configuration en Z).
  2. Angle interne du même côté : supplémentaire → 180°−72°=108°180° - 72° = 108° (configuration en U).
  3. Angle correspondant : même mesure → 72°72° (configuration en F).
Réponse : Alterne-interne : 72°72°, interne (même côté) : 108°108°, correspondant : 72°72°

📐 Formules clés

Alternes-internes : a^=b^\hat{a} = \hat{b} (configuration en Z)
Correspondants : a^=c^\hat{a} = \hat{c} (configuration en F)
Internes de même côté : a^+d^=180°\hat{a} + \hat{d} = 180° (configuration en U)
Angles supplémentaires : a^+b^=180°\hat{a} + \hat{b} = 180°

🎨 Illustration

Angles et parallélisme
Les 8 angles formés par une sécante coupant deux parallèles

Deux droites parallèles (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont coupées par une sécante : quatre angles se forment à chaque point d’intersection, soit huit angles au total, numérotés de 1 à 8.

Huit angles formés par une sécante coupant deux droites parallèles Deux droites parallèles d1 et d2 sont coupées par une sécante. Quatre angles se forment à chaque intersection, numérotés de 1 à 8. Les angles 3, 5 et 7 sont égaux entre eux ; l'angle 6 est supplémentaire à l'angle 3. d1 d2 sécante 1 2 3 4 5 6 7 8
  • 1 Les angles 3 et 7 sont correspondants (même position par rapport à la sécante, arcs pleins) : ils sont égaux.
  • 2 Les angles 3 et 5 sont alternes-internes (configuration en Z : entre les deux parallèles, de part et d’autre de la sécante) : ils sont égaux.
  • 3 Les angles 3 et 6 sont internes du même côté de la sécante (configuration en U : entre les deux parallèles, arc plus sombre) : leur somme vaut 180°180°, ils sont supplémentaires.
  • 4 Les angles 1, 2, 4 et 8 ferment la figure : chacun est soit vertical (égal à l’angle opposé par le sommet), soit supplémentaire à ses voisins immédiats.
Ce qu'il faut lire : Repère d’abord la sécante (la droite oblique), puis regarde si les deux angles à comparer sont entre les deux parallèles (internes) ou à l’extérieur, et s’ils sont du même côté ou de part et d’autre de la sécante.
Deux droites parallèles coupées par une sécante : huit angles numérotés, avec le trio 3-5-7 égal (arcs pleins) et l’angle 6 supplémentaire à l’angle 3 (arc plus sombre).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

ces propriétés ne sont valables QUE si les deux droites sont parallèles.

✅ La suggestion

Si elles ne le sont pas, les angles alternes-internes ne sont plus égaux. C'est aussi une façon de prouver que deux droites sont parallèles !

💡 À retenir

  • Alternes-internes (Z) et correspondants (F) sont ÉGAUX si les droites sont parallèles.
  • Internes de même côté (U) sont SUPPLÉMENTAIRES (+=180°+ = 180°) si les droites sont parallèles.
  • La réciproque est vraie : si ces relations sont vérifiées, les droites sont parallèles.
  • Si les angles ne vérifient pas ces relations, les droites ne sont PAS parallèles.
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