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Aires et périmètres (approfondissement)

Disque, figures composées, conversions

Les figures complexes se décomposent toujours en figures simples (rectangles, triangles, disques). L'aire totale est la somme (ou différence) des aires des parties.

Règle de conversion des aires : quand on passe d'une unité de longueur à une autre, l'exposant $2$ s'applique aussi au facteur de conversion : $1$ m $= 100$ cm, donc $1$ m² $= 100^2$ cm² $= 10\,000$ cm². Beaucoup d'élèves multiplient par $100$ au lieu de $10\,000$ !

Le disque de rayon $r$ a une aire $\pi r^2$ — c'est $r$ seul au carré, pas $\pi r$ entier. Le périmètre (ou circonférence) vaut $2\pi r$ .

Pour les figures composées, bien identifier si on ajoute une partie (rectangle + demi-disque) ou si on soustrait (carré avec un trou circulaire).

📖 Vocabulaire clé

Aire : Mesure de la surface d'une figure plane. S'exprime en unités au carré (cm², m², etc.).

Périmètre : Longueur du contour d'une figure. S'exprime en unités de longueur (cm, m, etc.).

Disque : Surface délimitée par un cercle. Aire =

\pi r^2

, périmètre =

2\pi r

Figure composée : Figure obtenue en assemblant ou en retranchant des figures simples. Son aire est la somme (ou différence) des aires des parties.

📋 Méthode en 4 étapes

1 Décomposer la figure complexe en figures simples connues.
2 Calculer l'aire de chaque partie séparément.
3 Additionner (ou soustraire si une partie est retirée).
4 Conversions : $1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$ , $1\,\text{cm}^2 = 100\,\text{mm}^2$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calcule l'aire d'un terrain rectangulaire de

30

m ×

20

m dans lequel on a creusé une piscine circulaire de rayon

4

Démarche :

Aire du rectangle : $30 \times 20 = 600$ m².
Aire du disque (piscine) : $\pi \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}3$ m².
Aire restante : $600 - 50{,}3 = 549{,}7$ m².

Réponse :

\approx 549{,}7

m²

📐 Formules clés

Disque :

\mathcal{A} = \pi r^2

\mathcal{P} = 2\pi r

Demi-disque :

\mathcal{A} = \dfrac{\pi r^2}{2}

1\,\text{m}^2 = 10^4\,\text{cm}^2 = 10^6\,\text{mm}^2

Figures composées :

\mathcal{A}_{\text{tot}} = \mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 \pm \ldots

🎨 Illustration

Figure composée

Décomposer une aire composée : additionner ou soustraire ?

Terrain rectangulaire de $30$ m $\times$ $20$ m dans lequel une piscine circulaire de rayon $4$ m est retirée : l'aire restante est une différence d'aires, l'exemple du cours.

1 L'aire du rectangle (le terrain) vaut $30 \times 20 = 600$ m².
2 Le disque retiré (la piscine) a un rayon de $4$ m : son aire vaut $\pi \times 4^2 \approx 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}3$ m².
3 Le disque est creusé DANS le rectangle : on soustrait. Aire restante $\approx 600 - 50{,}3 \approx 549{,}7$ m².

Ce qu'il faut lire : Face à une figure composée, identifie d'abord si une partie est ajoutée (on additionne) ou retirée comme ici (on soustrait), avant de calculer quoi que ce soit.

Terrain rectangulaire de

30

\times

20

m avec une piscine circulaire de rayon

4

m retirée en son centre — aire restante

\approx 549{,}7

m², exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège de conversion : $2\,\text{cm} = 20\,\text{mm}$ mais $2\,\text{cm}^2 \neq 20\,\text{mm}^2$ .

✅ La suggestion

En réalité $2\,\text{cm}^2 = 200\,\text{mm}^2$ (on multiplie par $100$ , pas par $10$ ).

💡 À retenir

Aire du disque : $\pi r^2$ (bien utiliser le rayon, pas le diamètre !).
Conversion d'aires : élever le facteur de conversion au carré ( $1$ m² = $10\,000$ cm²).
Figure composée = somme ou différence de figures simples.
Périmètre d'un cercle : $2\pi r$ (ou $\pi d$ avec le diamètre).

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