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Aires et périmètres (approfondissement)

Disque, figures composées, conversions

Un terrain a la forme d'un rectangle de 1212 m sur 88 m dont on a retiré un coin carré de 44 m sur 33 m. Quelle est son aire ?

Cherche la formule de « l'aire d'un terrain en forme de L » : elle n'existe pas, et elle n'existera jamais, car les formes possibles sont innombrables. Il faut donc se débrouiller avec les seules figures dont tu connais déjà l'aire.

Les figures complexes se décomposent toujours en figures simples (rectangles, triangles, disques). L'aire totale est la somme (ou différence) des aires des parties.

Règle de conversion des aires : quand on passe d'une unité de longueur à une autre, l'exposant 22 s'applique aussi au facteur de conversion : 11 m =100= 100 cm, donc 11 m² =1002= 100^2 cm² =10 000= 10\,000 cm². Beaucoup d'élèves multiplient par 100100 au lieu de 10 00010\,000 !

Le disque de rayon rr a une aire πr2\pi r^2 — c'est rr seul au carré, pas πr\pi r entier. Le périmètre (ou circonférence) vaut 2πr2\pi r.

Pour les figures composées, bien identifier si on ajoute une partie (rectangle + demi-disque) ou si on soustrait (carré avec un trou circulaire).

📖 Vocabulaire clé

Aire : Mesure de la surface d'une figure plane. S'exprime en unités au carré (cm², m², etc.).
Périmètre : Longueur du contour d'une figure. S'exprime en unités de longueur (cm, m, etc.).
Disque : Surface délimitée par un cercle. Aire = πr2\pi r^2, périmètre = 2πr2\pi r.
Figure composée : Figure obtenue en assemblant ou en retranchant des figures simples. Son aire est la somme (ou différence) des aires des parties.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Décomposer la figure complexe en figures simples connues.
  2. 2 Calculer l'aire de chaque partie séparément.
  3. 3 Additionner (ou soustraire si une partie est retirée).
  4. 4 Conversions : 1 m2=10 000 cm21\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2, 1 cm2=100 mm21\,\text{cm}^2 = 100\,\text{mm}^2.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calcule l'aire d'un terrain rectangulaire de 3030 m × 2020 m dans lequel on a creusé une piscine circulaire de rayon 44 m.
Démarche :
  1. Aire du rectangle : 30×20=60030 \times 20 = 600 m².
  2. Aire du disque (piscine) : π×42=3,14×16≈50,3\pi \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}3 m².
  3. Aire restante : 600−50,3=549,7600 - 50{,}3 = 549{,}7 m².
Réponse : ≈549,7\approx 549{,}7 m²

📐 Formules clés

Disque : A=πr2\mathcal{A} = \pi r^2, P=2πr\mathcal{P} = 2\pi r
Demi-disque : A=πr22\mathcal{A} = \dfrac{\pi r^2}{2}
1 m2=104 cm2=106 mm21\,\text{m}^2 = 10^4\,\text{cm}^2 = 10^6\,\text{mm}^2
Figures composées : Atot=A1+A2±…\mathcal{A}_{\text{tot}} = \mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 \pm \ldots

🎨 Illustrations

Figure composée
Décomposer une aire composée : additionner ou soustraire ?

Terrain rectangulaire de 3030 m ×\times 2020 m dans lequel une piscine circulaire de rayon 44 m est retirée : l'aire restante est une différence d'aires, l'exemple du cours.

Terrain rectangulaire avec piscine circulaire retiree Un rectangle de 30 metres sur 20 metres represente un terrain. Un disque de rayon 4 metres est retire en son centre pour figurer une piscine : l'aire restante est l'aire du rectangle moins l'aire du disque. Terrain Piscine r = 4 m 30 m 20 m
  • 1 L'aire du rectangle (le terrain) vaut 30×20=60030 \times 20 = 600 m².
  • 2 Le disque retiré (la piscine) a un rayon de 44 m : son aire vaut π×42≈3,14×16≈50,3\pi \times 4^2 \approx 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}3 m².
  • 3 Le disque est creusé DANS le rectangle : on soustrait. Aire restante ≈600−50,3≈549,7\approx 600 - 50{,}3 \approx 549{,}7 m².
Ce qu'il faut lire : Face à une figure composée, identifie d'abord si une partie est ajoutée (on additionne) ou retirée comme ici (on soustrait), avant de calculer quoi que ce soit.
Terrain rectangulaire de 3030 m ×\times 2020 m avec une piscine circulaire de rayon 44 m retirée en son centre — aire restante ≈549,7\approx 549{,}7 m², exemple du cours.
Convertir une aire
Le facteur de conversion passe au carré, lui aussi

Pour les longueurs, 11 dm =10= 10 cm. Beaucoup d'élèves en concluent que 11 dm² =10= 10 cm². Le dessin dit le contraire : il faut 100100 carrés de 11 cm² pour paver un carré de 11 dm de côté, parce que le facteur 1010 agit dans les deux directions.

Un carre de 1 decimetre de cote pave par cent carres de 1 centimetre Un carre de 1 decimetre de cote est quadrille en carres de 1 centimetre de cote. On compte 10 carres sur une rangee et 10 rangees, soit 100 carres au total. Le carre de 1 decimetre carre vaut donc 100 centimetres carres, et non 10. Un seul carre unite est mis en evidence dans le coin superieur gauche. A droite du dessin, une comparaison rappelle que pour les longueurs le facteur est 10 alors que pour les aires il est 10 multiplie par 10, soit 100. 1 cm² 10 cm, soit 1 dm 10 cm longueur : × 10 1 dm = 10 cm aire : × 100 1 dm² = 10 × 10 = 100 cm²
  • 1 Une rangée contient 1010 carrés de 11 cm² ; il y a 1010 rangées, donc 10×10=10010 \times 10 = 100 carrés.
  • 2 Le facteur 1010 des longueurs agit sur la largeur et sur la hauteur : il est donc au carré pour les aires.
  • 3 Le même raisonnement vaut pour le mètre : 11 m =100= 100 cm donne 11 m² =100×100=10 000= 100 \times 100 = 10\,000 cm², jamais 100100 cm².
Ce qu'il faut lire : Compte les carrés d'une seule rangée : 1010. Compte les rangées : 1010. Le carré de 11 dm² en contient donc 100100, pas 1010. Un facteur qui vaut 1010 sur une longueur en vaut toujours 100100 sur une aire.
Le carré de 11 dm de côté pavé par 100100 carrés de 11 cm² : le facteur de conversion des aires est le carré de celui des longueurs.
Où se pose le carré
Dans πr2\pi r^2, seul le rayon est au carré

Le disque de gauche a l'aire juste, πr2\pi r^2. Celui de droite est ce qu'on obtiendrait en élevant au carré le produit πr\pi r tout entier. L'écart n'est pas un détail : le second est π\pi fois plus grand, soit plus du triple.

Le disque d'aire pi r carre et le disque trop grand obtenu en elevant pi r au carre A gauche, en teinte d'accent, le disque de rayon 4 centimetres : son aire vaut pi multiplie par 4 au carre, soit environ 50 virgule 2 centimetres carres. A droite, en teinte faible et en trait tirete, le disque qu'on obtiendrait en elevant au carre le produit pi fois r tout entier : son aire vaudrait environ 157 virgule 8 centimetres carres, soit pi fois plus, c'est-a-dire plus du triple. Les deux disques sont dessines a la meme echelle et poses sur la meme ligne de base, si bien que la difference de taille se lit directement. Le calcul juste est place en haut, l'erreur en dessous. le carré porte sur le rayon seul 4 cm π × 4² ≈ 50,2 cm² le calcul juste (π × 4)² ≈ 157,8 cm² plus du triple
  • 1 Aire juste : A=πr2=3,14×42=3,14×16≈50,2\mathcal{A} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}2 cm².
  • 2 Si l'on élève πr\pi r au carré : (3,14×4)2=12,562≈157,8(3{,}14 \times 4)^2 = 12{,}56^2 \approx 157{,}8 cm².
  • 3 157,8÷50,2≈3,14157{,}8 \div 50{,}2 \approx 3{,}14 : l'erreur multiplie l'aire par π\pi exactement. Elle est donc toujours du même ordre, jamais négligeable.
Ce qu'il faut lire : Calcule d'abord 42=164^2 = 16, et seulement ensuite multiplie par 3,143{,}14. L'ordre compte : élever au carré vient avant de multiplier par π\pi, comme le veulent les priorités des opérations.
Le disque de rayon 44 cm, d'aire πr2≈50,2\pi r^2 \approx 50{,}2 cm², et le disque trop grand qu'on obtient en élevant πr\pi r au carré (≈157,8\approx 157{,}8 cm²).
Ajouter ou retirer
Une même figure, deux décompositions

Devant une figure composée, la question n'est jamais « quelle formule ? » mais « est-ce que j'ajoute ou est-ce que je retire ? ». À gauche le demi-disque déborde du rectangle : on additionne. À droite il est creusé dedans : on soustrait. Le même demi-disque, deux résultats opposés.

Un demi-disque ajoute a un rectangle, puis retire du meme rectangle A gauche, un rectangle de 12 centimetres sur 6 surmonte d'un demi-disque de rayon 3 centimetres pose sur son bord superieur : le demi-disque deborde du rectangle, donc son aire s'ajoute a celle du rectangle et le total vaut environ 86 virgule 1 centimetres carres. A droite, le meme rectangle et le meme demi-disque, mais le demi-disque est creuse a l'interieur du rectangle : son aire se retire alors et il reste environ 57 virgule 9 centimetres carres. Les deux rectangles sont identiques, poses sur la meme ligne de base et a la meme echelle : seule la position du demi-disque change. La partie qui s'ajoute est teintee, la partie qui se retire est laissee vide et bordee de tirets. + 12 cm 6 cm 72 + 14,1 ≈ 86,1 cm² − 12 cm 72 − 14,1 ≈ 57,9 cm² même demi-disque de rayon 3 cm posé dessus, il s ajoute ; creusé dedans, il se retire
  • 1 Rectangle : 12×6=7212 \times 6 = 72 cm² dans les deux cas.
  • 2 Demi-disque de rayon 33 cm : π×322=3,14×92≈14,1\dfrac{\pi \times 3^2}{2} = \dfrac{3{,}14 \times 9}{2} \approx 14{,}1 cm², dans les deux cas également.
  • 3 À gauche 72+14,1≈86,172 + 14{,}1 \approx 86{,}1 cm² ; à droite 72−14,1≈57,972 - 14{,}1 \approx 57{,}9 cm². L'écart entre les deux réponses vaut deux fois l'aire du demi-disque.
Ce qu'il faut lire : Avant tout calcul, repasse le contour de la figure avec ton doigt. Si le demi-disque est du bon côté du trait, tu l'ajoutes ; s'il est en creux, tu le retires. Le calcul est le même, c'est le signe qui change.
Le même rectangle de 1212 cm ×\times 66 cm et le même demi-disque de rayon 33 cm : ajouté, l'aire vaut ≈86,1\approx 86{,}1 cm² ; retiré, ≈57,9\approx 57{,}9 cm².

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège de conversion : 2 cm=20 mm2\,\text{cm} = 20\,\text{mm} mais 2 cm2≠20 mm22\,\text{cm}^2 \neq 20\,\text{mm}^2.

✅ La suggestion

En réalité 2 cm2=200 mm22\,\text{cm}^2 = 200\,\text{mm}^2 (on multiplie par 100100, pas par 1010).

💡 À retenir

  • Aire du disque : πr2\pi r^2 (bien utiliser le rayon, pas le diamètre !).
  • Conversion d'aires : élever le facteur de conversion au carré (11 m² = 10 00010\,000 cm²).
  • Figure composée = somme ou différence de figures simples.
  • Périmètre d'un cercle : 2πr2\pi r (ou πd\pi d avec le diamètre).
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