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Volumes (prismes et cylindres)

Formule de base, conversions

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'une canalisation cylindrique, d'un réservoir ou d'une citerne
La formule universelle V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h s'applique à tout prisme et tout cylindre. L'intuition : le volume est la surface de la base « empilée » sur une hauteur hh.

Point clé sur la hauteur : la hauteur est toujours perpendiculaire aux bases — si le prisme est « incliné », la hauteur est différente du côté latéral.

Pour un cylindre, la base est un disque : V=πr2hV = \pi r^2 h. Attention à ne pas confondre rayon et diamètre !

Conversion : 11 dm³ =1= 1 L exactement, et 11 m³ =1000= 1000 L. En chimie, le volume d'une fiole jaugée est en mL, et la conversion vers cm³ est immédiate (11 mL =1= 1 cm³).

📖 Vocabulaire clé

Prisme droit : Solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliés par des faces rectangulaires. Volume = aire de la base × hauteur.
Cylindre : Solide dont les deux bases sont des disques identiques et parallèles. Volume = πr2×h\pi r^2 \times h.
Pavé droit : Prisme dont les bases sont des rectangles. Volume = L×l×hL \times l \times h. Cas particulier : le cube (L=l=hL = l = h).
Hauteur d'un solide : Distance perpendiculaire entre les deux bases. Ne pas confondre avec un côté latéral si le prisme est incliné.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la base et calculer son aire Abase\mathcal{A}_{\text{base}}.
  2. 2 Appliquer : V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h.
  3. 3 Convertir si nécessaire : 1 L=1 dm3=1000 cm31\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un cylindre a un rayon de 55 cm et une hauteur de 1212 cm. Calcule son volume.
Démarche :
  1. Aire de la base (disque) : πr2=3,14×25=78,5\pi r^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 cm².
  2. Volume : V=78,5×12=942V = 78{,}5 \times 12 = 942 cm³.
  3. Conversion : 942942 cm³ =0,942= 0{,}942 L.
Réponse : 942942 cm³ ≈0,94\approx 0{,}94 L

📐 Formules clés

Prisme/cylindre : V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Pavé droit : V=L×l×hV = L \times l \times h
Cylindre : V=πr2×hV = \pi r^2 \times h
1 L=1 dm3=1000 cm31\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3, 1 m3=1000 L1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}

🎨 Illustration

Prismes et cylindres
Volume = aire de la base × hauteur, hauteur toujours perpendiculaire

Le pavé droit et le cylindre partagent la même formule V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h. Sur le cylindre de l'exemple du cours (r=5r = 5 cm, h=12h = 12 cm), l'angle droit rappelle que la hauteur est perpendiculaire à la base — jamais un côté incliné.

Pave droit et cylindre avec hauteur perpendiculaire a la base A gauche un pave droit de longueur L, largeur l et hauteur h. A droite le cylindre de l'exemple du cours, de rayon 5 centimetres et de hauteur 12 centimetres, avec sa base en disque mise en evidence et sa hauteur perpendiculaire marquee par un angle droit. Pavé droit : V = L × l × h Cylindre : V = π × r² × h L l h Base Base r = 5 cm h = 12 cm
  • 1 Le pavé droit a pour base un rectangle L×lL \times l ; sa hauteur hh est perpendiculaire à cette base : V=L×l×hV = L \times l \times h.
  • 2 Le cylindre a pour base un disque de rayon r=5r = 5 cm ; son aire de base vaut π×52≈78,5\pi \times 5^2 \approx 78{,}5 cm² (avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14).
  • 3 Avec une hauteur h=12h = 12 cm, le volume du cylindre est V=78,5×12=942V = 78{,}5 \times 12 = 942 cm³, soit environ 0,940{,}94 L.
Ce qu'il faut lire : Repère toujours d'abord la base et sa forme, puis mesure la hauteur perpendiculairement à cette base — pas le long d'une arête inclinée.
Pavé droit (formule générale V=L×l×hV = L \times l \times h) et cylindre de rayon 55 cm et hauteur 1212 cm — l'exemple du cours donne V=942V = 942 cm³. Dans les deux cas, la hauteur est perpendiculaire à la base.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la hauteur d'un prisme est la distance entre les deux bases, perpendiculaire à celles-ci — pas nécessairement un côté latéral.

✅ La suggestion

Si le prisme est « penché », la hauteur est différente du côté.

💡 À retenir

  • Volume = aire de la base × hauteur (pour tout prisme et cylindre).
  • Cylindre : utiliser le RAYON (pas le diamètre) dans πr2h\pi r^2 h.
  • 11 L =1= 1 dm³ =1000= 1000 cm³.
  • La hauteur est perpendiculaire aux bases (pas un côté latéral).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'une canalisation cylindrique, d'un réservoir ou d'une citerne

Mots-clés associés : VolumePrismeCylindreAire de baseHauteurLitre
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