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Volumes (prismes et cylindres)

Formule de base, conversions

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'une canalisation cylindrique, d'un réservoir ou d'une citerne
Une citerne cylindrique mesure 1,21{,}2 m de diamètre et 22 m de haut. Combien de litres d'eau peut-elle contenir ?

La question paraît simple, et pourtant : en sixième, tu ne savais calculer que le volume d'un pavé droit, en multipliant trois longueurs. Ici il n'y en a pas trois — la base est ronde. Il va falloir une autre idée, et elle vaudra aussi bien pour les prismes que pour les cylindres.

La formule universelle V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h s'applique à tout prisme et tout cylindre. L'intuition : le volume est la surface de la base « empilée » sur une hauteur hh.

Point clé sur la hauteur : la hauteur est la distance entre les deux bases, mesurée perpendiculairement à celles-ci.

Pour un cylindre, la base est un disque : V=πr2hV = \pi r^2 h. Attention à ne pas confondre rayon et diamètre !

Conversion : 11 dm³ =1= 1 L exactement, et 11 m³ =1000= 1000 L. En chimie, le volume d'une fiole jaugée est en mL, et la conversion vers cm³ est immédiate (11 mL =1= 1 cm³).

Et la citerne du début ? Son rayon vaut 1,2÷2=0,61{,}2 \div 2 = 0{,}6 m, donc V=3,14×0,62×2≈2,26V = 3{,}14 \times 0{,}6^2 \times 2 \approx 2{,}26 m³, soit environ 2 2602\,260 litres.

📖 Vocabulaire clé

Prisme droit : Solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliés par des faces rectangulaires. Volume = aire de la base × hauteur.
Cylindre : Solide dont les deux bases sont des disques identiques et parallèles. Volume = πr2×h\pi r^2 \times h.
Pavé droit : Prisme dont les bases sont des rectangles. Volume = L×l×hL \times l \times h. Cas particulier : le cube (L=l=hL = l = h).
Hauteur d'un solide : Distance perpendiculaire entre les deux bases. Ne pas confondre avec un côté latéral si le prisme est incliné.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la base et calculer son aire Abase\mathcal{A}_{\text{base}}.
  2. 2 Appliquer : V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h.
  3. 3 Convertir si nécessaire : 1 L=1 dm3=1000 cm31\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un cylindre a un rayon de 55 cm et une hauteur de 1212 cm. Calcule son volume.
Démarche :
  1. Aire de la base (disque) : πr2=3,14×25=78,5\pi r^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 cm².
  2. Volume : V=78,5×12=942V = 78{,}5 \times 12 = 942 cm³.
  3. Conversion : 942942 cm³ =0,942= 0{,}942 L.
Réponse : 942942 cm³ ≈0,94\approx 0{,}94 L

📐 Formules clés

Prisme/cylindre : V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h
Pavé droit : V=L×l×hV = L \times l \times h
Cylindre : V=πr2×hV = \pi r^2 \times h
1 L=1 dm3=1000 cm31\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3, 1 m3=1000 L1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}

🎨 Illustrations

Prismes et cylindres
Volume = aire de la base × hauteur, hauteur toujours perpendiculaire

Le pavé droit et le cylindre partagent la même formule V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h. Sur le cylindre de l'exemple du cours (r=5r = 5 cm, h=12h = 12 cm), l'angle droit rappelle que la hauteur est perpendiculaire à la base — jamais un côté incliné.

Pave droit et cylindre avec hauteur perpendiculaire a la base A gauche un pave droit de longueur L, largeur l et hauteur h. A droite le cylindre de l'exemple du cours, de rayon 5 centimetres et de hauteur 12 centimetres, avec sa base en disque mise en evidence et sa hauteur perpendiculaire marquee par un angle droit. Pavé droit : V = L × l × h Cylindre : V = π × r² × h L l h Base Base r = 5 cm h = 12 cm
  • 1 Le pavé droit a pour base un rectangle L×lL \times l ; sa hauteur hh est perpendiculaire à cette base : V=L×l×hV = L \times l \times h.
  • 2 Le cylindre a pour base un disque de rayon r=5r = 5 cm ; son aire de base vaut π×52≈78,5\pi \times 5^2 \approx 78{,}5 cm² (avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14).
  • 3 Avec une hauteur h=12h = 12 cm, le volume du cylindre est V=78,5×12=942V = 78{,}5 \times 12 = 942 cm³, soit environ 0,940{,}94 L.
Ce qu'il faut lire : Repère toujours d'abord la base et sa forme, puis mesure la hauteur perpendiculairement à cette base — pas le long d'une arête inclinée.
Pavé droit (formule générale V=L×l×hV = L \times l \times h) et cylindre de rayon 55 cm et hauteur 1212 cm — l'exemple du cours donne V=942V = 942 cm³. Dans les deux cas, la hauteur est perpendiculaire à la base.
La hauteur, pas le côté
Deux prismes de même volume, dont un penché

Ces deux prismes ont la même base et la même hauteur : leurs volumes sont donc égaux. Pourtant l'arête latérale du prisme penché est plus longue que sa hauteur. C'est elle que l'élève mesure par réflexe, et c'est elle qui donne un volume trop grand.

Un prisme droit et un prisme penche de meme base et de meme hauteur A gauche un prisme droit pose sur une base horizontale : sa hauteur, marquee par un angle droit, se confond avec son arete verticale. A droite un prisme penche ayant exactement la meme base et exactement la meme hauteur perpendiculaire, mais dont l'arete laterale est oblique et donc plus longue que la hauteur. Les deux solides sont poses sur la meme ligne de base et dessines a la meme echelle. La hauteur perpendiculaire est tracee en trait tirete a l'interieur du prisme penche, ce qui montre qu'elle est plus courte que l'arete. Les deux volumes sont egaux puisque la base et la hauteur le sont. même base, même hauteur : même volume h prisme droit h arête plus longue prisme penché la hauteur se mesure à la verticale, jamais le long de arête
  • 1 Les deux prismes ont la même base et la même hauteur hh : leurs volumes sont égaux.
  • 2 Sur le prisme penché, l'arête latérale est environ 1,091{,}09 fois plus longue que la hauteur.
  • 3 Prendre l'arête pour la hauteur donnerait donc un volume trop grand d'environ 9%9\% — une erreur invisible sur le résultat, qui reste plausible.
Ce qu'il faut lire : Pose ta règle à la verticale, du sol jusqu'à la base du haut : c'est cela, la hauteur. Suis maintenant l'arête penchée du doigt : tu parcours un chemin plus long. Le solide n'a pourtant pas grossi.
Un prisme droit et un prisme penché de même base et de même hauteur : les volumes sont égaux, mais l'arête du second est plus longue que sa hauteur.
Rayon ou diamètre
Confondre les deux multiplie le volume par quatre

Le cylindre de gauche est celui du cours : r=5r = 5 cm. Celui de droite est ce que l'on obtient en prenant le diamètre pour le rayon. Comme le rayon est au carré dans la formule, doubler le rayon ne double pas le volume : il le quadruple.

Le cylindre juste et le cylindre obtenu en confondant rayon et diametre A gauche, en teinte d'accent, le cylindre du cours de rayon 5 centimetres et de hauteur 12 centimetres : son volume vaut 942 centimetres cubes. A droite, en teinte faible et en trait tirete, le cylindre errone obtenu en prenant le diametre de 10 centimetres pour le rayon : son rayon vaut alors 10 centimetres et son volume 3768 centimetres cubes, soit quatre fois plus. Les deux cylindres ont la meme hauteur et sont poses sur la meme ligne de base, a la meme echelle, si bien que seul le rayon differe. Le calcul juste est place en haut, l'erreur en dessous. le rayon est la moitié du diamètre 5 cm V = 942 cm³ rayon 5 cm 10 cm V = 3 768 cm³ diamètre pris pour rayon × 2 sur le rayon donne × 4 sur le volume
  • 1 Cylindre juste : r=5r = 5 cm, donc V=3,14×52×12=942V = 3{,}14 \times 5^2 \times 12 = 942 cm³.
  • 2 Diamètre pris pour rayon : r=10r = 10 cm, donc V=3,14×102×12=3 768V = 3{,}14 \times 10^2 \times 12 = 3\,768 cm³.
  • 3 3 768÷942=43\,768 \div 942 = 4 exactement : le rayon est au carré, donc le doubler multiplie le volume par 22=42^2 = 4.
Ce qu'il faut lire : Regarde les deux disques du dessus : celui de droite est deux fois plus large. Regarde maintenant la place qu'il occupe : il en tient quatre comme celui de gauche. C'est ce que fait le carré dans la formule.
Le cylindre du cours (r=5r = 5 cm, V=942V = 942 cm³) et celui obtenu en confondant rayon et diamètre (r=10r = 10 cm, V=3 768V = 3\,768 cm³) : quatre fois plus.
Pourquoi 1 L = 1000 cm³
Un litre est un cube de 10 cm d'arête

Le litre n'est pas une unité tombée du ciel, sans rapport avec les centimètres : c'est exactement le volume d'un cube de 11 dm d'arête, c'est-à-dire de 1010 cm. Et un tel cube se remplit avec 10×10×1010 \times 10 \times 10 petits cubes de 11 cm³.

Un cube de 1 decimetre d'arete pave par mille cubes de 1 centimetre Un cube de 1 decimetre d'arete, soit 10 centimetres, est dessine en perspective. Ses trois faces visibles sont quadrillees en carres de 1 centimetre de cote : on compte 10 carres par arete. Une couche horizontale contient donc 10 fois 10, soit 100 petits cubes, et il y a 10 couches empilees, ce qui donne 1000 petits cubes de 1 centimetre cube chacun. Le volume du grand cube vaut donc 1000 centimetres cubes, c'est-a-dire 1 decimetre cube, c'est-a-dire 1 litre. Un seul petit cube unite est mis en evidence dans le coin superieur pour montrer ce que represente 1 centimetre cube. 1 cube = 1 cm³ 10 cm 10 cm 1 dm³ = 1 L 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³
  • 1 Une couche du cube contient 10×10=10010 \times 10 = 100 petits cubes de 11 cm³.
  • 2 Il y a 1010 couches empilées, donc 100×10=1 000100 \times 10 = 1\,000 petits cubes en tout.
  • 3 D'où l'égalité 11 L =1= 1 dm³ =1 000= 1\,000 cm³, qui n'est pas une convention à retenir mais un comptage.
Ce qu'il faut lire : Compte les carrés le long d'une arête : il y en a 1010. Une couche en contient donc 100100, et il y a 1010 couches. La bouteille d'un litre de ta cuisine tient exactement dans ce cube.
Le cube de 11 dm d'arête pavé par 1 0001\,000 cubes de 11 cm³ : c'est la définition du litre.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la formule du cylindre utilise le rayon, et un énoncé donne souvent le diamètre.

✅ La suggestion

Avec un diamètre de 1010 cm, le rayon vaut 55 cm : V=π×52×hV = \pi \times 5^2 \times h, et non π×102×h\pi \times 10^2 \times h.

L'oubli ne double pas le volume, il le quadruple, car le rayon est au carré.

💡 À retenir

  • Volume = aire de la base × hauteur (pour tout prisme et cylindre).
  • Cylindre : utiliser le RAYON (pas le diamètre) dans πr2h\pi r^2 h.
  • 11 L =1= 1 dm³ =1000= 1000 cm³.
  • La hauteur est perpendiculaire aux bases (pas un côté latéral).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'une canalisation cylindrique, d'un réservoir ou d'une citerne

Mots-clés associés : VolumePrismeCylindreAire de baseHauteurLitre
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