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Statistiques descriptives

Moyenne, étendue, effectifs, fréquences

Dans un groupe de dix personnes, neuf gagnent 1010 € par jour et la dixième 100100 €. Le revenu moyen est donc de 1919 € par jour. Cette phrase est-elle honnête ?

Le calcul est exact : 1919 € est bien la moyenne. Mais personne dans ce groupe ne gagne 1919 € — neuf gagnent bien moins, une gagne bien plus. Un nombre parfaitement juste peut donc donner une idée fausse de ce qu'il résume.

Les statistiques résument une série de données par quelques indicateurs clés.

La moyenne donne une valeur « typique », mais une seule valeur extrême suffit à la tirer loin de presque toutes les données — c'est ce que montre l'exemple ci-dessus.

L'étendue mesure la dispersion (différence max − min) mais ne dit rien sur la répartition des valeurs entre les deux extrêmes.

Pour calculer une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par son effectif (ou coefficient), sommer, diviser par l'effectif total. Ne pas faire la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs !

📖 Vocabulaire clé

Moyenne : Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs : xˉ=∑xin\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}.
Étendue : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série : e=xmax⁡−xmin⁡e = x_{\max} - x_{\min}.
Effectif : Nombre de fois qu'une valeur apparaît dans la série. L'effectif total NN est la somme de tous les effectifs.
Fréquence : Proportion d'une valeur dans la série : f=niNf = \dfrac{n_i}{N} (entre 0 et 1) ou ×100\times 100 pour un pourcentage.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Organiser les données dans un tableau : une ligne pour les valeurs, une ligne pour les effectifs.
  2. 2 Calculer la moyenne : xˉ=somme de toutes les valeursnombre de valeurs=∑xi⋅ni∑ni\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}.
  3. 3 Calculer l'étendue : e=xmax⁡−xmin⁡e = x_{\max} - x_{\min}.
  4. 4 Calculer les fréquences : fi=niN×100%f_i = \dfrac{n_i}{N} \times 100\%.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une classe, 44 élèves ont 88/20, 66 ont 1212/20 et 55 ont 1616/20. Calcule la moyenne.
Démarche :
  1. Effectif total : N=4+6+5=15N = 4 + 6 + 5 = 15.
  2. Somme pondérée : 4×8+6×12+5×16=32+72+80=1844 \times 8 + 6 \times 12 + 5 \times 16 = 32 + 72 + 80 = 184.
  3. Moyenne : xˉ=18415≈12,27\bar{x} = \dfrac{184}{15} \approx 12{,}27.
Réponse : xˉ≈12,27\bar{x} \approx 12{,}27

📐 Formules clés

xˉ=∑xi⋅niN\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N} (moyenne pondérée)
Étendue : e=xmax⁡−xmin⁡e = x_{\max} - x_{\min}
Fréquence : fi=niNf_i = \dfrac{n_i}{N} (entre 00 et 11) ou niN×100\dfrac{n_i}{N} \times 100 (en %)

🎨 Illustrations

Série statistique
Notes de la classe et moyenne

Diagramme en bâtons de la série 7,9,12,14,14,15,16,8,11,107, 9, 12, 14, 14, 15, 16, 8, 11, 10 du problème du cours, classée par ordre croissant, avec la moyenne xˉ≈11,6\bar{x} \approx 11{,}6 tracée en pointillé.

Diagramme en batons des notes de la classe Diagramme en batons des dix notes 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 14, 15, 16 classees par ordre croissant, avec une ligne pointillee marquant la moyenne 11,6. Note /20 0 5 10 15 20 7 8 9 10 11 12 14 14 15 16 moyenne ≈ 11,6 Élèves classés par note croissante
  • 1 Moyenne : xˉ=7+9+12+14+14+15+16+8+11+1010=11610=11,6\bar{x} = \dfrac{7+9+12+14+14+15+16+8+11+10}{10} = \dfrac{116}{10} = 11{,}6.
  • 2 Étendue : 16−7=916 - 7 = 9.
  • 3 Les 55 bâtons foncés (12,14,14,15,1612, 14, 14, 15, 16) correspondent aux notes ≥xˉ\geq \bar{x} : ce sont les 55 élèves au-dessus de la moyenne, comme calculé dans le problème du cours.
  • 4 Les 55 bâtons clairs (7,8,9,10,117, 8, 9, 10, 11) correspondent aux notes <xˉ< \bar{x}.
Ce qu'il faut lire : Ce qu'il faut lire : la moyenne (11,611{,}6) ne partage pas les bâtons en deux groupes de tailles visuellement égales, car les notes ne sont pas réparties symétriquement autour d'elle — un exemple concret du piège du cours : la moyenne peut être « tirée » par la répartition réelle des valeurs.
Diagramme en bâtons de la série de notes du problème du cours (xˉ=11,6\bar{x} = 11{,}6, recalculée indépendamment à partir des 1010 valeurs brutes).
Une seule valeur suffit
La moyenne se laisse emporter par un extrême

Dans cette série, neuf valeurs sur dix valent 1010 ou moins. La moyenne, elle, vaut 18,918{,}9 : elle est plus grande que presque toutes les données qu'elle prétend résumer. Une seule valeur extrême a suffi.

Une serie de dix valeurs dont une extreme, et sa moyenne Dix batons representent dix valeurs : un baton de 9 puis huit batons de 10, tous courts et de meme hauteur, et enfin un dixieme baton de 100, beaucoup plus haut que les autres. Un trait horizontal marque la moyenne de la serie, qui vaut 18 virgule 9. Ce trait passe nettement au-dessus des neuf premiers batons, alors qu'ils representent la quasi-totalite des donnees. Un second trait, en tirets, marque la moyenne des neuf premieres valeurs seulement, qui vaut 9 virgule 89 et passe, elle, au niveau des batons. La comparaison montre qu'une seule valeur extreme deplace la moyenne de 9 virgule 89 a 18 virgule 9. 100 échelle coupée 18,9 9,89 neuf valeurs à 10 ou moins la moyenne passe au-dessus de presque toutes les données
  • 1 Série : 99, puis huit fois 1010, puis 100100. Somme =189= 189, donc moyenne =189÷10=18,9= 189 \div 10 = 18{,}9.
  • 2 Sans la valeur extrême, la moyenne des neuf premières vaut 89÷9≈9,8989 \div 9 \approx 9{,}89 : elle décrit bien la série.
  • 3 Une seule donnée sur dix a donc doublé la moyenne. C'est pourquoi on ne commente jamais une moyenne sans avoir regardé les valeurs elles-mêmes.
Ce qu'il faut lire : Repère le trait plein de la moyenne, puis compare-le à la hauteur des bâtons : il les dépasse tous sauf un. Une moyenne qui ne ressemble à aucune donnée est un signal — cherche la valeur extrême qui la tire.
Une série de dix valeurs dont neuf à 1010 ou moins : la moyenne vaut 18,918{,}9 à cause de la seule valeur 100100, contre 9,899{,}89 sans elle.
Pondérer, pas moyenner
La moyenne de deux groupes n'est pas la moyenne des deux moyennes

Un petit groupe à 88 et un grand groupe à 1616 : la moyenne de l'ensemble n'est pas 1212. Elle est tirée vers le grand groupe, parce que chaque élève compte pour un, et qu'il y en a bien plus d'un côté que de l'autre.

Deux groupes d'effectifs differents et la moyenne de l'ensemble Un groupe de 5 eleves ayant obtenu 8 sur 20 est represente par 5 pastilles, et un groupe de 25 eleves ayant obtenu 16 sur 20 est represente par 25 pastilles de meme taille. Une regle graduee de 8 a 16 est tracee sous les deux groupes. La moyenne de l'ensemble, qui vaut 14 virgule 67, est marquee par un trait plein : elle se situe nettement plus pres de 16 que de 8, car le groupe a 16 est cinq fois plus nombreux. La moyenne des deux moyennes, qui vaudrait 12, est marquee par un trait tirete a mi-chemin : c'est la reponse erronee, et le dessin montre qu'elle ne correspond a rien. 5 élèves à 8 25 élèves à 16 8 16 14,67 la vraie moyenne 12 la réponse fausse la moyenne penche du côté du groupe le plus nombreux
  • 1 Total des points : 5×8+25×16=40+400=4405 \times 8 + 25 \times 16 = 40 + 400 = 440.
  • 2 Nombre d'élèves : 5+25=305 + 25 = 30, donc moyenne =440÷30≈14,67= 440 \div 30 \approx 14{,}67.
  • 3 La moyenne des deux moyennes donnerait 8+162=12\dfrac{8 + 16}{2} = 12, ce qui reviendrait à traiter 55 élèves et 2525 élèves comme s'ils étaient aussi nombreux.
Ce qu'il faut lire : Compare le nombre de pastilles des deux groupes, puis regarde où tombe le trait plein : il est bien plus près de 1616 que de 88. La moyenne se calcule toujours sur les individus, jamais sur les groupes.
55 élèves à 88 et 2525 élèves à 1616 : la moyenne de l'ensemble vaut 14,6714{,}67, et non 1212 comme le donnerait la moyenne des deux moyennes.
Ce que l'étendue ignore
Deux séries de même étendue, très différentes

Ces deux séries ont le même minimum, le même maximum, donc la même étendue. Elles n'ont pourtant rien à voir : l'une est groupée, l'autre étalée. L'étendue ne regarde que les deux bouts, jamais ce qu'il y a entre.

Deux series de meme etendue mais de repartitions differentes Deux axes gradues identiques, de 4 a 16, sont traces l'un au-dessus de l'autre. Sur le premier, les valeurs sont groupees autour de 10, avec un seul point isole tout a gauche a 4 et un seul tout a droite a 16. Sur le second, les valeurs sont reparties regulierement de 4 jusqu'a 16. Les deux series ont donc le meme minimum, le meme maximum et la meme etendue de 12, alors que leurs repartitions n'ont rien de comparable. Une accolade tracee sous chaque axe indique la meme etendue dans les deux cas. série groupée série étalée 4 16 4 16 même étendue : 16 − 4 = 12
  • 1 Les deux séries ont pour minimum 44 et pour maximum 1616 : leur étendue vaut 16−4=1216 - 4 = 12 dans les deux cas.
  • 2 La première est concentrée autour de 1010, avec deux valeurs isolées aux extrémités ; la seconde est régulièrement répartie.
  • 3 L'étendue mesure la largeur de la série, jamais la façon dont les valeurs s'y répartissent. Elle se lit sur deux valeurs et ignore toutes les autres.
Ce qu'il faut lire : Cache mentalement les deux points des extrémités : les deux séries deviennent alors très différentes. C'est exactement ce que l'étendue ne voit pas, et pourquoi on la donne toujours avec la moyenne, jamais seule.
Deux séries de même minimum (44), même maximum (1616) et donc même étendue (1212), mais de répartitions très différentes.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

quand des notes ont des effectifs (ou des coefficients) différents, on ne fait pas simplement la moyenne des notes.

55 élèves à 88 et 2525 élèves à 1616 : la moyenne n'est pas 8+162=12\dfrac{8 + 16}{2} = 12, mais 5×8+25×1630=44030≈14,67\dfrac{5 \times 8 + 25 \times 16}{30} = \dfrac{440}{30} \approx 14{,}67.

Chaque note compte autant de fois qu'il y a d'élèves qui l'ont obtenue.

💡 À retenir

  • Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs (attention aux coefficients !).
  • L'étendue ne mesure que la « largeur » de la série, pas sa répartition.
  • La moyenne n'est pas forcément une valeur présente dans la série.
  • Fréquence en % = effectif de la valeur ÷ effectif total × 100.
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