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Statistiques descriptives

Moyenne, étendue, effectifs, fréquences

Les statistiques résument une série de données par quelques indicateurs clés. La moyenne donne la valeur « typique » mais peut être trompée par des valeurs extrêmes.

Exemple : si $9$ élèves ont $10$ /20 et $1$ élève a $100$ /20 (erreur), la moyenne passe à $19$ — complètement faussée. C'est pourquoi la médiane (valeur du milieu) est parfois plus représentative.

L'étendue mesure la dispersion (différence max − min) mais ne dit rien sur la répartition des valeurs entre les deux extrêmes.

Pour calculer une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par son effectif (ou coefficient), sommer, diviser par l'effectif total. Ne pas faire la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs !

📖 Vocabulaire clé

Moyenne : Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs :

\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}

Étendue : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :

e = x_{\max} - x_{\min}

Effectif : Nombre de fois qu'une valeur apparaît dans la série. L'effectif total

N

est la somme de tous les effectifs.

Fréquence : Proportion d'une valeur dans la série :

f = \dfrac{n_i}{N}

(entre 0 et 1) ou

\times 100

pour un pourcentage.

📋 Méthode en 4 étapes

1 Organiser les données dans un tableau (valeurs, effectifs, effectifs cumulés).
2 Calculer la moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}$ .
3 Calculer l'étendue : $e = x_{\max} - x_{\min}$ .
4 Calculer les fréquences : $f_i = \dfrac{n_i}{N} \times 100\%$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans une classe,

4

élèves ont

8

/20,

6

ont

12

/20 et

5

ont

16

/20. Calcule la moyenne.

Démarche :

Effectif total : $N = 4 + 6 + 5 = 15$ .
Somme pondérée : $4 \times 8 + 6 \times 12 + 5 \times 16 = 32 + 72 + 80 = 184$ .
Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{184}{15} \approx 12{,}27$ .

Réponse :

\bar{x} \approx 12{,}27

📐 Formules clés

\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N}

(moyenne pondérée)

Étendue :

e = x_{\max} - x_{\min}

Fréquence :

f_i = \dfrac{n_i}{N}

(entre

0

1

) ou

\dfrac{n_i}{N} \times 100

(en %)

🎨 Illustration

Série statistique

Notes de la classe et moyenne

Diagramme en bâtons de la série $7, 9, 12, 14, 14, 15, 16, 8, 11, 10$ du problème du cours, classée par ordre croissant, avec la moyenne $\bar{x} \approx 11{,}6$ tracée en pointillé.

1 Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{7+9+12+14+14+15+16+8+11+10}{10} = \dfrac{116}{10} = 11{,}6$ .
2 Étendue : $16 - 7 = 9$ .
3 Les $5$ bâtons foncés ( $12, 14, 14, 15, 16$ ) correspondent aux notes $\geq \bar{x}$ : ce sont les $5$ élèves au-dessus de la moyenne, comme calculé dans le problème du cours.
4 Les $5$ bâtons clairs ( $7, 8, 9, 10, 11$ ) correspondent aux notes $< \bar{x}$ .

Ce qu'il faut lire : Ce qu'il faut lire : la moyenne (

11{,}6

) ne partage pas les bâtons en deux groupes de tailles visuellement égales, car les notes ne sont pas réparties symétriquement autour d'elle — un exemple concret du piège du cours : la moyenne peut être « tirée » par la répartition réelle des valeurs.

Diagramme en bâtons de la série de notes du problème du cours (

\bar{x} = 11{,}6

, recalculée indépendamment à partir des

10

valeurs brutes).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la moyenne n'est pas forcément une valeur de la série !

✅ La suggestion

Si les notes sont $4, 8, 12$ , la moyenne est $8$ — qui est bien une valeur. Mais avec $3, 8, 12$ , la moyenne est $\frac{23}{3} \approx 7{,}67$ , valeur absente de la série.

💡 À retenir

Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs (attention aux coefficients !).
L'étendue ne mesure que la « largeur » de la série, pas sa répartition.
La moyenne n'est pas forcément une valeur présente dans la série.
Fréquence en % = effectif de la valeur ÷ effectif total × 100.

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