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Probabilités (introduction)

Expériences aléatoires, univers, probabilité

La probabilité quantifie l'incertitude d'un événement sur une échelle de $0$ (impossible) à $1$ (certain).

Équiprobabilité : quand tous les résultats ont la même chance, $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ . Attention au raisonnement intuitif : « il y a deux issues (gagner ou perdre), donc $P = \dfrac{1}{2}$ » est faux si les issues ne sont pas équiprobables.

Le sophisme du joueur : après 5 piles de suite à pile-ou-face, la probabilité d'obtenir face reste $\dfrac{1}{2}$ — la pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer est indépendant.

L'événement contraire $\bar{A}$ (« $A$ ne se réalise pas ») vérifie $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — souvent plus simple à calculer que $P(A)$ directement.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer de dé, tirage au sort, etc.).

Univers ( $\Omega$ ) : Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Ex : pour un dé,

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Événement : Sous-ensemble de l'univers. Ex : « obtenir un nombre pair » =

\{2, 4, 6\}

Événement contraire : Si

A

est un événement,

\bar{A}

est l'événement «

A

ne se réalise pas ».

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

📋 Méthode en 3 étapes

1 Décrire l'univers $\Omega$ : ensemble de tous les résultats possibles.
2 Identifier l'événement $A$ : sous-ensemble des résultats favorables.
3 Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : On tire une carte au hasard dans un jeu de

32

cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?

Démarche :

Univers : $32$ cartes (équiprobabilité).
Cas favorables : $8$ cœurs (il y a $8$ cartes par couleur dans un jeu de $32$ ).
$P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ .

Réponse :

P = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

📐 Formules clés

0 \leq P(A) \leq 1

P(\Omega) = 1

(événement certain)

P(\emptyset) = 0

(événement impossible)

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

(événement contraire)

Équiprobabilité :

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

🎨 Illustration

Repère visuel

De l'impossible au certain

La probabilité d'un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$ . Cette règle graduée reprend les trois repères numériques du cours ( $0$ , $0{,}5$ , $1$ ) et les complète avec le vocabulaire courant utilisé pour décrire une chance intermédiaire.

1 Impossible ( $P=0$ ) : obtenir $7$ avec un dé à $6$ faces, comme dans le tableau du cours — cet événement ne se produit jamais.
2 Peu probable : les cas favorables sont nettement minoritaires (ex. tirer une bille rouge dans un sac qui en compte $3$ sur $10$ ).
3 Équiprobable ( $P=0{,}5$ ) : pile ou face — les deux issues sont « aussi probables l'une que l'autre », comme l'indique le tableau du cours.
4 Probable : les cas favorables sont nettement majoritaires (ex. tirer une bille verte dans ce même sac, qui en compte $5$ sur $10$ ).
5 Certain ( $P=1$ ) : obtenir un nombre $\leq 6$ avec un dé à $6$ faces, comme dans le tableau du cours — cet événement se produit à chaque lancer.

Ce qu'il faut lire : Les repères « peu probable » et « probable » n'ont pas de seuil chiffré officiel — ce sont des mots du langage courant. Un calcul de

P(A)

doit toujours donner une fraction ou un nombre exact entre

0

1

, jamais une simple impression.

Échelle qualitative superposée aux trois repères numériques du cours :

0

(impossible),

0{,}5

(une chance sur deux),

1

(certain).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$P(A) = \frac{1}{2}$ ne signifie pas qu'un événement arrive forcément une fois sur deux dans un petit nombre d'essais.

✅ La suggestion

La loi des grands nombres dit que la fréquence tend vers la probabilité quand le nombre d'essais est grand.

💡 À retenir

Une probabilité est toujours entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).
Équiprobabilité : $P = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Les lancers successifs sont indépendants (la pièce n'a pas de mémoire).

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