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Probabilités (introduction)

Expériences aléatoires, univers, probabilité

À une fête foraine, une roue est partagée en huit secteurs identiques, dont un seul fait gagner. Tu joues une fois : ou tu gagnes, ou tu perds. Y a-t-il une chance sur deux ?

Le raisonnement semble solide — deux issues, donc une chance sur deux — et il est pourtant faux. Il suffit de regarder la roue : le secteur gagnant occupe un huitième du tour, pas la moitié.

Compter les issues ne suffit donc jamais. Encore faut-il savoir si elles ont la même chance de se produire, et c'est là que tout se joue.

La probabilité quantifie l'incertitude d'un événement sur une échelle de 00 (impossible) à 11 (certain).

Équiprobabilité : quand tous les résultats ont la même chance, P(A)=cas favorablescas possiblesP(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}. Attention au raisonnement intuitif : « il y a deux issues (gagner ou perdre), donc P=12P = \dfrac{1}{2} » est faux si les issues ne sont pas équiprobables.

Le sophisme du joueur : après 5 piles de suite à pile-ou-face, la probabilité d'obtenir face reste 12\dfrac{1}{2} — la pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer est indépendant.

L'événement contraire Aˉ\bar{A} (« AA ne se réalise pas ») vérifie P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) — souvent plus simple à calculer que P(A)P(A) directement.

📖 Vocabulaire clé

Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer de dé, tirage au sort, etc.).
Univers (Ω\Omega) : Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Ex : pour un dé, Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.
Événement : Sous-ensemble de l'univers. Ex : « obtenir un nombre pair » = {2,4,6}\{2, 4, 6\}.
Événement contraire : Si AA est un événement, Aˉ\bar{A} est l'événement « AA ne se réalise pas ». P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Décrire l'univers Ω\Omega : ensemble de tous les résultats possibles.
  2. 2 Identifier l'événement AA : sous-ensemble des résultats favorables.
  3. 3 Équiprobabilité : P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas possiblesP(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.

✅ Exemple résolu

Énoncé : On tire une carte au hasard dans un jeu de 3232 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?
Démarche :
  1. Univers : 3232 cartes (équiprobabilité).
  2. Cas favorables : 88 cœurs (il y a 88 cartes par couleur dans un jeu de 3232).
  3. P(cœur)=832=14=0,25P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25.
Réponse : P=14=0,25P = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

📐 Formules clés

0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1
P(Ω)=1P(\Omega) = 1 (événement certain)
P(∅)=0P(\emptyset) = 0 (événement impossible)
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) (événement contraire)
Équiprobabilité : P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

🎨 Illustrations

Repère visuel
De l'impossible au certain

La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 00 et 11. Cette règle graduée reprend les trois repères numériques du cours (00, 0,50{,}5, 11) et les complète avec le vocabulaire courant utilisé pour décrire une chance intermédiaire.

Echelle des probabilites de 0 a 1 Regle graduee horizontale de 0 (impossible) a 1 (certain), avec cinq reperes qualitatifs : impossible, peu probable, une chance sur deux, probable, certain, places respectivement a 0, 0,25, 0,5, 0,75 et 1. 0 0,25 0,5 0,75 1 impossible peu probable une chance sur deux probable certain moins probable plus probable
  • 1 Impossible (P=0P=0) : obtenir 77 avec un dé à 66 faces, comme dans le tableau du cours — cet événement ne se produit jamais.
  • 2 Peu probable : les cas favorables sont nettement minoritaires (ex. tirer une bille rouge dans un sac qui en compte 33 sur 1010).
  • 3 Équiprobable (P=0,5P=0{,}5) : pile ou face — les deux issues sont « aussi probables l'une que l'autre », comme l'indique le tableau du cours.
  • 4 Probable : les cas favorables sont nettement majoritaires (ex. tirer une bille verte dans ce même sac, qui en compte 55 sur 1010).
  • 5 Certain (P=1P=1) : obtenir un nombre ≤6\leq 6 avec un dé à 66 faces, comme dans le tableau du cours — cet événement se produit à chaque lancer.
Ce qu'il faut lire : Les repères « peu probable » et « probable » n'ont pas de seuil chiffré officiel — ce sont des mots du langage courant. Un calcul de P(A)P(A) doit toujours donner une fraction ou un nombre exact entre 00 et 11, jamais une simple impression.
Échelle qualitative superposée aux trois repères numériques du cours : 00 (impossible), 0,50{,}5 (une chance sur deux), 11 (certain).
Deux issues ne font pas deux chances égales
Gagner ou perdre, mais pas une chance sur deux

À cette roue, il n'y a que deux issues : gagner ou perdre. Beaucoup en concluent une chance sur deux. Il suffit de regarder la roue : le secteur gagnant occupe un huitième du tour, donc P=0,125P = 0{,}125. Compter les issues ne suffit jamais.

Une roue de huit secteurs egaux dont un seul est gagnant Une roue est partagee en huit secteurs de 45 degres chacun, tous de meme taille. Un seul secteur est teinte : c'est le secteur gagnant. Les sept autres sont laisses clairs. Il n'y a donc que deux issues possibles, gagner ou perdre, mais elles ne sont pas equiprobables : la probabilite de gagner vaut un huitieme, soit 0 virgule 125, et celle de perdre sept huitiemes, soit 0 virgule 875. A droite de la roue, une barre partagee dans les memes proportions rappelle que les deux issues ne se partagent pas le tour a parts egales. gagné 8 secteurs égaux 1 7 secteurs P(gagner) = 1/8 = 0,125 P(perdre) = 7/8 = 0,875 somme = 1 deux issues, mais pas deux chances égales
  • 1 La roue compte 88 secteurs de même taille : ce sont eux les issues équiprobables, pas « gagner » et « perdre ».
  • 2 P(gagner)=18=0,125P(\text{gagner}) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125 et P(perdre)=78=0,875P(\text{perdre}) = \dfrac{7}{8} = 0{,}875.
  • 3 Leur somme vaut 11, comme toujours : il se passe forcément quelque chose. Mais elles ne valent 0,50{,}5 chacune que si les deux issues sont réellement également possibles.
Ce qu'il faut lire : Avant de compter les issues, demande-toi si elles sont également possibles. Ici la question à se poser n'est pas « combien de résultats ? » mais « combien de secteurs, et combien me font gagner ? ».
Une roue de 88 secteurs égaux dont un seul gagnant : deux issues possibles, mais P(gagner)=0,125P(\text{gagner}) = 0{,}125 et non 0,50{,}5.
Une probabilité est une part
Pourquoi une probabilité ne dépasse jamais 11

Une probabilité n'est pas un nombre abstrait : c'est la part du tout qu'occupent les cas favorables. Cette lecture explique d'un coup deux règles que l'on retient d'ordinaire séparément : elle est toujours entre 00 et 11, et les probabilités de toutes les issues font exactement 11.

Une barre unite partagee entre trois issues Une barre horizontale represente la totalite des cas possibles, soit 10 boules dans un sac. Elle est partagee en trois portions : 5 dixiemes pour les boules rouges, 3 dixiemes pour les bleues et 2 dixiemes pour les vertes. Les trois portions sont teintees differemment et mises bout a bout sans trou ni chevauchement, si bien qu'elles remplissent exactement la barre. Sous la barre, une graduation de 0 a 1 permet de lire chaque probabilite. La somme des trois vaut 1, ce qui est signale, et aucune portion ne peut depasser la barre entiere. rouge bleue verte 0,5 0,3 0,2 0 0,5 1 10 boules dans un sac : 5 rouges, 3 bleues, 2 vertes 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1 les trois parts remplissent la barre, sans trou ni dépassement
  • 1 P(rouge)=510=0,5P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5, P(bleue)=310=0,3P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3, P(verte)=210=0,2P(\text{verte}) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2.
  • 2 Les trois parts mises bout à bout remplissent exactement la barre : 0,5+0,3+0,2=10{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1.
  • 3 Une probabilité supérieure à 11 serait une part plus grande que le tout : c'est impossible, et c'est le premier contrôle à faire sur un résultat.
Ce qu'il faut lire : Lis chaque portion sur la graduation du bas : tu obtiens directement sa probabilité. Si tes probabilités ne font pas 11 en tout, c'est qu'il manque une issue ou qu'une part a été comptée deux fois.
La barre unité partagée entre trois issues (0,50{,}5, 0,30{,}3 et 0,20{,}2) : les probabilités remplissent exactement le tout.
Le hasard n'a pas de mémoire
Cinq piles de suite ne changent rien au sixième lancer

Après cinq « pile » d'affilée, beaucoup pensent que « face est dû ». La pièce, elle, ne se souvient de rien : au sixième lancer, la probabilité reste 0,50{,}5, exactement comme au premier.

Cinq lancers de piece deja tombes sur pile et le lancer suivant Cinq pieces alignees montrent toutes le resultat pile : ce sont les lancers deja effectues. Une sixieme piece, tracee en trait tirete et laissee vide, represente le lancer a venir. Sous elle, deux probabilites egales de 0 virgule 5 sont indiquees pour pile et pour face, ce qui montre que les cinq resultats precedents n'ont aucune influence sur le suivant. Une barre partagee en deux moities strictement egales illustre cette equiprobabilite. cinq lancers déjà faits pile pile pile pile pile ? le suivant pile 0,5 face 0,5 la pièce ne se souvient pas des lancers précédents
  • 1 Chaque lancer est indépendant des précédents : la pièce n'a ni mémoire ni compteur.
  • 2 Au sixième lancer, P(pile)=P(face)=0,5P(\text{pile}) = P(\text{face}) = 0{,}5, comme au premier.
  • 3 Ce qui est rare, c'est d'obtenir cinq piles d'affilée — et cette rareté-là se juge avant de lancer, pas une fois les cinq résultats connus.
Ce qu'il faut lire : Regarde la sixième pièce : elle est identique à celles du départ, rien ne la distingue. Le « c'est le tour de face » est une intuition très répandue, mais aucun mécanisme ne la soutient.
Après cinq « pile », le lancer suivant reste équiprobable : P(pile)=P(face)=0,5P(\text{pile}) = P(\text{face}) = 0{,}5.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

P(A)=12P(A) = \frac{1}{2} ne signifie pas qu'un événement arrive forcément une fois sur deux dans un petit nombre d'essais.

✅ La suggestion

La loi des grands nombres dit que la fréquence tend vers la probabilité quand le nombre d'essais est grand.

💡 À retenir

  • Une probabilité est toujours entre 00 (impossible) et 11 (certain).
  • Équiprobabilité : P=cas favorablescas possiblesP = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.
  • Événement contraire : P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • Les lancers successifs sont indépendants (la pièce n'a pas de mémoire).
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