Nombres relatifs

Addition, soustraction, repérage

🔬 Application physique-chimie : Coordonnées de vecteurs, températures, altitudes, potentiel électrique

Les nombres relatifs étendent la droite numérique dans les deux sens. Un nombre négatif n'est pas « moins que zéro » de façon mystérieuse : c'est une direction opposée, un manque, un écart vers le bas.

En physique, le signe porte une information physique : $-5$ N signifie une force vers la gauche si l'on a choisi la droite comme sens positif. $-120$ m signifie 120 m sous la surface de la mer.

Règle d'or de la soustraction : $a - b = a + (-b)$ — soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ : soustraire un négatif augmente la valeur.

La valeur absolue $|a|$ mesure la distance à zéro, indépendamment du signe : $|-7| = |+7| = 7$ . La distance entre deux points $A$ et $B$ sur une droite graduée vaut $|x_B - x_A|$ .

📖 Vocabulaire clé

Nombre relatif : Nombre muni d'un signe : positif (

+

) ou négatif (

-

). Zéro n'est ni positif ni négatif.

Opposé : L'opposé de

a

est

-a

. Leur somme est nulle :

a + (-a) = 0

. L'opposé de

-5

est

+5

Valeur absolue : Distance d'un nombre à zéro, notée

|a|

. Toujours positive :

|-7| = |+7| = 7

Droite graduée : Droite munie d'une origine

O

, d'un sens positif et d'une unité. Chaque point correspond à un unique nombre relatif.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Addition de relatifs : si même signe → additionner les valeurs absolues et garder le signe. Si signes opposés → soustraire les valeurs absolues et prendre le signe du plus grand.
2 Soustraction : transformer en addition de l'opposé. $a - b = a + (-b)$ . Ex : $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ .
3 Valeur absolue $|a|$ = distance à zéro, toujours positive. $|-7| = 7$ , $|+7| = 7$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer

(-8) - (-3) + (+5)

Démarche :

Transformer la soustraction : $(-8) - (-3) = (-8) + (+3)$ .
Calculer étape par étape : $(-8) + (+3) = -5$ .
Puis : $-5 + (+5) = 0$ .

Réponse :

0

📐 Formules clés

a - b = a + (-b)

-(-a) = a

|a| \geq 0

|-a| = |a|

|a - b|

= distance entre

a

b

sur la droite graduée

🎨 Illustration

Droite graduée

Suivre des déplacements sur une droite graduée : la profondeur d’un sous-marin

Le sous-marin part de $-120\,\text{m}$ , remonte de $45\,\text{m}$ puis redescend de $80\,\text{m}$ . Chaque déplacement est un saut sur la droite graduée : vers la droite pour une remontée, vers la gauche pour une descente.

1 Position de départ : le sous-marin est à $-120\,\text{m}$ (120 m sous la surface, repérée par 0).
2 Il remonte de $45\,\text{m}$ : $-120 + 45 = -75$ . Sur la droite, ce déplacement est un saut vers la droite (vers les valeurs plus grandes).
3 Il descend ensuite de $80\,\text{m}$ : $-75 - 80 = -155$ . Ce saut se lit vers la gauche (vers les valeurs plus petites).
4 Déplacement net entre le départ et l’arrivée : $-155 - (-120) = -35\,\text{m}$ (le sous-marin termine 35 m plus bas qu’au départ).

Ce qu'il faut lire : Sur une droite graduée, additionner un nombre positif fait avancer vers la droite ; soustraire un nombre positif (ou additionner un négatif) fait reculer vers la gauche.

Droite graduée horizontale représentant la profondeur d’un sous-marin : départ à

-120\,\text{m}

, remontée de

45\,\text{m}

jusqu’à

-75\,\text{m}

, puis descente de

80\,\text{m}

jusqu’à

-155\,\text{m}

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le signe $-$ devant une parenthèse change TOUS les signes à l'intérieur : $-(a - b) = -a + b$ .

✅ La suggestion

Piège fréquent : écrire $-(3 - 5) = -3 - 5$ en oubliant de changer le second signe. La bonne méthode donne $-3 + 5 = 2$ .

💡 À retenir

Soustraire revient à additionner l'opposé : $a - b = a + (-b)$ .
Même signe → on additionne les valeurs absolues. Signes opposés → on soustrait.
La valeur absolue donne la distance à zéro (toujours positive).
$-(a - b) = -a + b$ : le signe $-$ change TOUS les signes dans la parenthèse.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Coordonnées de vecteurs, températures, altitudes, potentiel électrique

Mots-clés associés : PositifNégatifValeur absolueOpposéDroite graduée

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