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±

Nombres relatifs

Addition, soustraction, repérage

🔬 Application physique-chimie : Coordonnées de vecteurs, températures, altitudes, potentiel électrique
Ce matin il fait −4-4 °C ; cet après-midi, 77 °C. De combien la température a-t-elle monté ?

La réponse n'est ni 33 ni 77 : il faut d'abord remonter les 44 degrés qui séparent −4-4 de zéro, puis les 77 suivants — soit 1111 degrés en tout. Aucun outil de sixième ne donne ce résultat, parce que les nombres s'y arrêtaient à zéro. Il en faut de nouveaux.

Les nombres relatifs étendent la droite numérique dans les deux sens. Un nombre négatif n'est pas « moins que zéro » de façon mystérieuse : c'est une direction opposée, un manque, un écart vers le bas.

En physique, le signe porte une information physique : −5-5 N signifie une force vers la gauche si l'on a choisi la droite comme sens positif. −120-120 m signifie 120 m sous la surface de la mer.

Règle d'or de la soustraction : a−b=a+(−b)a - b = a + (-b) — soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi 3−(−5)=3+5=83 - (-5) = 3 + 5 = 8 : soustraire un négatif augmente la valeur.

La valeur absolue ∣a∣|a| mesure la distance à zéro, indépendamment du signe : ∣−7∣=∣+7∣=7|-7| = |+7| = 7. La distance entre deux points AA et BB sur une droite graduée vaut ∣xB−xA∣|x_B - x_A|.

📖 Vocabulaire clé

Nombre relatif : Nombre muni d'un signe : positif (++) ou négatif (−-). Zéro n'est ni positif ni négatif.
Opposé : L'opposé de aa est −a-a. Leur somme est nulle : a+(−a)=0a + (-a) = 0. L'opposé de −5-5 est +5+5.
Valeur absolue : Distance d'un nombre à zéro, notée ∣a∣|a|. Toujours positive : ∣−7∣=∣+7∣=7|-7| = |+7| = 7.
Droite graduée : Droite munie d'une origine OO, d'un sens positif et d'une unité. Chaque point correspond à un unique nombre relatif.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Addition de relatifs : si même signe → additionner les valeurs absolues et garder le signe. Si signes opposés → soustraire les valeurs absolues et prendre le signe du plus grand.
  2. 2 Soustraction : transformer en addition de l'opposé. a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Ex : 3−(−5)=3+5=83 - (-5) = 3 + 5 = 8.
  3. 3 Valeur absolue ∣a∣|a| = distance à zéro, toujours positive. ∣−7∣=7|-7| = 7, ∣+7∣=7|+7| = 7.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer (−8)−(−3)+(+5)(-8) - (-3) + (+5).
Démarche :
  1. Transformer la soustraction : (−8)−(−3)=(−8)+(+3)(-8) - (-3) = (-8) + (+3).
  2. Calculer étape par étape : (−8)+(+3)=−5(-8) + (+3) = -5.
  3. Puis : −5+(+5)=0-5 + (+5) = 0.
Réponse : 00

📐 Formules clés

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
−(−a)=a-(-a) = a
∣a∣≥0|a| \geq 0 et ∣−a∣=∣a∣|-a| = |a|
∣a−b∣|a - b| = distance entre aa et bb sur la droite graduée

🎨 Illustrations

Droite graduée
Suivre des déplacements sur une droite graduée : la profondeur d’un sous-marin

Le sous-marin part de −120 m-120\,\text{m}, remonte de 45 m45\,\text{m} puis redescend de 80 m80\,\text{m}. Chaque déplacement est un saut sur la droite graduée : vers la droite pour une remontée, vers la gauche pour une descente.

Droite graduée : profondeur d'un sous-marin Droite graduée horizontale allant de moins 160 à 0. Le sous-marin part de moins 120, remonte de 45 jusqu'à moins 75, puis descend de 80 jusqu'à moins 155. Profondeur (m) -160 -140 -100 -80 -60 -40 -20 -155 -120 -75 0 +45 m (remonte) -80 m (descend)
  • 1 Position de départ : le sous-marin est à −120 m-120\,\text{m} (120 m sous la surface, repérée par 0).
  • 2 Il remonte de 45 m45\,\text{m} : −120+45=−75-120 + 45 = -75. Sur la droite, ce déplacement est un saut vers la droite (vers les valeurs plus grandes).
  • 3 Il descend ensuite de 80 m80\,\text{m} : −75−80=−155-75 - 80 = -155. Ce saut se lit vers la gauche (vers les valeurs plus petites).
  • 4 Déplacement net entre le départ et l’arrivée : −155−(−120)=−35 m-155 - (-120) = -35\,\text{m} (le sous-marin termine 35 m plus bas qu’au départ).
Ce qu'il faut lire : Sur une droite graduée, additionner un nombre positif fait avancer vers la droite ; soustraire un nombre positif (ou additionner un négatif) fait reculer vers la gauche.
Droite graduée horizontale représentant la profondeur d’un sous-marin : départ à −120 m-120\,\text{m}, remontée de 45 m45\,\text{m} jusqu’à −75 m-75\,\text{m}, puis descente de 80 m80\,\text{m} jusqu’à −155 m-155\,\text{m}.
L'ordre s'inverse
Chez les négatifs, le plus grand nombre est le plus petit

88 est plus grand que 33, mais −8-8 est plus petit que −3-3. Aucune règle à retenir : sur la droite graduée, le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et −8-8 y est bien à gauche de −3-3.

Comparaison de deux nombres positifs et de leurs opposes sur la droite graduee Une droite graduee de moins 10 a 10 est tracee. Les nombres 3 et 8 sont marques a droite de zero : 8 est plus a droite que 3, il est donc plus grand. Leurs opposes moins 3 et moins 8 sont marques a gauche de zero : moins 8 est plus a gauche que moins 3, il est donc plus petit. En passant aux opposes, l'ordre s'est donc inverse. Deux fleches, une de chaque cote, indiquent le sens de lecture : vers la droite les nombres augmentent, vers la gauche ils diminuent. 0 8 3 −8 −3 8 > 3 −8 < −3 le plus petit est toujours le plus à gauche passer aux opposés retourne la comparaison
  • 1 À droite de zéro, plus le nombre est grand, plus il est loin : 8>38 > 3.
  • 2 À gauche de zéro, c'est l'inverse : −8-8 est plus loin, donc plus bas dans l'ordre, et −8<−3-8 < -3.
  • 3 La comparaison ne se joue jamais sur le nombre sans son signe : elle se lit sur la position, et une seule règle suffit — le plus à gauche est le plus petit.
Ce qu'il faut lire : Place les deux nombres sur la droite avant de comparer, même de tête. Un thermomètre dit la même chose : −8-8 degrés est plus froid que −3-3 degrés, alors que 88 est plus chaud que 33.
Deux nombres positifs et leurs opposés sur la droite graduée : 8>38 > 3 mais −8<−3-8 < -3.
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
Retirer un négatif fait avancer vers la droite

5−(−3)5 - (-3) donne 88, et cela déroute : on soustrait, et pourtant le résultat augmente. Sur la droite, tout devient clair : soustraire, c'est parcourir le déplacement en sens inverse. Inverser un déplacement vers la gauche, c'est aller vers la droite.

Retirer moins trois revient a avancer de trois vers la droite Sur une droite graduee de 0 a 10, deux calculs sont compares. En haut, ajouter moins trois a partir de 5 : la fleche part de 5 et va vers la gauche jusqu'a 2. En bas, retirer moins trois a partir de 5 : la fleche part de 5 et va vers la droite jusqu'a 8, car retirer un deplacement revient a le parcourir en sens inverse. Les deux fleches ont exactement la meme longueur, trois unites, et ne different que par leur sens. Les deux calculs partent du meme point 5 et sont traces sur deux droites identiques. ajouter −3 : on recule 5 2 3 vers la gauche retirer −3 : on avance 5 8 3 vers la droite même longueur de trajet, sens opposé
  • 1 5+(−3)=25 + (-3) = 2 : ajouter −3-3, c'est se déplacer de 33 vers la gauche.
  • 2 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8 : retirer ce même déplacement, c'est le parcourir en sens inverse, donc vers la droite.
  • 3 Les deux flèches ont la même longueur, 33 unités : seul leur sens change. C'est tout ce que dit la règle « soustraire revient à ajouter l'opposé ».
Ce qu'il faut lire : Ne cherche pas à appliquer une règle de signes de mémoire : demande-toi dans quel sens tu te déplaces. Ajouter un négatif recule, retirer un négatif avance.
Deux déplacements de même longueur et de sens opposés : 5+(−3)=25 + (-3) = 2 et 5−(−3)=85 - (-3) = 8.
À égale distance de zéro
Deux opposés, une seule distance

−6-6 et 66 sont aussi loin de zéro l'un que l'autre : c'est ce que mesure la distance à zéro. Elle ne remplace pas le nombre, elle en oublie volontairement le signe — d'où le fait que deux nombres différents puissent partager la même.

Deux nombres opposes a egale distance de zero Sur une droite graduee, les nombres moins 6 et 6 sont places de part et d'autre de zero. Deux accolades de longueur strictement identique relient chacun d'eux a zero, ce qui montre qu'ils sont a la meme distance, six unites. Les deux nombres sont pourtant differents : l'un est negatif, l'autre positif. La distance a zero est donc la meme pour un nombre et pour son oppose, et elle vaut toujours six ici. 0 −6 6 6 unités 6 unités même distance à zéro la distance oublie le signe, elle ne le supprime pas −6 et 6 restent deux nombres différents
  • 1 −6-6 et 66 sont les opposés l'un de l'autre : leur somme vaut 00.
  • 2 Leur distance à zéro est la même, 66 : les deux accolades du dessin ont exactement la même longueur.
  • 3 Cette distance sert à mesurer un écart, jamais à comparer : −6-6 reste plus petit que 66, même si les deux sont « à 66 de zéro ».
Ce qu'il faut lire : Mesure les deux accolades avec ta règle : elles sont identiques. C'est utile pour dire de combien on s'écarte d'un repère — une température de −6-6 degrés s'écarte autant de zéro qu'une de 66 degrés, mais l'une gèle et l'autre non.
−6-6 et 66, opposés l'un de l'autre, à la même distance de zéro (66 unités).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Le signe −- devant une parenthèse change TOUS les signes à l'intérieur : −(a−b)=−a+b-(a - b) = -a + b.

✅ La suggestion

Piège fréquent : écrire −(3−5)=−3−5-(3 - 5) = -3 - 5 en oubliant de changer le second signe. La bonne méthode donne −3+5=2-3 + 5 = 2.

💡 À retenir

  • Soustraire revient à additionner l'opposé : a−b=a+(−b)a - b = a + (-b).
  • Même signe → on additionne les valeurs absolues. Signes opposés → on soustrait.
  • La valeur absolue donne la distance à zéro (toujours positive).
  • −(a−b)=−a+b-(a - b) = -a + b : le signe −- change TOUS les signes dans la parenthèse.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Coordonnées de vecteurs, températures, altitudes, potentiel électrique

Mots-clés associés : PositifNégatifValeur absolueOpposéDroite graduée
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