Matières › 📐 Mathématiques › Collège › Repérage spatial et Lecture Graphique
📊

Repérage spatial et Lecture Graphique

Repère cartésien, interpolation, extrapolation

🔬 Application physique-chimie : Suivi de croissance en SVT, relevés météo, mouvement à vitesse constante en physique-chimie
Un plant mesure 1212 cm au bout de 22 semaines et 2828 cm au bout de 66 semaines. Peux-tu estimer sa taille à 44 semaines ? Et à 5050 semaines ?

Les deux questions se ressemblent, et la même droite semble répondre aux deux. Pourtant la première estimation est raisonnable — 44 semaines tombe entre les deux mesures — tandis que la seconde annoncerait 22 mètres de haut pour une plante en pot.

Prolonger une droite est un geste facile ; savoir jusqu'où on a le droit de le faire est tout le sujet.

Un graphique traduit visuellement une relation entre deux grandeurs. L'axe horizontal (abscisse) porte la variable que l'on contrôle, l'axe vertical (ordonnée) porte ce que l'on observe.

Interpoler signifie estimer une valeur entre deux points mesurés — c'est fiable si la courbe est régulière. Extrapoler signifie prolonger au-delà des mesures — c'est risqué car une courbe linéaire dans une plage peut devenir non linéaire ailleurs.

La pente d'une droite, a=ΔyΔxa = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}, a toujours un sens concret.

Si yy est une distance parcourue et xx un temps, alors aa est une vitesse (en km/h par exemple) : le nombre de kilomètres gagnés à chaque heure qui passe.

Ne jamais lire un graphe sans vérifier les unités sur les axes et l'origine. Un graphique sans légende est inutilisable !

📖 Vocabulaire clé

Abscisse : Coordonnée horizontale d'un point dans un repère. Première valeur du couple (x;y)(x ; y).
Ordonnée : Coordonnée verticale d'un point dans un repère. Seconde valeur du couple (x;y)(x ; y).
Interpolation : Estimation d'une valeur entre deux points de mesure connus. Fiable si la courbe est régulière.
Extrapolation : Prolongation de la tendance au-delà des mesures. Moins fiable — nécessite une justification physique.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier les axes : abscisse xx (horizontal) = variable indépendante ; ordonnée yy (vertical) = variable dépendante.
  2. 2 Lire un point (x0,y0)(x_0, y_0) : partir de x0x_0 sur l'axe des x, monter verticalement jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée à gauche.
  3. 3 Interpoler / Extrapoler : interpoler = trouver une valeur entre deux points mesurés ; extrapoler = prolonger la tendance au-delà des mesures (moins fiable).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une droite passe par A(1;3)A(1 ; 3) et B(4;9)B(4 ; 9). Calcule sa pente, puis estime par interpolation l'ordonnée du point de la droite dont l'abscisse est x=2,5x = 2{,}5.
Démarche :
  1. Pente : a=9−34−1=63=2a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2 : à chaque unité d'abscisse, yy augmente de 22.
  2. x=2,5x = 2{,}5 est à mi-chemin entre xA=1x_A = 1 et xB=4x_B = 4. Par interpolation, yy est alors à mi-chemin entre yA=3y_A = 3 et yB=9y_B = 9, soit y≈6y \approx 6.
Réponse : Pente a=2a = 2 ; à x=2,5x = 2{,}5, y≈6y \approx 6 par interpolation.

📐 Formules clés

Pente d'une droite : a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

🎨 Illustrations

Repère cartésien
Lire un point, interpoler et reconnaître une pente

La droite passe par A(1;3)A(1 ; 3) et B(4;9)B(4 ; 9). On voit comment lire un point et estimer une valeur intermédiaire sur une tendance régulière.

Droite de lecture graphique dans un repère La droite relie deux points connus, avec une lecture intermédiaire par interpolation. A(1 ; 3) Interpolation : (2,5 ; 6) B(4 ; 9) x y 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10
  • 1 Le point A(1;3)A(1 ; 3) se lit en allant d’abord vers la droite jusqu’à x=1x = 1, puis vers le haut jusqu’à y=3y = 3.
  • 2 Le point intermédiaire (2,5;6)(2{,}5 ; 6) n’a pas été mesuré : on l’estime sur la droite, c’est une interpolation.
  • 3 Comme la droite monte régulièrement, la pente est positive : quand xx augmente d’une unité, yy augmente de 22.
Ce qu'il faut lire : Toujours lire l’abscisse sur l’axe horizontal puis l’ordonnée sur l’axe vertical. Le couple s’écrit dans cet ordre : (x;y)(x ; y).
Repère cartésien avec lecture d’un point connu, d’un second point et d’une valeur interpolée sur la droite reliant AA et BB.
Entre ou au-delà
Interpoler est sûr, extrapoler ne l'est pas

Entre deux mesures, prolonger la régularité observée est raisonnable : c'est interpoler. Au-delà de la dernière mesure, plus rien ne garantit qu'elle continue : c'est extrapoler. Le même trait de crayon, mais pas du tout la même confiance.

Zone d'interpolation et zone d'extrapolation autour de deux mesures Un repere porte en abscisse les semaines et en ordonnee la hauteur d'un plant en centimetres. Deux mesures sont marquees : 12 centimetres a 2 semaines et 28 centimetres a 6 semaines. Entre ces deux mesures, la droite est tracee en trait plein : c'est la zone d'interpolation, ou l'estimation est fiable, et la hauteur estimee a 4 semaines y vaut 20 centimetres. Au-dela de la derniere mesure, la droite est prolongee en trait tirete jusqu'a 20 semaines, ou elle annoncerait 84 centimetres : c'est la zone d'extrapolation, ou l'estimation n'est plus garantie, car une plante finit par ralentir sa croissance. Les deux zones sont distinguees par la nature du trait et par une etiquette chacune. semaines hauteur en cm 12 cm 28 cm 4 sem : 20 cm 20 sem : 84 cm ? interpoler entre les mesures extrapoler au-delà, sans garantie
  • 1 Les deux mesures donnent une croissance de 44 cm par semaine : 28−126−2=164=4\dfrac{28 - 12}{6 - 2} = \dfrac{16}{4} = 4.
  • 2 À 44 semaines, on est entre les deux mesures : l'estimation de 2020 cm est fiable.
  • 3 À 2020 semaines, la droite annoncerait 8484 cm, soit près d'un mètre. Aucune mesure ne le confirme, et une plante ralentit en vieillissant : l'extrapolation est ici franchement fausse.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux points mesurés : ce sont les seuls faits. Entre eux, tu peux lire la droite en confiance. Au-delà, tu ne lis plus une mesure mais une hypothèse — d'où le trait en pointillés.
Zone d'interpolation (trait plein, entre les mesures) et zone d'extrapolation (pointillés, au-delà) pour un plant de 1212 cm à 22 semaines et 2828 cm à 66 semaines.
Lire une pente
La pente se lit sur un triangle

La pente n'est pas une formule à retenir mais une forme à repérer : entre deux points de la droite, on avance horizontalement, on monte verticalement, et la pente est le rapport des deux. L'essentiel est de faire les deux soustractions dans le même ordre.

Le triangle qui donne la pente entre deux points d'une droite Une droite passe par le point A de coordonnees 2 et 12 et par le point B de coordonnees 6 et 28. Un triangle rectangle est trace sous la droite : son cote horizontal va de A jusqu'a l'aplomb de B et mesure 4 unites en abscisse, son cote vertical remonte de la jusqu'a B et mesure 16 unites en ordonnee. La pente vaut donc 16 divise par 4, soit 4. Un rappel ecrit precise que les deux soustractions doivent se faire dans le meme ordre, de A vers B au numerateur comme au denominateur. semaines hauteur en cm A B on avance de 4 on monte de 16 pente = 16 ÷ 4 = 4 cm par semaine
  • 1 On avance de 6−2=46 - 2 = 4 semaines et l'on monte de 28−12=1628 - 12 = 16 cm.
  • 2 La pente vaut 164=4\dfrac{16}{4} = 4, et son unité se lit sur les axes : des cm par semaine.
  • 3 Les deux soustractions vont de AA vers BB, en haut comme en bas. Les inverser au numérateur seulement donnerait −4-4, une plante qui rapetisse.
Ce qu'il faut lire : Pars de AA, avance horizontalement jusqu'à te placer sous BB, puis monte jusqu'à BB. Tu viens de dessiner le triangle. La pente est simplement « ce que tu as monté » divisé par « ce que tu as avancé ».
Le triangle de pente entre A(2;12)A(2 ; 12) et B(6;28)B(6 ; 28) : on avance de 44, on monte de 1616, la pente vaut 44 cm par semaine.
Se méfier des axes
La même croissance, deux graphiques très différents

Ces deux graphiques portent exactement les mêmes mesures. Seule l'échelle de l'axe vertical change. À gauche la hausse paraît spectaculaire, à droite presque plate — et pourtant la pente calculée est la même. C'est pourquoi on ne juge jamais une évolution à l'œil.

Les memes mesures tracees avec deux echelles verticales differentes Deux graphiques cote a cote portent les memes deux mesures : 12 centimetres a 2 semaines et 28 centimetres a 6 semaines. Le graphique de gauche a un axe vertical gradue de 10 a 30 centimetres seulement, si bien que la droite y monte tres fortement. Le graphique de droite a un axe vertical gradue de 0 a 100 centimetres, si bien que la meme droite y parait presque horizontale. La pente calculee vaut pourtant 4 centimetres par semaine dans les deux cas. Les deux dessins ont la meme largeur et la meme hauteur, et seule la graduation de leur axe vertical differe. 10 30 axe de 10 à 30 ça flambe 0 100 axe de 0 à 100 ça stagne mêmes mesures, même pente : 4 cm par semaine 12 cm à 2 semaines, 28 cm à 6 semaines
  • 1 À gauche, l'axe vertical ne couvre que 2020 cm : la montée de 1616 cm y occupe presque toute la hauteur.
  • 2 À droite, il couvre 100100 cm : la même montée de 1616 cm n'occupe plus qu'un sixième environ.
  • 3 Dans les deux cas la pente vaut 28−126−2=4\dfrac{28 - 12}{6 - 2} = 4 cm par semaine. L'impression visuelle a changé, le fait n'a pas bougé.
Ce qu'il faut lire : Avant de dire qu'une courbe « explose » ou « stagne », lis les graduations de l'axe vertical : c'est là que se joue l'impression. Puis calcule la pente, qui est le seul nombre que l'échelle ne peut pas déformer.
Les mêmes mesures (1212 cm à 22 semaines, 2828 cm à 66 semaines) tracées sur un axe vertical de 1010 à 3030 puis de 00 à 100100 : la pente vaut 44 cm/semaine dans les deux cas.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Ne jamais extrapoler trop loin !

✅ La suggestion

La taille d'un enfant peut suivre une droite assez régulière pendant quelques années, mais cette tendance ne continue pas indéfiniment (personne ne mesure 33 mètres à 4040 ans). L'extrapolation n'est valide que si on a une bonne raison de croire que la tendance se poursuit.

💡 À retenir

  • Un point se repère par un couple (x;y)(x ; y) : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.
  • La pente aa se calcule par ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} — même ordre de soustraction au numérateur et dénominateur.
  • Interpoler (entre les données) est plus fiable qu'extrapoler (au-delà).
  • Toujours vérifier les unités sur les axes avant de lire un graphique.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Suivi de croissance en SVT, relevés météo, mouvement à vitesse constante en physique-chimie

Mots-clés associés : AbscisseOrdonnéeGraphiqueInterpolation
← Périmètres et aires 11 / 49 → Nombres relatifs