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Périmètres et aires

Rectangle, triangle, disque

Un jardin rectangulaire à aménager. Pour le clôturer, le vendeur demande combien de mètres de grillage il te faut. Pour le gazon, il demande combien de mètres carrés. Deux questions sur le même jardin, et deux nombres différents — pourquoi ne suffit-il pas de dire « il est grand » ?

Parce que le grillage se déroule le long du contour, tandis que le gazon recouvre la surface. Ce ne sont pas les mêmes mesures, et elles ne s'expriment même pas dans les mêmes unités : des mètres d'un côté, des mètres carrés de l'autre.

On appelle périmètre la longueur du contour — on « fait le tour » — et aire la mesure de la surface intérieure.

Ces deux grandeurs sont si indépendantes qu'on peut en changer une sans toucher à l'autre. Un rectangle de 11 cm sur 1010 cm et un carré d'environ 3,163{,}16 cm de côté ont exactement la même aire (1010 cm²), mais des périmètres très différents. Commander le grillage d'après l'aire, c'est se tromper de livraison.

Pour les figures rondes intervient une constante célèbre, π≈3,14159…\pi \approx 3{,}14159\ldots, qui est le rapport entre la circonférence et le diamètre de tout cercle, quelle que soit sa taille. On retrouvera l'aire en physique dans la pression (P=F/SP = F/S), et le périmètre dans les longueurs de câbles ou de clôtures.

📖 Vocabulaire clé

Périmètre : Longueur totale du contour d'une figure. Unité : cm ou m (longueur).
Aire : Mesure de la surface intérieure. Unité : cm² ou m² (surface).
Pi (π\pi) : Constante universelle ≈3,14\approx 3{,}14. Rapport de la circonférence au diamètre pour tout cercle.
Disque : Surface intérieure du cercle. Aire =πr2= \pi r^2, périmètre (cercle) =2πr= 2\pi r.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier la figure et ses dimensions. Exemple : rectangle de 8×58 \times 5 cm.
  2. 2 Appliquer la formule. Périmètre : 2(8+5)=262(8+5) = 26 cm. Aire : 8×5=408 \times 5 = 40 cm².
  3. 3 Vérifier les unités : périmètre en cm, aire en cm². Ne pas confondre les deux !

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer l'aire et le périmètre d'un disque de rayon r=5r = 5 cm.
Démarche :
  1. Périmètre (cercle) : P=2πr=2×3,14×5=31,4\mathcal{P} = 2\pi r = 2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4 cm.
  2. Aire (disque) : A=πr2=3,14×25=78,5\mathcal{A} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 cm².
  3. Unités : périmètre en cm ✓, aire en cm² ✓
Réponse : P=31,4\mathcal{P} = 31{,}4 cm et A=78,5\mathcal{A} = 78{,}5 cm²

📐 Formules clés

Rectangle : P=2(L+l)\mathcal{P} = 2(L + l) et A=L×l\mathcal{A} = L \times l
Triangle : P=a+b+c\mathcal{P} = a + b + c et A=base×h2\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times h}{2}
Disque : P=2πr\mathcal{P} = 2\pi r et A=πr2\mathcal{A} = \pi r^2, avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14

🎨 Illustrations

Contour vs surface
Périmètre (le contour) et aire (la surface teintée) sur trois figures

Le trait épais mesure le tour de la figure (périmètre) ; la teinte à l'intérieur mesure la surface (aire). Rectangle et disque reprennent les valeurs du cours.

Perimetre et aire d'un rectangle, d'un triangle et d'un disque Trois figures cote a cote : rectangle 8 sur 5, triangle de base et hauteur, disque de rayon 5. Le contour represente le perimetre et la teinte interieure represente l'aire. Périmètre (contour) Aire (surface) l = 5 cm L = 8 cm P = 26 cm A = 40 cm² hauteur base P = a + b + c A = base × h / 2 r = 5 cm P = 2 π r A = π r²
  • 1 Le rectangle reprend l'exemple du cours : L=8L = 8 cm, l=5l = 5 cm, donc P=2(8+5)=26\mathcal{P} = 2(8+5) = 26 cm et A=8×5=40\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40 cm².
  • 2 Le triangle n'a pas de valeurs chiffrées dans le cours : seules les formules P=a+b+c\mathcal{P} = a+b+c et A=base×h2\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times h}{2} sont rappelées, sur une figure générique.
  • 3 Le disque reprend l'exemple du cours : r=5r = 5 cm, donc P=2π×5≈31,4\mathcal{P} = 2\pi \times 5 \approx 31{,}4 cm et A=π×52≈78,5\mathcal{A} = \pi \times 5^2 \approx 78{,}5 cm² (avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14).
Ce qu'il faut lire : Suis le trait épais du doigt : c'est le périmètre. La zone colorée à l'intérieur, c'est l'aire. Les deux se calculent avec des formules différentes et ne s'expriment jamais dans la même unité.
Périmètre (contour, en cm) et aire (surface teintée, en cm²) sur un rectangle, un triangle et un disque.
Deux notions indépendantes
Même périmètre, aires différentes

Ces deux figures ont exactement le même périmètre (1616 cm de contour), et pourtant leur surface n'est pas la même. C'est la preuve visuelle que périmètre et aire sont deux grandeurs indépendantes.

Deux rectangles de meme perimetre et d'aires differentes A gauche, un carre de 4 centimetres de cote : son perimetre vaut 16 centimetres et son aire 16 centimetres carres. A droite, un rectangle de 7 centimetres de long sur 1 centimetre de large : son perimetre vaut aussi 16 centimetres, mais son aire ne vaut que 7 centimetres carres. Les deux figures sont dessinees a la meme echelle et posees sur la meme ligne de base, si bien que seule la forme change. Le carre, plus ramasse, contient plus de surface que le rectangle allonge alors que leurs contours ont la meme longueur. MÊME PÉRIMÈTRE : 16 cm 4 cm 4 cm A = 16 cm² 7 cm 1 cm A = 7 cm² mais aires différentes
  • 1 Carré : P=4×4=16\mathcal{P} = 4 \times 4 = 16 cm et A=4×4=16\mathcal{A} = 4 \times 4 = 16 cm².
  • 2 Rectangle : P=2×(7+1)=16\mathcal{P} = 2 \times (7 + 1) = 16 cm et A=7×1=7\mathcal{A} = 7 \times 1 = 7 cm².
  • 3 Même contour, mais plus du double de surface pour le carré : à périmètre fixé, c'est la forme la plus « ramassée » qui enferme le plus d'aire.
Ce qu'il faut lire : Fais le tour des deux figures avec ton doigt : tu parcours la même longueur, 1616 cm. Regarde maintenant la surface colorée : celle de gauche est bien plus grande. Un périmètre plus grand n'entraîne donc jamais automatiquement une aire plus grande.
Deux figures de même périmètre (1616 cm) mais d'aires différentes (1616 cm² et 77 cm²).
Pourquoi des cm²
L'aire se compte en carrés unités

Une aire n'est pas une formule tombée du ciel : c'est un nombre de carrés de 11 cm de côté que l'on peut poser dans la figure. La multiplication L×lL \times l ne fait que compter ces carrés plus vite.

Un rectangle 8 sur 5 pave par des carres de 1 centimetre de cote Un rectangle de 8 centimetres de long sur 5 centimetres de large est quadrille en carres de 1 centimetre de cote. On compte 8 carres sur une rangee et 5 rangees, soit 40 carres en tout. L'aire du rectangle vaut donc 40 centimetres carres, ce que donne aussi directement la multiplication 8 fois 5. Un seul carre unite est mis en evidence dans le coin en haut a gauche pour montrer ce que represente un centimetre carre. 1 carré = 1 cm² 8 carrés par rangée 5 rangées 8 × 5 = 40 cm²
  • 1 Une rangée contient 88 carrés de 11 cm² ; il y a 55 rangées.
  • 2 Total : 8×5=408 \times 5 = 40 carrés, donc A=40\mathcal{A} = 40 cm².
  • 3 C'est pour cela qu'une aire s'exprime en cm² et jamais en cm : on compte des carrés, pas des longueurs.
Ce qu'il faut lire : Compte les carrés d'une seule rangée : il y en a 88. Compte le nombre de rangées : il y en a 55. Plutôt que de compter les 4040 carrés un par un, on multiplie : 8×58 \times 5. La formule de l'aire du rectangle n'est rien d'autre que ce comptage abrégé.
L'aire d'un rectangle de 88 cm sur 55 cm : 4040 carrés de 11 cm² chacun.
Le piège du chapitre
Dans l'aire du disque, c'est le rayon qui est au carré

L'erreur la plus fréquente du chapitre : élever πr\pi r tout entier au carré au lieu du seul rayon. Les deux calculs ne donnent pas du tout le même nombre.

Comparaison du bon calcul et du calcul errone de l'aire d'un disque Un disque de rayon 5 centimetres est dessine a gauche, avec son rayon trace du centre vers le bord. A droite, deux calculs sont compares. Le calcul correct eleve le rayon au carre avant de multiplier par pi : 3 virgule 14 multiplie par 25 donne 78 virgule 5 centimetres carres. Le calcul errone eleve au carre le produit pi fois rayon tout entier, soit 15 virgule 7 au carre, ce qui donne environ 246 centimetres carres, un resultat plus de trois fois trop grand. r = 5 cm le disque du cours A = π × r² 3,14 × 25 = 78,5 cm² (π × r)² = 15,7² ≈ 246 cm² : bien trop grand
  • 1 Bon calcul : on élève d'abord le rayon au carré, 52=255^2 = 25, puis on multiplie par π\pi : 3,14×25=78,53{,}14 \times 25 = 78{,}5 cm².
  • 2 Calcul erroné : (πr)2=15,72≈246(\pi r)^2 = 15{,}7^2 \approx 246 cm², soit un résultat plus de trois fois trop grand.
  • 3 Repère de bon sens : l'aire d'un disque est toujours plus grande que celle du carré construit sur son rayon (2525 cm² ici) et plus petite que celle du carré construit sur son diamètre (100100 cm²). 78,578{,}5 est bien entre les deux ; 246246 ne l'est pas.
Ce qu'il faut lire : Un exposant ne porte que sur ce qu'il touche : dans πr2\pi r^2, il touche le rr, pas le π\pi. Pour te contrôler, encadre : l'aire doit tomber entre l'aire du carré de côté rr et celle du carré de côté 2r2r.
Le piège du chapitre : πr2\pi r^2 (correct) et (πr)2(\pi r)^2 (erroné) sur le disque de rayon 55 cm.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

confondre périmètre et aire.

✅ La suggestion

Le périmètre se mesure en cm (longueur), l'aire en cm² (surface). De plus, dans πr2\pi r^2, c'est rr qui est élevé au carré, pas πr\pi r entier !

💡 À retenir

  • Périmètre = longueur du contour (en cm). Aire = mesure de la surface (en cm²).
  • Rectangle : P=2(L+l)\mathcal{P} = 2(L+l), A=L×l\mathcal{A} = L \times l.
  • Disque : P=2πr\mathcal{P} = 2\pi r, A=πr2\mathcal{A} = \pi r^2. Attention : c'est rr au carré, pas πr\pi r !
  • Un périmètre plus grand ne signifie pas une aire plus grande.
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