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Symétrie axiale

Axe de symétrie, construction du symétrique

Une figure est symétrique par rapport à un axe si, en la pliant le long de cet axe, les deux parties se superposent exactement.

La symétrie axiale est une isométrie : elle conserve les distances, les angles et les aires. Les figures sont identiques, juste retournées.

Pour construire le symétrique d'un point $A$ par rapport à un axe $d$ , on cherche $A'$ tel que l'axe soit la médiatrice de $[AA']$ : l'axe coupe $[AA']$ en son milieu et perpendiculairement. Pour un axe vertical $x = k$ : $x_{A'} = 2k - x_A$ (l'ordonnée ne change pas). Pour un axe horizontal $y = k$ : $y_{A'} = 2k - y_A$ (l'abscisse ne change pas). Cas particuliers : par rapport à l'axe des ordonnées ( $x = 0$ ), $x_{A'} = -x_A$ ; par rapport à l'axe des abscisses ( $y = 0$ ), $y_{A'} = -y_A$ .

📖 Vocabulaire clé

Axe de symétrie : Droite

d

telle que la réflexion de la figure par rapport à

d

donne la même figure.

Isométrie : Transformation qui conserve les distances. La symétrie axiale en est une.

Médiatrice : Droite perpendiculaire au segment

[AA']

passant par son milieu. L'axe est la médiatrice de

[AA']

Symétrique :

A'

est le symétrique de

A

si l'axe est la médiatrice de

[AA']

AH = HA'

(AA') \perp d

📋 Méthode en 4 étapes

1 Tracer la perpendiculaire à l'axe $d$ passant par le point $A$ .
2 Trouver le pied $H$ (intersection avec l'axe).
3 Reporter la même distance de l'autre côté : $A'$ tel que $AH = HA'$ .
4 Pour une figure entière : construire le symétrique de chaque sommet, puis relier.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Le point

A(5 ; 2)

est réfléchi par rapport à la droite

x = 3

. Trouver

A'

Démarche :

Formule : $x_{A'} = 2k - x_A = 2 \times 3 - 5 = 1$ .
L'ordonnée ne change pas : $y_{A'} = 2$ .
Donc $A'(1 ; 2)$ .
Vérification : le milieu de $[AA']$ est $(\dfrac{5+1}{2} ; 2) = (3 ; 2)$ , qui est bien sur $x = 3$ ✓

Réponse :

A'(1 ; 2)

📐 Formules clés

H =

milieu de

[AA']

(pied de la perpendiculaire)

AH = HA'

Axe vertical

x = k

x_{A'} = 2k - x_A

y_{A'} = y_A

Axe horizontal

y = k

y_{A'} = 2k - y_A

x_{A'} = x_A

La symétrie conserve : distances, angles, aires.

L'axe est la médiatrice de

[AA']

🎨 Illustration

Construction du symétrique

Réfléchir un point par rapport à un axe

Le point $A(5 ; 2)$ est réfléchi par rapport à l'axe $d$ d'équation $x = 3$ . On trace la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ , on repère son pied $H$ , puis on reporte la même distance de l'autre côté pour obtenir $A'(1 ; 2)$ .

1 On trace la perpendiculaire à l'axe $d$ passant par $A$ : ici elle est horizontale, donc perpendiculaire à l'axe vertical $d$ .
2 Le pied $H(3 ; 2)$ est le point où cette perpendiculaire coupe $d$ — l'angle marqué en $H$ est droit.
3 On reporte la même distance de l'autre côté de $H$ : $AH = HA' = 2$ , donc $A'(1 ; 2)$ .

Ce qu'il faut lire : L'axe

d

est la médiatrice de

[AA']

: il coupe le segment

[AA']

perpendiculairement, exactement en son milieu

H

Construction du symétrique de

A(5 ; 2)

par rapport à l'axe

d : x = 3

— pied

H(3 ; 2)

et symétrique

A'(1 ; 2)

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

l'axe de symétrie n'est pas forcément vertical ou horizontal.

✅ La suggestion

Toujours tracer la perpendiculaire depuis le point jusqu'à l'axe, puis reporter la même distance de l'autre côté.

💡 À retenir

La symétrie axiale conserve distances, angles et aires (c'est une isométrie).
Le symétrique de $A$ par rapport à $x = k$ (axe vertical) a pour abscisse $x' = 2k - x$ ; par rapport à $y = k$ (axe horizontal), pour ordonnée $y' = 2k - y$ .
Cas particuliers : axe des ordonnées ( $x=0$ ) → $x' = -x$ ; axe des abscisses ( $y=0$ ) → $y' = -y$ .
Un point situé sur l'axe est son propre symétrique.
Un triangle équilatéral a $3$ axes, un carré en a $4$ , un cercle en a une infinité.

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