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Symétrie axiale

Axe de symétrie, construction du symétrique

Plie une feuille en deux, découpe une forme quelconque le long du pli, puis déplie : tu obtiens un motif dont les deux moitiés se correspondent exactement. C'est ainsi que l'on découpe un cœur, un sapin ou un papillon sans avoir à dessiner deux fois la même chose.

Une figure est symétrique par rapport à un axe lorsque, pliée le long de cet axe, ses deux parties se superposent. Le pli est l'axe, et le pliage fait tout le travail.

Seulement voilà : on ne peut pas toujours plier. Sur un cahier, sur un plan, sur un écran, la feuille reste à plat — et il faut pourtant savoir où atterrit chaque point. Comment placer le symétrique d'un point sans jamais replier la feuille ?

Il suffit d'observer ce que le pli fait à un point AA. Son image A′A' se retrouve juste en face, de l'autre côté, à la même distance de l'axe, et le segment [AA′][AA'] traverse l'axe perpendiculairement. Autrement dit, l'axe est la médiatrice de [AA′][AA'] : il le coupe en son milieu et à angle droit.

Cette seule propriété remplace le pliage et permet de tout construire à la règle et à l'équerre. Et comme le pliage ne déforme rien, la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires : les figures sont identiques, simplement retournées.

📖 Vocabulaire clé

Axe de symétrie : Droite dd telle que la réflexion de la figure par rapport à dd donne la même figure.
Conservation des longueurs : La symétrie axiale ne déforme rien : une figure et son symétrique ont les mêmes longueurs, les mêmes angles et la même aire.

Elles sont superposables par pliage.
Médiatrice : Droite perpendiculaire au segment [AA′][AA'] passant par son milieu. L'axe est la médiatrice de [AA′][AA'].
Symétrique : A′A' est le symétrique de AA si l'axe est la médiatrice de [AA′][AA'] : AH=HA′AH = HA' et (AA′)⊥d(AA') \perp d.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Tracer la perpendiculaire à l'axe dd passant par le point AA.
  2. 2 Trouver le pied HH (intersection avec l'axe).
  3. 3 Reporter la même distance de l'autre côté : A′A' tel que AH=HA′AH = HA'.
  4. 4 Pour une figure entière : construire le symétrique de chaque sommet, puis relier.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Sur un quadrillage, le point A(5;2)A(5 ; 2) a pour symétrique A′A' par rapport à la droite verticale dd passant par l'abscisse 33. Trouver A′A'.
Démarche :
  1. La perpendiculaire à dd passant par AA est horizontale : elle coupe dd au pied H(3;2)H(3 ; 2).
  2. AA est à 5−3=25 - 3 = 2 carreaux à droite de HH.
  3. On reporte la même distance à gauche : 3−2=13 - 2 = 1. L'ordonnée ne change pas.
  4. Donc A′(1;2)A'(1 ; 2).

    Vérification : HH est bien le milieu de [AA′][AA'], à 22 carreaux de chacun ✓
Réponse : A′(1;2)A'(1 ; 2)

📐 Formules clés

H=H = milieu de [AA′][AA'] (pied de la perpendiculaire)
AH=HA′AH = HA'
Axe vertical passant par l'abscisse kk : A′A' garde l'ordonnée de AA, et kk est au milieu des deux abscisses
Axe horizontal passant par l'ordonnée kk : A′A' garde l'abscisse de AA, et kk est au milieu des deux ordonnées
La symétrie conserve : distances, angles, aires.
L'axe est la médiatrice de [AA′][AA']

🎨 Illustrations

Construction du symétrique
Réfléchir un point par rapport à un axe

Le point A(5;2)A(5 ; 2) a pour symétrique A′A' par rapport à la droite verticale dd passant par l'abscisse 33. On trace la perpendiculaire à dd passant par AA, on repère son pied HH, puis on reporte la même distance de l'autre côté pour obtenir A′(1;2)A'(1 ; 2).

Symétrique d'un point par rapport à un axe vertical Le point A en 5 ; 2 est réfléchi par rapport à l'axe d, droite verticale passant par l'abscisse 3. Le pied H est en 3 ; 2 et le symétrique A' est en 1 ; 2, à la même distance de l'axe que A. A(5 ; 2) H(3 ; 2) A'(1 ; 2) d 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4
  • 1 On trace la perpendiculaire à l'axe dd passant par AA : ici elle est horizontale, donc perpendiculaire à l'axe vertical dd.
  • 2 Le pied H(3;2)H(3 ; 2) est le point où cette perpendiculaire coupe dd — l'angle marqué en HH est droit.
  • 3 On reporte la même distance de l'autre côté de HH : AH=HA′=2AH = HA' = 2, donc A′(1;2)A'(1 ; 2).
Ce qu'il faut lire : L'axe dd est la médiatrice de [AA′][AA'] : il coupe le segment [AA′][AA'] perpendiculairement, exactement en son milieu HH.
Construction du symétrique de A(5;2)A(5 ; 2) par rapport à la droite verticale dd passant par l'abscisse 33 — pied H(3;2)H(3 ; 2) et symétrique A′(1;2)A'(1 ; 2).
Le geste de construction
Construire le symétrique d'un point, étape par étape

Trois gestes : on trace la perpendiculaire à l'axe passant par le point, on marque son pied HH, puis on reporte la même distance de l'autre côté.

Les trois etapes de la construction du symetrique d'un point Trois vignettes se lisent de gauche a droite. Dans la premiere, un point A est place a cote d'un axe vertical et l'on trace la perpendiculaire a l'axe passant par A. Dans la deuxieme, le pied H est marque a l'intersection de cette perpendiculaire et de l'axe, et la distance de A a H est reportee. Dans la troisieme, le point A prime est place de l'autre cote de l'axe, a la meme distance H A prime que A H, ce qui acheve la construction. L'axe est alors la mediatrice du segment A A prime. 1. la perpendiculaire A d 2. le pied noté H A H AH d 3. report de AH A H A' AH HA' d axe d : médiatrice de [AA'], coupe le segment en son milieu à angle droit
  • 1 Étape 11 : la droite (AA′)(AA') doit être perpendiculaire à l'axe — c'est l'équerre qui le garantit, pas le coup d'œil.
  • 2 Étape 22 : le pied HH est le point où cette perpendiculaire rencontre l'axe.
  • 3 Étape 33 : on reporte AHAH de l'autre côté, au compas, pour obtenir HA′=AHHA' = AH.
Ce qu'il faut lire : Les deux conditions doivent être vraies en même temps : même distance de part et d'autre, et angle droit avec l'axe. Un point à la bonne distance mais posé de travers n'est pas le symétrique.
Construction du symétrique d'un point en trois gestes : perpendiculaire, pied HH, report de AHAH.
Une figure entière
On réfléchit les sommets, puis on relie

Pour une figure, on ne réfléchit jamais les côtés : on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie les points obtenus dans le même ordre.

Symetrique d'un triangle par rapport a un axe vertical Un triangle A B C est dessine a gauche d'un axe vertical. Chacun de ses trois sommets est relie horizontalement a son symetrique de l'autre cote de l'axe, a egale distance. Les trois points obtenus, A prime, B prime et C prime, sont relies dans le meme ordre et forment un triangle identique au premier, mais retourne. Les longueurs et les angles sont conserves : seule l'orientation change. axe d A B C A' B' C' même forme, mêmes longueurs, mêmes angles : seule la position change
  • 1 Chaque sommet se construit séparément, avec les trois gestes de la figure précédente.
  • 2 On relie ensuite A′A', B′B', C′C' dans le même ordre que AA, BB, CC.
  • 3 La symétrie conserve les longueurs : A′B′=ABA'B' = AB, et tous les angles sont conservés. La figure image est superposable à la figure de départ après pliage.
Ce qu'il faut lire : Remarque que BB, le sommet le plus éloigné de l'axe, donne B′B' le plus éloigné lui aussi : chaque point garde sa distance à l'axe. C'est le moyen le plus rapide de repérer une construction fausse.
Symétrique d'un triangle : on réfléchit les trois sommets, puis on relie.
Compter les axes
Combien d'axes de symétrie ?

Un axe de symétrie est un pli qui superpose exactement la figure sur elle-même. Certaines figures en ont plusieurs, d'autres aucun — et un rectangle en a deux, pas quatre.

Nombre d'axes de symetrie de quatre figures usuelles Quatre figures sont presentees cote a cote avec leurs axes de symetrie en pointilles. Le carre possede quatre axes : les deux medianes et les deux diagonales. Le rectangle n'en possede que deux, les deux medianes, car ses diagonales ne sont pas des axes de symetrie. Le triangle equilateral en possede trois. Le parallelogramme quelconque n'en possede aucun. Un rappel indique que les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symetrie, ce qui est l'erreur la plus frequente. carré 4 axes rectangle 2 axes triangle équilatéral 3 axes parallélogramme 0 axe un axe de symétrie est un pli qui superpose la figure sur elle-même
  • 1 Le carré a 44 axes : ses deux médianes et ses deux diagonales.
  • 2 Le rectangle n'en a que 22 : ses médianes. Pliée le long d'une diagonale, une moitié du rectangle ne recouvre pas l'autre — c'est l'erreur classique du chapitre.
  • 3 Le parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie, même s'il a un centre de symétrie (notion vue plus tard).
Ce qu'il faut lire : Pour tester un axe, imagine le pli : si un sommet ne tombe pas exactement sur un autre sommet, la droite n'est pas un axe. Essaie mentalement de plier le rectangle sur sa diagonale — les deux coins ne se rejoignent pas.
Nombre d'axes de symétrie : carré (44), rectangle (22), triangle équilatéral (33), parallélogramme (00).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

l'axe de symétrie n'est pas forcément vertical ou horizontal.

✅ La suggestion

Toujours tracer la perpendiculaire depuis le point jusqu'à l'axe, puis reporter la même distance de l'autre côté.

💡 À retenir

  • La symétrie axiale conserve distances, angles et aires : une figure et son symétrique sont superposables par pliage.
  • Sur un quadrillage : on compte les carreaux entre AA et l'axe, puis on reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté, perpendiculairement à l'axe.
  • Si l'axe est vertical, l'ordonnée ne change pas ; s'il est horizontal, c'est l'abscisse qui ne change pas.
  • Un point situé sur l'axe est son propre symétrique.
  • Un triangle équilatéral a 33 axes, un carré en a 44, un cercle en a une infinité.
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