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Figures géométriques de base

Droites, segments, demi-droites, cercles

Pour tracer le mur d'une maison bien droit, un maçon tend un fil entre deux piquets : c'est l'image concrète d'une droite. Pour dessiner une roue de vélo, on plante la pointe d'un compas en un point fixe et on trace tous les points à la même distance : c'est un cercle.

En géométrie, tout repose sur quelques objets de base : le point (position sans dimension), le segment (longueur finie entre deux points), la droite (infinie dans les deux sens) et le cercle (ensemble de points à égale distance d'un centre).

Distinction importante : le segment [AB][AB] a une longueur mesurable ; la droite (AB)(AB) est infinie et on la dessine avec des flèches aux extrémités. La demi-droite [AB)[AB) est infinie dans un seul sens.

Le cercle de centre OO et de rayon rr contient tous les points MM tels que OM=rOM = r. Le diamètre est d=2rd = 2r.

📖 Vocabulaire clé

Droite (AB)(AB) : Ligne infinie dans les deux sens passant par AA et BB. Dessinée avec des flèches.
Segment [AB][AB] : Portion de droite limitée par deux extrémités AA et BB. A une longueur mesurable.
Demi-droite [AB)[AB) : Portion de droite ayant une origine AA et infinie dans la direction de BB.
Cercle : Ensemble des points MM tels que OM=rOM = r (rayon). Le diamètre est d=2rd = 2r.
Disque : Surface entourée par un cercle : tous les points MM tels que OM≤rOM \leq r.

Le cercle est la ligne tracée au compas, le disque est la surface qu'elle délimite.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Identifier le type d'objet : un point (AA), une droite (AB)(AB) ou dd, un segment [AB][AB], une demi-droite [AB)[AB).
  2. 2 Distinguer : droite (infinie, flèches), demi-droite (infinie d'un côté), segment (fini).
  3. 3 Pour un cercle : identifier le centre OO et le rayon rr. Diamètre =2r= 2r.
  4. 4 Construire avec la règle (segments, droites) ou le compas (cercles, reports de longueur).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un cercle a un diamètre de 8,48{,}4 cm. Calculer le rayon. Un point PP est à 55 cm du centre. Où se trouve-t-il ?
Démarche :
  1. Rayon : r=d2=8,42=4,2r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8{,}4}{2} = 4{,}2 cm.
  2. OP=5OP = 5 cm et r=4,2r = 4{,}2 cm.
  3. OP>rOP > r, donc PP est à l'extérieur du cercle.
Réponse : r=4,2r = 4{,}2 cm. PP est à l'extérieur du cercle.

📐 Formules clés

(AB)(AB) = droite passant par AA et BB (infinie)
[AB][AB] = segment d'extrémités AA et BB
Cercle de centre OO et rayon rr : OM=rOM = r pour tout point MM du cercle
Diamètre : d=2rd = 2r

🎨 Illustrations

Objets de base de la géométrie
Distinguer droite, segment, demi-droite et cercle

Les mêmes points AA et BB donnent trois figures différentes selon qu'on prolonge la ligne des deux côtés, d'un seul côté, ou pas du tout.

Droite, segment, demi-droite et cercle Quatre figures : une droite infinie passant par A et B, un segment fini AB, une demi-droite d'origine A passant par B, et un cercle de centre O et de rayon r. Droite (AB) — infinie A B (AB) Segment [AB] — finie A B [AB] Demi-droite [AB) — 1 sens A B [AB) Cercle (O, r) O r OM = r
  • 1 La droite (AB)(AB) est infinie des deux côtés — elle se dessine toujours avec des flèches aux extrémités.
  • 2 Le segment [AB][AB] est fini : ses deux extrémités AA et BB sont marquées, et lui seul a une longueur mesurable.
  • 3 La demi-droite [AB)[AB) a une seule origine (AA) et continue à l'infini dans la direction de BB.
  • 4 Le cercle de centre OO et de rayon rr contient tous les points MM tels que OM=rOM = r. Exemple du cours : diamètre 8,48{,}4 cm ⇒\Rightarrow rayon r=4,2r = 4{,}2 cm.
Ce qu'il faut lire : Cherche d'abord combien d'extrémités la ligne possède : zéro pour une droite, une pour une demi-droite, deux pour un segment.
Segment [AB][AB], droite (AB)(AB) et demi-droite [AB)[AB) construits à partir des mêmes points, et cercle de centre OO et de rayon rr.
Trois objets, un seul trait
Droite, segment, demi-droite : seule la terminaison change

Les trois lignes ci-dessous ont exactement la même longueur tracée et passent par les mêmes points AA et BB. Tout ce qui les distingue tient à ce qui se passe aux bouts — et à la notation qui le dit : (AB)(AB), [AB][AB], [AB)[AB).

Comparaison de la droite, du segment et de la demi-droite Trois lignes horizontales sont posees l'une sous l'autre, toutes de meme longueur et portant les memes points A et B aux memes endroits. La premiere ligne se termine par une pointe de fleche a chaque bout : c'est la droite AB, qui se note entre parentheses. La deuxieme ligne s'arrete net a chaque bout sur un petit trait vertical : c'est le segment AB, qui se note entre crochets. La troisieme ligne part d'un bout ferme par un trait vertical et se termine a l'autre bout par une pointe de fleche : c'est la demi-droite d'origine A passant par B, qui se note avec un crochet ouvrant et une parenthese fermante. En face de chaque ligne, une mention rappelle le nombre de bouts fermes : aucun pour la droite, deux pour le segment, un seul pour la demi-droite. A B Droite (AB) aucun bout fermé A B Segment [AB] deux bouts fermés A B Demi-droite [AB) un seul bout fermé Le crochet ferme le bout, la parenthèse le laisse filer
  • 1 Les trois lignes sont dessinées de la même longueur : cette longueur ne veut donc rien dire. Seule la terminaison porte l'information.
  • 2 Le crochet dit « ce bout est fermé, il y a une extrémité ici ». La parenthèse dit « ça continue de ce côté-là ».
  • 3 D'où les trois notations : (AB)(AB) ouverte des deux côtés, [AB][AB] fermée des deux côtés, [AB)[AB) fermée en AA seulement.
  • 4 Un seul de ces objets a une longueur mesurable : le segment [AB][AB]. On ne peut mesurer ni une droite ni une demi-droite.
Ce qu'il faut lire : Ne regarde pas le milieu de la ligne, il est identique dans les trois cas : regarde uniquement les deux bouts, puis compte combien sont fermés. Deux bouts fermés donnent un segment, un seul donne une demi-droite, aucun donne une droite. La notation se déduit ensuite du comptage, elle ne s'apprend pas par cœur.
Les mêmes points AA et BB, la même longueur tracée : seule la terminaison distingue (AB)(AB), [AB][AB] et [AB)[AB).
Ce que fait le compas
Tous les points du cercle sont à la même distance du centre

Un compas garde le même écartement pendant tout le tracé. C'est pour cette raison — et non par convention — que tous les points du cercle sont à la distance rr du centre OO. Le diamètre, lui, vaut deux rayons bout à bout : d=2rd = 2r.

Le cercle trace au compas : six rayons de meme longueur Un cercle de centre O est trace. Six segments partent du centre vers six points differents repartis tout autour du bord, et ces six segments ont exactement la meme longueur, qui est le rayon r. Cette egalite est ce que garantit l'ecartement fixe du compas. Sous le cercle, une longueur est reportee deux fois de suite bout a bout : elle montre que le diametre vaut deux rayons, donc le double du rayon. A droite figurent la propriete OM egale r pour tout point M du cercle, la relation d egale deux r, et l'exemple du cours ou un diametre de 8,4 centimetres correspond a un rayon de 4,2 centimetres. O r r r OM = r pour tout point M du cercle d = 2r 8,4 cm de diamètre donne 4,2 cm de rayon
  • 1 Les six segments tracés depuis OO ont tous la même longueur rr : c'est la propriété du cercle, et elle vaut pour tous ses points, pas seulement pour ces six-là.
  • 2 Le compas ne fait rien d'autre que garantir cette égalité : son écartement est le rayon.
  • 3 Le diamètre traverse le cercle en passant par le centre. Il est donc fait de deux rayons bout à bout : d=2rd = 2r, et inversement r=d2r = \dfrac{d}{2}.
  • 4 Sur l'exemple du cours : un diamètre de 8,48{,}4 cm donne un rayon r=8,42=4,2r = \dfrac{8{,}4}{2} = 4{,}2 cm.
Ce qu'il faut lire : Prends la mesure de n'importe lequel des six traits partant du centre : tu trouveras toujours la même longueur. C'est ce que veut dire l'écriture OM=rOM = r — quel que soit le point MM choisi sur le cercle, la distance OMOM ne change pas. Sous la figure, cette même longueur rr est reportée deux fois de suite : elle forme le diamètre.
Cercle de centre OO : six rayons de même longueur rr, et le diamètre d=2rd = 2r reporté sous la figure.
Où se trouve le point
Intérieur, sur le cercle, extérieur : il suffit de comparer

Pour savoir où se trouve un point PP par rapport à un cercle, on ne se fie pas au dessin : on compare deux nombres, la distance OPOP et le rayon rr. Trois cas, trois comparaisons.

Position d'un point par rapport a un cercle Un cercle de centre O et de rayon 4,2 centimetres est trace. Trois points sont places dans trois directions differentes. Le premier point, a 3 centimetres du centre, tombe a l'interieur du cercle car 3 est plus petit que 4,2. Le deuxieme point, a exactement 4,2 centimetres du centre, tombe sur le trace du cercle car sa distance est egale au rayon. Le troisieme point, a 5 centimetres du centre, tombe a l'exterieur du cercle car 5 est plus grand que 4,2 : le segment qui le relie au centre franchit le bord. Chaque segment porte sa longueur. A droite, les trois comparaisons sont ecrites l'une sous l'autre avec leur conclusion. O P1 3 cm P2 4,2 cm P3 5 cm rayon r = 4,2 cm 3 < 4,2 P1 dedans 4,2 = 4,2 P2 sur le cercle 5 > 4,2 P3 dehors
  • 1 La question « où se trouve le point ? » se ramène toujours à une comparaison de deux longueurs : OPOP et rr.
  • 2 OP<rOP < r : le point est à l'intérieur du cercle. OP=rOP = r : le point est sur le cercle. OP>rOP > r : le point est à l'extérieur.
  • 3 C'est exactement l'exemple du cours : un cercle de diamètre 8,48{,}4 cm a pour rayon 4,24{,}2 cm ; un point situé à 55 cm du centre vérifie 5>4,25 > 4{,}2, il est donc à l'extérieur.
  • 4 Attention : c'est bien la distance au centre que l'on compare au rayon, jamais la distance au bord.
Ce qu'il faut lire : Les trois points sont volontairement placés dans trois directions différentes : la direction n'entre pas dans la règle, seule la distance au centre compte. Lis le nombre écrit sur chaque trait, compare-le à 4,24{,}2, et la réponse tombe sans avoir à juger le dessin à l'œil.
Position de trois points par rapport à un cercle de rayon 4,24{,}2 cm : OP<rOP < r, OP=rOP = r et OP>rOP > r.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

confondre segment et droite.

✅ La suggestion

Un segment [AB][AB] a une longueur mesurable ; une droite (AB)(AB) est infinie. Sur une figure, une droite se dessine toujours avec des flèches aux deux extrémités.

💡 À retenir

  • Droite (AB)(AB) : infinie, flèches aux 2 bouts. Segment [AB][AB] : fini, 2 extrémités.
  • Cercle : tous les points à distance rr du centre. Diamètre =2r= 2r.
  • Point sur le cercle : OP=rOP = r. Intérieur : OP<rOP < r. Extérieur : OP>rOP > r.
  • Demi-droite [AB)[AB) : origine AA, infinie vers BB.
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