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Division euclidienne et décimale

Quotient, reste, division posée

Dix-sept billes à partager équitablement entre cinq joueurs. Chacun en reçoit trois, et il en reste deux sur la table. Que fait-on de ces deux billes ?

On ne peut pas les couper : une demi-bille ne se joue pas. Le partage s'arrête donc là, et le résultat honnête comporte deux nombres, pas un seul — trois billes chacun, et deux qui restent.

C'est ce que dit la division euclidienne, qui répond à la question « combien de fois 55 tient-il dans 1717 ? » en donnant un quotient entier et un reste. On l'écrit 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2, et plus généralement a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b. Le reste est toujours plus petit que le diviseur : sinon, on pourrait encore distribuer un tour.

Reprends maintenant la même situation avec 1717 litres de jus au lieu des billes. Le jus, lui, se partage : rien n'oblige à s'arrêter à un reste. En prolongeant le calcul au-delà de la virgule, la division décimale donne 3,43{,}4 litres par personne, sans rien laisser sur la table.

Une mise en garde pour finir : contrairement à l'addition, la division n'est pas commutative. Partager 1212 entre 44 n'a rien à voir avec partager 44 entre 1212 : 12÷4≠4÷1212 \div 4 \neq 4 \div 12.

📖 Vocabulaire clé

Dividende : Le nombre que l'on divise. Dans a÷ba \div b, aa est le dividende.
Diviseur : Le nombre par lequel on divise. Dans a÷ba \div b, bb est le diviseur.
Quotient : Résultat de la division. En division euclidienne, c'est un entier.
Reste : Ce qui reste après la division euclidienne. Il vérifie 0≤r<b0 \leq r < b.

📋 Méthode en 6 étapes

  1. 1 Identifier le dividende et le diviseur.
  2. 2 Chercher combien de fois le diviseur « tient » dans les premiers chiffres. Exemple : 87÷587 \div 5 → 55 tient 1717 fois dans 8787.
  3. 3 Multiplier et soustraire pour trouver le reste partiel.
  4. 4 Abaisser le chiffre suivant et recommencer.
  5. 5 Vérifier : b×q+r=ab \times q + r = a. Exemple : 5×17+2=875 \times 17 + 2 = 87 ✓
  6. 6 Prolonger après la virgule (division décimale) : si le reste n'est pas nul et que la grandeur se partage (longueur, litres, euros), on pose une virgule au quotient, on abaisse un 00 et on continue.

    Exemple : 17÷517 \div 5 → 55 tient 33 fois, reste 22 ; on écrit la virgule, on abaisse un 00 : 20÷5=420 \div 5 = 4. D'où 17÷5=3,417 \div 5 = 3{,}4.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Effectuer la division euclidienne de 157157 par 1212.
Démarche :
  1. 12×13=15612 \times 13 = 156 (le plus grand multiple de 1212 inférieur ou égal à 157157).
  2. Reste : 157−156=1157 - 156 = 1.
  3. Donc 157=12×13+1157 = 12 \times 13 + 1.
  4. Vérification : 12×13+1=156+1=15712 \times 13 + 1 = 156 + 1 = 157 ✓
Réponse : Quotient =13= 13, reste =1= 1.

📐 Formules clés

Division euclidienne : a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b
Vérification : b×q+r=ab \times q + r = a
Division exacte : r=0⇒a=b×qr = 0 \Rightarrow a = b \times q

🎨 Illustrations

Division euclidienne
Poser une division « en potence »

Sur l'exemple du cours, 157=12×13+1157 = 12 \times 13 + 1 : le quotient et le reste s'obtiennent en descendant les chiffres du dividende un à un.

Division posee de 157 par 12 Le schema montre la division posee en potence de 157 par 12, avec les etapes de soustraction menant au quotient 13 et au reste 1. Dividende Diviseur 1 5 7 12 13 - 1 2 3 7 - 3 6 1 Vérification : 12 × 13 + 1 = 157
  • 1 1212 ne « tient » pas dans 11, donc on regarde les deux premiers chiffres : 1212 tient une fois dans 1515 (1×12=121 \times 12 = 12), reste 33.
  • 2 On abaisse le chiffre suivant, le 77 : on obtient 3737.
  • 3 1212 tient trois fois dans 3737 (3×12=363 \times 12 = 36), reste 37−36=137 - 36 = 1.
  • 4 Il n'y a plus de chiffre à abaisser : le reste final est 11, et 1<121 < 12 comme l'exige la division euclidienne.
Ce qu'il faut lire : Le quotient se construit chiffre par chiffre au-dessus de la barre, dans le même ordre que les chiffres abaissés du dividende.
Division posée de 157157 par 1212 : quotient 1313, reste 11, vérifiée par 12×13+1=15712 \times 13 + 1 = 157.
Ce que veut dire diviser
Partager 1717 objets en groupes de 55

La division euclidienne, c'est faire des paquets égaux et regarder ce qui ne rentre dans aucun paquet : 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2.

Dix-sept jetons repartis en trois groupes de cinq avec un reste de deux Dix-sept jetons sont ranges de gauche a droite. Les quinze premiers sont regroupes dans trois paquets encadres de cinq jetons chacun, ce qui correspond au quotient trois. Les deux jetons restants sont poses a part, en dehors des paquets : ils forment le reste, qui vaut deux. On lit ainsi l'egalite dix-sept egale cinq fois trois plus deux. Le reste vaut deux et il est bien plus petit que cinq, sinon on pourrait former un paquet de plus. 17 jetons à ranger par paquets de 5 3 paquets de 5 : le quotient est 3 il reste 2 jetons : pas assez pour un paquet de 5 17 = 5 × 3 + 2
  • 1 Le diviseur 55 est la taille d'un paquet ; le quotient 33 est le nombre de paquets complets.
  • 2 Le reste 22 est ce qui ne suffit pas à faire un paquet de plus.
  • 3 D'où l'égalité fondamentale a=b×q+ra = b \times q + r, ici 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2.
Ce qu'il faut lire : Le quotient répond à « combien de paquets entiers ? » et le reste à « combien en trop ? ». Si tu peux encore former un paquet avec le reste, c'est que le quotient n'est pas fini.
Division euclidienne de 1717 par 55 : 33 paquets complets et un reste de 22.
La condition oubliée
Pourquoi le reste est toujours plus petit que le diviseur

La condition 0⩽r<b0 \leqslant r < b n'est pas un détail de cours : si le reste atteint le diviseur, c'est qu'un paquet a été oublié et que le quotient est faux.

Un reste trop grand signale un quotient incomplet Deux ecritures de dix-sept sont comparees. En haut, l'ecriture correcte : cinq fois trois plus deux, avec un reste de deux qui est bien inferieur au diviseur cinq. En bas, une ecriture incorrecte : cinq fois deux plus sept, ou le reste sept est superieur au diviseur cinq. Le dessin montre que dans ce second cas les sept jetons restants permettent encore de former un paquet complet de cinq, donc le quotient deux est trop petit. Seule la premiere ecriture est une division euclidienne valide. 17 = 5 × 3 + 2 reste 2 < 5 : correct reste 17 = 5 × 2 + 7 reste 7 > 5 : le quotient est trop petit encore un paquet reste tant que le reste atteint le diviseur, on peut encore former un paquet
  • 1 Une division euclidienne n'est correcte que si 0⩽r<b0 \leqslant r < b : ici r=2r = 2 et b=5b = 5, la condition est vérifiée.
  • 2 L'écriture 17=5×2+717 = 5 \times 2 + 7 est vraie comme égalité mais ce n'est pas une division euclidienne : le reste 77 dépasse le diviseur 55.
  • 3 C'est cette condition qui rend le quotient et le reste uniques : sans elle, on pourrait écrire 1717 d'une infinité de façons.
Ce qu'il faut lire : Après chaque division, compare le reste au diviseur. Si le reste est plus grand ou égal, augmente le quotient de 11 et recommence : il restait un paquet à faire.
La condition r<br < b : un reste trop grand signale un quotient incomplet.
Un ordre qui compte
La division n'est pas commutative

On peut échanger les deux nombres d'une addition ou d'une multiplication sans rien changer. Avec une division, c'est faux : 12÷412 \div 4 et 4÷124 \div 12 ne décrivent pas la même situation.

Comparaison de douze divise par quatre et de quatre divise par douze A gauche, douze jetons repartis en quatre paquets de trois : douze divise par quatre donne trois. A droite, quatre jetons que l'on cherche a repartir en douze paquets : chaque paquet ne recoit qu'un tiers de jeton, donc quatre divise par douze donne un tiers, un nombre inferieur a un. Les deux resultats sont completement differents, ce qui montre que l'ordre des nombres dans une division ne peut pas etre echange. 12 ÷ 4 = 3 4 ÷ 12 = 0,333… 4 paquets, 3 jetons chacun 4 jetons à partager entre 12 parts : une part agrandie : un tiers changer les nombres de place change le résultat
  • 1 12÷4=312 \div 4 = 3 : on partage 1212 objets en 44 parts, chaque part vaut 33.
  • 2 4÷12≈0,334 \div 12 \approx 0{,}33 : on partage 44 objets en 1212 parts, chaque part vaut moins d'un objet.
  • 3 Contrairement à l'addition (3+5=5+33 + 5 = 5 + 3) et à la multiplication (3×5=5×33 \times 5 = 5 \times 3), la division n'est pas commutative.
Ce qu'il faut lire : Retiens le sens de la phrase : « on partage le premier nombre en autant de parts que le second ». Si le résultat d'une division est plus petit que 11, c'est que l'on partageait un petit nombre entre beaucoup de parts.
La division n'est pas commutative : 12÷4=312 \div 4 = 3 mais 4÷12≈0,334 \div 12 \approx 0{,}33.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège du reste trop grand : si ton reste est supérieur ou égal au diviseur, il restait un paquet à faire — augmente le quotient de 11 et recommence.

✅ La suggestion

17=5×2+717 = 5 \times 2 + 7 est vrai, mais ce n'est pas une division euclidienne : 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2.

Et dans tous les cas, vérifie en multipliant : diviseur ×\times quotient ++ reste == dividende.

💡 À retenir

  • La division euclidienne de aa par bb donne : a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b.
  • Pour vérifier, on recalcule b×q+rb \times q + r et on vérifie qu'on retrouve aa.
  • La division n'est pas commutative : a÷b≠b÷aa \div b \neq b \div a en général.
  • La division décimale prolonge le calcul en ajoutant des zéros au reste.
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