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Division euclidienne et décimale

Quotient, reste, division posée

La division répond à la question : « Combien de fois bb tient-il dans aa ? » La division euclidienne donne un quotient entier et un reste.

La formule fondamentale : a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b. Exemple : 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2 — on fait 33 groupes de 55 et il reste 22.

La division décimale prolonge le calcul en ajoutant des zéros au reste pour obtenir des décimales. Attention : la division n'est pas commutative ! 12÷4≠4÷1212 \div 4 \neq 4 \div 12.

📖 Vocabulaire clé

Dividende : Le nombre que l'on divise. Dans a÷ba \div b, aa est le dividende.
Diviseur : Le nombre par lequel on divise. Dans a÷ba \div b, bb est le diviseur.
Quotient : Résultat de la division. En division euclidienne, c'est un entier.
Reste : Ce qui reste après la division euclidienne. Il vérifie 0≤r<b0 \leq r < b.

📋 Méthode en 5 étapes

  1. 1 Identifier le dividende et le diviseur.
  2. 2 Chercher combien de fois le diviseur « tient » dans les premiers chiffres. Exemple : 87÷587 \div 5 → 55 tient 1717 fois dans 8787.
  3. 3 Multiplier et soustraire pour trouver le reste partiel.
  4. 4 Abaisser le chiffre suivant et recommencer.
  5. 5 Vérifier : b×q+r=ab \times q + r = a. Exemple : 5×17+2=875 \times 17 + 2 = 87 ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Effectuer la division euclidienne de 157157 par 1212.
Démarche :
  1. 12×13=15612 \times 13 = 156 (le plus grand multiple de 1212 inférieur ou égal à 157157).
  2. Reste : 157−156=1157 - 156 = 1.
  3. Donc 157=12×13+1157 = 12 \times 13 + 1.
  4. Vérification : 12×13+1=156+1=15712 \times 13 + 1 = 156 + 1 = 157 ✓
Réponse : Quotient =13= 13, reste =1= 1.

📐 Formules clés

Division euclidienne : a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b
Vérification : b×q+r=ab \times q + r = a
Division exacte : r=0⇒a=b×qr = 0 \Rightarrow a = b \times q

🎨 Illustration

Division euclidienne
Poser une division « en potence »

Sur l'exemple du cours, 157=12×13+1157 = 12 \times 13 + 1 : le quotient et le reste s'obtiennent en descendant les chiffres du dividende un à un.

Division posee de 157 par 12 Le schema montre la division posee en potence de 157 par 12, avec les etapes de soustraction menant au quotient 13 et au reste 1. Dividende Diviseur 1 5 7 12 13 - 1 2 3 7 - 3 6 1 Vérification : 12 × 13 + 1 = 157
  • 1 1212 ne « tient » pas dans 11, donc on regarde les deux premiers chiffres : 1212 tient une fois dans 1515 (1×12=121 \times 12 = 12), reste 33.
  • 2 On abaisse le chiffre suivant, le 77 : on obtient 3737.
  • 3 1212 tient trois fois dans 3737 (3×12=363 \times 12 = 36), reste 37−36=137 - 36 = 1.
  • 4 Il n'y a plus de chiffre à abaisser : le reste final est 11, et 1<121 < 12 comme l'exige la division euclidienne.
Ce qu'il faut lire : Le quotient se construit chiffre par chiffre au-dessus de la barre, dans le même ordre que les chiffres abaissés du dividende.
Division posée de 157157 par 1212 : quotient 1313, reste 11, vérifiée par 12×13+1=15712 \times 13 + 1 = 157.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la division n'est pas commutative !

✅ La suggestion

12÷4≠4÷1212 \div 4 \neq 4 \div 12. Toujours vérifier en multipliant : quotient ×\times diviseur + reste = dividende.

💡 À retenir

  • La division euclidienne de aa par bb donne : a=b×q+ra = b \times q + r avec 0≤r<b0 \leq r < b.
  • Pour vérifier, on recalcule b×q+rb \times q + r et on vérifie qu'on retrouve aa.
  • La division n'est pas commutative : a÷b≠b÷aa \div b \neq b \div a en général.
  • La division décimale prolonge le calcul en ajoutant des zéros au reste.
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