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Multiplication des entiers et décimaux

Technique posée, placement de la virgule

Au marché, 2,32{,}3 kg de pommes à 1,41{,}4 € le kilo. La caissière annonce 32,232{,}2 €. Faut-il payer ?

Sûrement pas. Un rapide coup d'œil suffit : un peu plus de 22 kg à un peu plus de 11 € le kilo, cela doit faire environ 22 € — pas 3232. Quelqu'un a bien multiplié 2323 par 1414, mais a oublié de replacer la virgule. Le résultat juste est 3,223{,}22 €.

Voilà toute la difficulté de ce chapitre. Multiplier des décimaux revient à multiplier des entiers, ce que tu sais déjà faire — puis à replacer la virgule au bon endroit. Et c'est cette dernière étape, en apparence anodine, qui fait la différence entre 33 € et 3232 €.

Pourquoi la virgule tombe-t-elle là ? Parce que 2,3×1,4=2310×1410=23×14100=322100=3,222{,}3 \times 1{,}4 = \dfrac{23}{10} \times \dfrac{14}{10} = \dfrac{23 \times 14}{100} = \dfrac{322}{100} = 3{,}22. Les deux dénominateurs se multiplient, d'où la règle : le nombre de décimales du produit est la somme des décimales des deux facteurs.

Garde donc le réflexe de la caissière démasquée : estimer avant de conclure. Ici 2,3×1,4≈2×1=22{,}3 \times 1{,}4 \approx 2 \times 1 = 2, le résultat doit être proche de 22 — ni 0,20{,}2, ni 2020.

📖 Vocabulaire clé

Produit : Résultat d'une multiplication. Le produit de aa et bb est a×ba \times b.
Commutativité : a×b=b×aa \times b = b \times a : l'ordre des facteurs n'a pas d'importance.
Distributivité : a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c : on peut « développer » un produit.
Règle des décimales : Le nombre de décimales du produit = somme des décimales des deux facteurs.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Ignorer les virgules et multiplier comme des entiers. Exemple : 2,3×1,42{,}3 \times 1{,}4 → calculer 23×14=32223 \times 14 = 322.
  2. 2 Compter les décimales dans les deux facteurs : 2,32{,}3 a 11 décimale et 1,41{,}4 a 11 décimale → total =2= 2.
  3. 3 Placer la virgule : 322322 avec 22 décimales → 3,223{,}22.
  4. 4 Vérifier l'ordre de grandeur : 2×1=22 \times 1 = 2, et 3,22≈23{,}22 \approx 2 ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer 0,6×0,70{,}6 \times 0{,}7.
Démarche :
  1. On calcule 6×7=426 \times 7 = 42.
  2. Nombre de décimales : 1+1=21 + 1 = 2.
  3. On place la virgule : 0,420{,}42.
  4. Vérification : 0,6×0,7<10{,}6 \times 0{,}7 < 1 car les deux facteurs sont <1< 1. 0,42<10{,}42 < 1 ✓
Réponse : 0,6×0,7=0,420{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42

📐 Formules clés

a×b=b×aa \times b = b \times a (commutativité)
a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c (distributivité)
Décimales : x,ab⏟2 deˊc.×y,c⏟1 deˊc.⇒\underbrace{x{,}ab}_{2\text{ déc.}} \times \underbrace{y{,}c}_{1\text{ déc.}} \Rightarrow résultat avec 33 décimales

🎨 Illustrations

Multiplication et distributivité
Découper un rectangle d'aire pour voir la distributivité

Sur l'exemple du cours 7×5,2=7×5+7×0,27 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2, l'aire totale se calcule en additionnant celle des deux morceaux du rectangle.

Rectangle d'aire decoupe pour 7 fois 5,2 Le schema montre un rectangle de largeur 5,2 et de hauteur 7 decoupe en deux parties, largeur 5 et largeur 0,2, pour illustrer la distributivite. 5,2 7 5 0,2 7 × 5 = 35 7 × 0,2 = 1,4 Total : 35 + 1,4 = 36,4
  • 1 Le rectangle représente l'aire 7×5,27 \times 5{,}2 : on découpe la largeur 5,25{,}2 en 5+0,25 + 0{,}2 pour retrouver un calcul plus simple.
  • 2 Grand rectangle : 7×5=357 \times 5 = 35.
  • 3 Petit rectangle (largeur 0,20{,}2 agrandie sur le schéma pour rester lisible) : 7×0,2=1,47 \times 0{,}2 = 1{,}4.
  • 4 On additionne les deux aires : 35+1,4=36,435 + 1{,}4 = 36{,}4, donc 7×5,2=36,47 \times 5{,}2 = 36{,}4.
Ce qu'il faut lire : La distributivité a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c se voit directement : l'aire totale est la somme des deux aires du découpage.
Découpage d'aire illustrant 7×5,2=7×5+7×0,2=36,47 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2 = 36{,}4 (bande 0,20{,}2 non à l'échelle, agrandie pour la lisibilité).
Pourquoi 4 × 6 = 6 × 4
Un seul rectangle, deux lectures

Une multiplication se range en rectangle. En tournant la tête, le même rectangle se lit 44 rangées de 66 ou 66 colonnes de 44 : les jetons n'ont pas bougé, donc le total non plus. C'est toute la commutativité.

La disposition rectangulaire et la commutativite Un rectangle de jetons comporte 4 rangees de 6 jetons, soit 24 jetons en tout. A gauche du rectangle, une accolade verticale designe les 4 rangees ; au-dessus, une accolade horizontale designe les 6 colonnes. En lisant par rangees on compte 4 fois 6, en lisant par colonnes on compte 6 fois 4, et les deux lectures portent sur exactement les memes 24 jetons : le total est donc le meme. La conclusion est ecrite a droite : 4 fois 6 egale 6 fois 4 egale 24. 6 colonnes 4 rangées 4 fois 6 ou 6 fois 4 4 × 6 = 6 × 4 = 24
  • 1 Ranger une multiplication en rectangle transforme un calcul en collection d'objets : on peut la compter, donc la vérifier.
  • 2 Compter par rangées donne 4×64 \times 6, compter par colonnes donne 6×46 \times 4 — sur les mêmes jetons, donc avec le même total 2424.
  • 3 La commutativité a×b=b×aa \times b = b \times a n'est donc pas une règle à retenir : c'est la conséquence du fait qu'un rectangle se regarde dans les deux sens.
  • 4 C'est aussi ce qui permet de choisir l'ordre le plus commode : pour 25×425 \times 4, mieux vaut voir 44 paquets de 2525.
Ce qu'il faut lire : Compte une rangée : 66 jetons. Il y en a 44 : cela fait 4×64 \times 6. Maintenant compte une colonne : 44 jetons, et il y a 66 colonnes, soit 6×46 \times 4. Aucun jeton n'a été ajouté ni retiré entre les deux comptages, le total est forcément le même.
Disposition rectangulaire de 2424 jetons : 4×6=6×44 \times 6 = 6 \times 4.
La règle des décimales
Où se place la virgule dans 0,6×0,70{,}6 \times 0{,}7

On multiplie d'abord sans les virgules, puis on les compte. L'exemple du cours donne 6×7=426 \times 7 = 42, avec 1+1=21 + 1 = 2 décimales : le résultat est 0,420{,}42, et non 4,24{,}2.

Placement de la virgule dans le produit 0,6 fois 0,7 La demarche est presentee en trois etapes de gauche a droite. Premiere etape : on met les virgules de cote et on multiplie 6 par 7, ce qui donne 42. Deuxieme etape : on compte les chiffres apres la virgule, un dans 0,6 et un dans 0,7, ce qui fait deux au total. Troisieme etape : on repart de 42 et on recule la virgule de deux rangs vers la gauche, ce qui donne 0,42. Un controle est rappele en bas : les deux facteurs sont inferieurs a 1, donc le produit doit lui aussi etre inferieur a 1, ce que 0,42 verifie alors que 4,2 ne le verifierait pas. 1. sans les virgules 6 × 7 42 2. compter 0,6 : 1 décimale 0,7 : 1 décimale 2 en tout 3. reculer de 2 rangs 42 0,42 Contrôle : 0,6 et 0,7 sont plus petits que 1 donc le produit aussi. 0,42 convient, 4,2 serait trop grand.
  • 1 Étape 11 — on oublie complètement les virgules et on multiplie les entiers : 6×7=426 \times 7 = 42.
  • 2 Étape 22 — on compte les décimales des deux facteurs et on les additionne : 1+1=21 + 1 = 2.
  • 3 Étape 33 — on repart du résultat entier et on recule la virgule d'autant de rangs : 4242 devient 0,420{,}42.
  • 4 Le contrôle vient toujours en dernier : deux facteurs inférieurs à 11 donnent forcément un produit inférieur à 11. C'est ce qui élimine la réponse 4,24{,}2.
Ce qu'il faut lire : Suis le nombre 4242 d'une vignette à l'autre : il ne change jamais de valeur, seule sa virgule se déplace. La deuxième vignette ne calcule rien, elle ne fait que compter — et c'est pourtant elle qui décide du résultat.
Les trois temps du placement de la virgule : 6×7=426 \times 7 = 42, puis 1+1=21 + 1 = 2 décimales, donc 0,6×0,7=0,420{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42.
Le piège du zéro ajouté
Multiplier par 1010, ce n'est pas ajouter un zéro

« On ajoute un zéro » ne marche que sur les entiers, par accident. Sur un décimal, cette recette donne un résultat faux. La règle vraie est ailleurs : la virgule avance d'un rang vers la gauche du nombre.

Multiplier 3,45 par 10 : la bonne methode et l'erreur frequente La bonne methode est presentee en haut : pour multiplier 3,45 par 10, chaque chiffre change de rang et la virgule se retrouve decalee d'un rang, ce qui donne 34,5. Un tableau de rangs, des dizaines aux centiemes, montre le 3, le 4 et le 5 glisser chacun d'une case vers la gauche. En dessous, en trait tirete et en teinte faible, figure l'erreur frequente qui consiste a ajouter un zero a la fin : elle donne 3,450, qui est simplement egal a 3,45 et n'a donc pas ete multiplie du tout. La conclusion rappelle que ajouter un zero a la fin d'un decimal ne change pas sa valeur. Rangs : diz. unités dixièmes centièmes 3,45 3 , 4 5 chaque chiffre monte de un rang × 10 3 4 , 5 = 34,5 Recette fausse : ajouter un zéro à la fin 3,45 donnerait 3,450 — or 3,450 = 3,45 : rien ne change.
  • 1 Multiplier par 1010 fait changer chaque chiffre de rang : les dixièmes deviennent des unités, les unités des dizaines. Sur le papier, cela se voit comme un décalage de la virgule d'un rang.
  • 2 3,45×10=34,53{,}45 \times 10 = 34{,}5 — et non 3,4503{,}450.
  • 3 Ajouter un zéro à la fin d'un décimal ne change absolument pas sa valeur : 3,450=3,453{,}450 = 3{,}45. La recette du zéro ne « marche » sur les entiers que parce que, chez eux, ce zéro tombe justement au rang des unités.
  • 4 Par 100100, la virgule se décale de deux rangs ; par 1 0001\,000, de trois rangs.
Ce qu'il faut lire : Regarde le tableau de rangs plutôt que le nombre : le 33 passe des unités aux dizaines, le 44 des dixièmes aux unités, le 55 des centièmes aux dixièmes. Ce sont les chiffres qui se déplacent ; dire que « la virgule recule » est simplement une façon plus rapide de décrire le même mouvement.
3,45×10=34,53{,}45 \times 10 = 34{,}5 : chaque chiffre change de rang. La recette « ajouter un zéro » donnerait 3,4503{,}450, qui vaut toujours 3,453{,}45.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

pour 0,4×0,30{,}4 \times 0{,}3, on calcule 4×3=124 \times 3 = 12, puis 1+1=21 + 1 = 2 décimales → 0,120{,}12.

✅ La suggestion

Pas 1,21{,}2 ! Vérifier : les deux facteurs sont <1< 1, donc le produit est <1< 1.

💡 À retenir

  • On multiplie d'abord comme des entiers, puis on replace la virgule.
  • Nombre de décimales du résultat = somme des décimales des facteurs.
  • Toujours vérifier l'ordre de grandeur pour détecter une erreur de placement de virgule.
  • La distributivité permet le calcul mental : 7×5,2=7×5+7×0,2=36,47 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2 = 36{,}4.
← Addition et soustraction 6 / 49 → Division euclidienne et décimale