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Multiplication des entiers et décimaux

Technique posée, placement de la virgule

Multiplier des décimaux revient à multiplier des entiers puis à replacer la virgule au bon endroit.

Pourquoi ça marche ? $2{,}3 \times 1{,}4 = \dfrac{23}{10} \times \dfrac{14}{10} = \dfrac{23 \times 14}{100} = \dfrac{322}{100} = 3{,}22$ . Le nombre de décimales du produit est la somme des décimales des deux facteurs.

Estimation rapide : toujours vérifier l'ordre de grandeur. $2{,}3 \times 1{,}4 \approx 2 \times 1 = 2$ — le résultat doit être proche de $2$ , pas de $0{,}2$ ni de $20$ .

📖 Vocabulaire clé

Produit : Résultat d'une multiplication. Le produit de

a

b

est

a \times b

Commutativité :

a \times b = b \times a

: l'ordre des facteurs n'a pas d'importance.

Distributivité :

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

: on peut « développer » un produit.

Règle des décimales : Le nombre de décimales du produit = somme des décimales des deux facteurs.

📋 Méthode en 4 étapes

1 Ignorer les virgules et multiplier comme des entiers. Exemple : $2{,}3 \times 1{,}4$ → calculer $23 \times 14 = 322$ .
2 Compter les décimales dans les deux facteurs : $2{,}3$ a $1$ décimale et $1{,}4$ a $1$ décimale → total $= 2$ .
3 Placer la virgule : $322$ avec $2$ décimales → $3{,}22$ .
4 Vérifier l'ordre de grandeur : $2 \times 1 = 2$ , et $3{,}22 \approx 2$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer

0{,}6 \times 0{,}7

Démarche :

On calcule $6 \times 7 = 42$ .
Nombre de décimales : $1 + 1 = 2$ .
On place la virgule : $0{,}42$ .
Vérification : $0{,}6 \times 0{,}7 < 1$ car les deux facteurs sont $< 1$ . $0{,}42 < 1$ ✓

Réponse :

0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42

📐 Formules clés

a \times b = b \times a

(commutativité)

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

(distributivité)

Décimales :

\underbrace{x{,}ab}_{2\text{ déc.}} \times \underbrace{y{,}c}_{1\text{ déc.}} \Rightarrow

résultat avec

3

décimales

🎨 Illustration

Multiplication et distributivité

Découper un rectangle d'aire pour voir la distributivité

Sur l'exemple du cours $7 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2$ , l'aire totale se calcule en additionnant celle des deux morceaux du rectangle.

1 Le rectangle représente l'aire $7 \times 5{,}2$ : on découpe la largeur $5{,}2$ en $5 + 0{,}2$ pour retrouver un calcul plus simple.
2 Grand rectangle : $7 \times 5 = 35$ .
3 Petit rectangle (largeur $0{,}2$ agrandie sur le schéma pour rester lisible) : $7 \times 0{,}2 = 1{,}4$ .
4 On additionne les deux aires : $35 + 1{,}4 = 36{,}4$ , donc $7 \times 5{,}2 = 36{,}4$ .

Ce qu'il faut lire : La distributivité

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

se voit directement : l'aire totale est la somme des deux aires du découpage.

Découpage d'aire illustrant

7 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2 = 36{,}4

(bande

0{,}2

non à l'échelle, agrandie pour la lisibilité).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

pour $0{,}4 \times 0{,}3$ , on calcule $4 \times 3 = 12$ , puis $1 + 1 = 2$ décimales → $0{,}12$ .

✅ La suggestion

Pas $1{,}2$ ! Vérifier : les deux facteurs sont $< 1$ , donc le produit est $< 1$ .

💡 À retenir

On multiplie d'abord comme des entiers, puis on replace la virgule.
Nombre de décimales du résultat = somme des décimales des facteurs.
Toujours vérifier l'ordre de grandeur pour détecter une erreur de placement de virgule.
La distributivité permet le calcul mental : $7 \times 5{,}2 = 7 \times 5 + 7 \times 0{,}2 = 36{,}4$ .

← Addition et soustraction 6 / 49 → Division euclidienne et décimale