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Addition et soustraction

Entiers et décimaux, calcul posé et mental

À la caisse, deux articles : 12,512{,}5 € et 3,753{,}75 €. Tu poses l'addition en colonnes, comme avec les entiers, en alignant sagement les chiffres sur la droite.

Le chiffre 55 des dixièmes se retrouve alors sous le 55 des centièmes : on additionne 125125 et 375375, et l’on annonce 5050 €. Or 1212 € plus 33 €, cela fait forcément un peu plus de 1515 € — jamais 5050. Pourquoi la méthode qui marchait si bien avec les entiers se met-elle soudain à trahir ?

Parce qu'en alignant sur la droite, on a additionné des dixièmes avec des centièmes — des grandeurs qui ne sont pas du même rang, comme si l'on ajoutait des euros à des centimes. Un chiffre ne vaut que par sa position, et l'addition en colonnes suppose que chaque colonne parle de la même chose.

D'où la règle unique de ce chapitre : aligner les virgules, et non les bords. Les unités se retrouvent alors sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, et le calcul redevient fiable.

Si les nombres n'ont pas le même nombre de décimales, on complète avec des zéros : 8,78{,}7 devient 8,708{,}70. On calcule ensuite colonne par colonne, de droite à gauche. Pour l'addition, une retenue se propage quand une somme dépasse 99 ; pour la soustraction, un emprunt se propage quand le chiffre du haut est plus petit.

📖 Vocabulaire clé

Retenue : Quand la somme d'une colonne dépasse 99, on « retient » la dizaine pour la colonne suivante.
Emprunt : En soustraction, quand le chiffre du haut est plus petit, on emprunte 1010 à la colonne de gauche.
Commutativité : a+b=b+aa + b = b + a : l'ordre des termes n'a pas d'importance dans une addition.
Associativité : (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c) : on peut regrouper les termes librement.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Aligner les virgules et compléter avec des zéros. Exemple : 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75 → écrire 12,40+3,7512{,}40 + 3{,}75.
  2. 2 Opérer chiffre par chiffre de droite à gauche.
  3. 3 Gérer retenues/emprunts. Vérifier : (a−b)+b=a(a - b) + b = a.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer 15,2−6,7515{,}2 - 6{,}75.
Démarche :
  1. Écrire 15,20−6,7515{,}20 - 6{,}75 (aligner les virgules, compléter avec un zéro).
  2. Centièmes : 0−50 - 5 → emprunt → 10−5=510 - 5 = 5.
  3. Dixièmes : 2−1−72 - 1 - 7 → emprunt → 12−1−7=412 - 1 - 7 = 4.
  4. Unités : 5−1−65 - 1 - 6 → emprunt → 15−1−6=815 - 1 - 6 = 8.
Réponse : 15,2−6,75=8,4515{,}2 - 6{,}75 = 8{,}45

📐 Formules clés

a+b=b+aa + b = b + a (commutativité)
(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
Vérification de la soustraction : (a−b)+b=a(a - b) + b = a

🎨 Illustrations

Addition et soustraction
Poser une soustraction décimale avec retenues

Sur l'exemple du cours 15,20−6,7515{,}20 - 6{,}75, les virgules sont alignées et chaque emprunt se lit colonne par colonne jusqu'au résultat 8,458{,}45.

Soustraction posee de 15,20 par 6,75 Le schema montre la soustraction posee de 15,20 par 6,75 colonne par colonne, avec virgules alignees, emprunts successifs et resultat 8,45. Étape clé : aligner les virgules Diz. Unités Dix. Cent. 1 5 , 2 0 - 6 , 7 5 14-6=8 11-7=4 10-5=5 8 , 4 5
  • 1 On complète 15,215{,}2 en 15,2015{,}20 pour avoir autant de décimales que 6,756{,}75, puis on aligne les virgules avant tout calcul.
  • 2 Centièmes : 0−50 - 5 est impossible, on emprunte 11 dixième : 10−5=510 - 5 = 5.
  • 3 Dixièmes : après avoir prêté 11, il reste 11 dixième pour 77 ; on emprunte à nouveau à la colonne des unités : 11−7=411 - 7 = 4.
  • 4 Unités : après avoir prêté 11, il reste 44 unités pour 66 ; on emprunte à la dizaine : 14−6=814 - 6 = 8.
Ce qu'il faut lire : Le résultat se lit directement sous la barre, colonne par colonne : unités, dixièmes puis centièmes, dans le même ordre que le calcul.
Soustraction posée sur l'exemple du cours : 15,20−6,75=8,4515{,}20 - 6{,}75 = 8{,}45.
Le piège de l’alignement
On aligne les virgules, pas les derniers chiffres

Pour poser 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75, la tentation est d'aligner les nombres par la droite, comme pour des entiers. C'est justement l'erreur : ce qui doit se retrouver l'un sous l'autre, ce sont les chiffres de même rang.

Bonne et mauvaise pose de l'addition 12,4 plus 3,75 En haut figure la pose correcte de l'addition de 12,4 et 3,75 : les virgules sont l'une sous l'autre, on a complete 12,4 en 12,40 pour lui donner autant de decimales, et chaque colonne regroupe des chiffres de meme rang, ce qui donne le resultat 16,15. En dessous, en trait tirete et en teinte faible, figure la pose fausse ou les deux nombres ont ete cales par la droite : le 5 des centiemes se retrouve sous le 4 des dixiemes, les virgules ne sont plus alignees, et l'addition melange des rangs differents. La regle est rappelee : ce sont les rangs qui doivent se correspondre, pas les derniers chiffres ecrits. Rangs : unités dixièmes centièmes Pose juste : virgules alignées 1 2 , 4 0 + 3 , 7 5 1 6 , 1 5 on complète 12,4 en 12,40 Pose fausse : nombres calés par la droite 1 2 , 4 + 3 , 7 5 le 5 des cent. tombe sous le 4 des dixièmes
  • 1 Aligner les virgules, c'est mettre les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. La virgule n'est qu'un repère visible de ce rangement.
  • 2 Pour y arriver, on complète avec des zéros : 12,412{,}4 s'écrit 12,4012{,}40. Ce zéro ne change pas la valeur, il donne juste une place au rang des centièmes.
  • 3 La pose fausse cale les deux nombres par la droite, comme pour des entiers : le 55 des centièmes se retrouve alors sous le 44 des dixièmes, et l'addition additionne des grandeurs qui ne sont pas comparables.
  • 4 Résultat correct : 12,40+3,75=16,1512{,}40 + 3{,}75 = 16{,}15.
Ce qu'il faut lire : Regarde uniquement la colonne des virgules. En haut elle est parfaitement verticale : c'est le signe que chaque colonne regroupe un seul rang. En bas elle est en escalier, et il suffit de ce décalage pour que tout le calcul soit faux, même si chaque addition de colonne est juste.
La même addition posée deux fois : virgules alignées en haut, nombres calés par la droite en bas.
Ce que veut dire « je retiens 1 »
Dix unités font une dizaine

La retenue n'est pas un chiffre que l'on déplace par convention : c'est un échange. Dès qu'une colonne réunit 1010 jetons, ces dix jetons se remplacent par un seul jeton de la colonne de gauche, qui vaut autant.

La retenue expliquee par le groupement de dix unites On additionne 8 unites et 7 unites, ce qui fait 15 jetons dans la colonne des unites. Les jetons sont dessines et regroupes : dix d'entre eux sont entoures ensemble dans un cadre arrondi, et les cinq autres restent seuls a cote. Le paquet de dix est echange contre un unique jeton place dans la colonne des dizaines, qui devient la retenue. Il reste donc 5 unites ecrites au resultat et 1 dizaine reportee a gauche, ce qui donne quinze. La regle est rappelee sous la figure : on ecrit le chiffre des unites et on reporte la dizaine. 8 + 7 dans la colonne des unités : 15 jetons un paquet de 10 5 unités restantes se remplace par 1 dizaine reportée à gauche et 5 unités écrites au résultat : 8 + 7 = 15
  • 1 Quand une colonne dépasse 99, elle ne peut plus s'écrire avec un seul chiffre : il faut échanger.
  • 2 8+7=158 + 7 = 15 jetons. On en groupe 1010, que l'on remplace par 11 jeton de la colonne voisine à gauche — celle des dizaines.
  • 3 Il reste 55 jetons : c'est le chiffre que l'on écrit sous la barre. Le jeton échangé, lui, est la retenue que l'on ajoute à la colonne suivante.
  • 4 Le même échange fonctionne à tous les rangs : 1010 centièmes s'échangent contre 11 dixième, 1010 dixièmes contre 11 unité.
Ce qu'il faut lire : Compte les jetons de la figure : il y en a bien 1515 avant l'échange, et il y en a toujours 1515 après — un jeton de dizaine plus cinq jetons d'unité. Rien n'a été perdu ni créé : la retenue ne fait que réécrire la même quantité avec moins de jetons.
La retenue de 8+78 + 7 : dix unités groupées et échangées contre une dizaine, cinq unités restantes.
Vérifier sans refaire le calcul
Reculer puis avancer : (a−b)+b=a(a - b) + b = a

Sur une droite graduée, additionner c'est avancer et soustraire c'est reculer. Un aller-retour de même longueur ramène donc forcément au point de départ : c'est ce qui rend la vérification (a−b)+b=a(a - b) + b = a évidente.

Soustraire puis rajouter sur une droite graduee Une droite graduee va de 8 a 16, avec une graduation par unite. On part du point 15,2. Une premiere fleche recule de 6,75 vers la gauche et arrive au point 8,45 : c'est la soustraction 15,2 moins 6,75. Une seconde fleche repart de 8,45 et avance de la meme longueur 6,75 vers la droite : elle revient exactement au point de depart 15,2. Comme les deux deplacements ont la meme longueur et des sens opposes, ils s'annulent. C'est ce qui justifie la verification d'une soustraction : la difference a laquelle on rajoute le nombre soustrait redonne toujours le nombre de depart. 8 9 10 11 12 13 14 15 16 on recule de 6,75 départ : 15,2 on avance de 6,75 : retour au départ 8,45
  • 1 Sur la droite graduée, 15,2−6,7515{,}2 - 6{,}75 se lit comme un recul de 6,756{,}75 à partir de 15,215{,}2 : on arrive en 8,458{,}45.
  • 2 Rajouter 6,756{,}75 à 8,458{,}45 est le déplacement exactement inverse, de même longueur : on revient donc en 15,215{,}2.
  • 3 C'est la vérification écrite dans le cours : (a−b)+b=a(a - b) + b = a. Ici (15,2−6,75)+6,75=15,2(15{,}2 - 6{,}75) + 6{,}75 = 15{,}2.
  • 4 Cette vérification est utile parce qu'elle emploie l'opération inverse : refaire la soustraction reproduirait la même erreur, refaire l'addition non.
Ce qu'il faut lire : Les deux flèches ont rigoureusement la même longueur, seul leur sens diffère : c'est pour cela qu'elles s'annulent. Si, après avoir rajouté 6,756{,}75, tu ne retombes pas sur 15,215{,}2, la soustraction est fausse — et tu le sais sans avoir eu à la refaire.
Sur la droite graduée : reculer de 6,756{,}75 depuis 15,215{,}2 mène en 8,458{,}45, et avancer de 6,756{,}75 y ramène.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège fréquent : ne pas aligner les virgules !

✅ La suggestion

Pour calculer 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75, écrire 12,4012{,}40 (et non aligner le 33 sous le 11).

💡 À retenir

  • Toujours aligner les virgules avant de calculer.
  • Compléter avec des zéros pour avoir le même nombre de décimales.
  • L'addition est commutative et associative, pas la soustraction.
  • Vérifier une soustraction : (a−b)+b=a(a - b) + b = a.
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