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Addition et soustraction

Entiers et décimaux, calcul posé et mental

Additionner et soustraire des décimaux repose sur une règle unique : aligner les virgules. Cela garantit que l'on additionne des grandeurs de même rang.

Si les nombres n'ont pas le même nombre de décimales, on complète avec des zéros : 8,78{,}7 devient 8,708{,}70. On calcule ensuite colonne par colonne de droite à gauche.

Pour l'addition, une retenue se propage quand une somme dépasse 99. Pour la soustraction, un emprunt se propage quand le chiffre du haut est plus petit.

📖 Vocabulaire clé

Retenue : Quand la somme d'une colonne dépasse 99, on « retient » la dizaine pour la colonne suivante.
Emprunt : En soustraction, quand le chiffre du haut est plus petit, on emprunte 1010 à la colonne de gauche.
Commutativité : a+b=b+aa + b = b + a : l'ordre des termes n'a pas d'importance dans une addition.
Associativité : (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c) : on peut regrouper les termes librement.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Aligner les virgules et compléter avec des zéros. Exemple : 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75 → écrire 12,40+3,7512{,}40 + 3{,}75.
  2. 2 Opérer chiffre par chiffre de droite à gauche.
  3. 3 Gérer retenues/emprunts. Vérifier : (a−b)+b=a(a - b) + b = a.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer 15,2−6,7515{,}2 - 6{,}75.
Démarche :
  1. Écrire 15,20−6,7515{,}20 - 6{,}75 (aligner les virgules, compléter avec un zéro).
  2. Centièmes : 0−50 - 5 → emprunt → 10−5=510 - 5 = 5.
  3. Dixièmes : 2−1−72 - 1 - 7 → emprunt → 12−1−7=412 - 1 - 7 = 4.
  4. Unités : 5−1−65 - 1 - 6 → emprunt → 15−1−6=815 - 1 - 6 = 8.
Réponse : 15,2−6,75=8,4515{,}2 - 6{,}75 = 8{,}45

📐 Formules clés

a+b=b+aa + b = b + a (commutativité)
(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
Vérification de la soustraction : (a−b)+b=a(a - b) + b = a

🎨 Illustration

Addition et soustraction
Poser une soustraction décimale avec retenues

Sur l'exemple du cours 15,20−6,7515{,}20 - 6{,}75, les virgules sont alignées et chaque emprunt se lit colonne par colonne jusqu'au résultat 8,458{,}45.

Soustraction posee de 15,20 par 6,75 Le schema montre la soustraction posee de 15,20 par 6,75 colonne par colonne, avec virgules alignees, emprunts successifs et resultat 8,45. Étape clé : aligner les virgules Diz. Unités Dix. Cent. 1 5 , 2 0 - 6 , 7 5 14-6=8 11-7=4 10-5=5 8 , 4 5
  • 1 On complète 15,215{,}2 en 15,2015{,}20 pour avoir autant de décimales que 6,756{,}75, puis on aligne les virgules avant tout calcul.
  • 2 Centièmes : 0−50 - 5 est impossible, on emprunte 11 dixième : 10−5=510 - 5 = 5.
  • 3 Dixièmes : après avoir prêté 11, il reste 11 dixième pour 77 ; on emprunte à nouveau à la colonne des unités : 11−7=411 - 7 = 4.
  • 4 Unités : après avoir prêté 11, il reste 44 unités pour 66 ; on emprunte à la dizaine : 14−6=814 - 6 = 8.
Ce qu'il faut lire : Le résultat se lit directement sous la barre, colonne par colonne : unités, dixièmes puis centièmes, dans le même ordre que le calcul.
Soustraction posée sur l'exemple du cours : 15,20−6,75=8,4515{,}20 - 6{,}75 = 8{,}45.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège fréquent : ne pas aligner les virgules !

✅ La suggestion

Pour calculer 12,4+3,7512{,}4 + 3{,}75, écrire 12,4012{,}40 (et non aligner le 33 sous le 11).

💡 À retenir

  • Toujours aligner les virgules avant de calculer.
  • Compléter avec des zéros pour avoir le même nombre de décimales.
  • L'addition est commutative et associative, pas la soustraction.
  • Vérifier une soustraction : (a−b)+b=a(a - b) + b = a.
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