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Nombres entiers et décimaux

Lire, écrire, comparer, ranger

Mesure la longueur de ta trousse avec une règle graduée. Il y a de fortes chances qu'elle ne tombe pas pile sur une graduation : elle fait plus de 1818 cm, moins de 1919 cm. Que répondre alors ?

Dire « environ 1818 » est insuffisant dès qu'il faut découper une planche ou commander une pièce. C'est le problème qu'ont rencontré, pendant des siècles, tous ceux qui mesuraient : les entiers ne suffisent pas, parce que le monde ne se laisse pas mesurer en nombres ronds.

La solution trouvée est d'une simplicité redoutable : on continue de couper en dix. Chaque centimètre est partagé en 1010 millimètres, et l'on écrit ce qui dépasse à droite d'une virgule. Ta trousse mesure 18,418{,}4 cm — c'est-à-dire 1818 centimètres et 44 dixièmes.

Un nombre décimal a donc une partie entière (à gauche de la virgule) et une partie décimale (à droite). Ainsi 3,753{,}75, c'est 33 unités ++ 77 dixièmes ++ 55 centièmes.

Une vigilance s'impose aussitôt : on croit souvent que 1,12>1,91{,}12 > 1{,}9 parce que « 12>912 > 9 ». Ce raisonnement d'entier ne fonctionne plus ici. Il faut comparer position par position en partant de la gauche : les dixièmes (11 contre 99) tranchent déjà, et 1,9>1,121{,}9 > 1{,}12.

Tout repose sur la valeur positionnelle : la valeur d'un chiffre dépend de sa place. Avoir plus de chiffres ne veut pas dire être plus grand.

📖 Vocabulaire clé

Partie entière : Les chiffres à gauche de la virgule. Pour 47,3547{,}35, la partie entière est 4747.
Partie décimale : Les chiffres à droite de la virgule. Pour 47,3547{,}35, la partie décimale est 3535 (3 dixièmes et 5 centièmes).
Valeur positionnelle : La valeur d'un chiffre dépend de sa position : dixièmes (×110\times \frac{1}{10}), centièmes (×1100\times \frac{1}{100}), millièmes (×11000\times \frac{1}{1000}).
Encadrement : Placer un nombre entre les deux entiers consécutifs qui l'entourent : 7<7,83<87 < 7{,}83 < 8. On dit que 77 et 88 encadrent 7,837{,}83 à l'unité près.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Identifier la partie entière et la partie décimale. Exemple : 56,70956{,}709 → partie entière = 5656, dixièmes = 77, centièmes = 00, millièmes = 99.
  2. 2 Repérer la valeur positionnelle de chaque chiffre. Exemple : dans 3,753{,}75, le 77 vaut 7×0,1=0,77 \times 0{,}1 = 0{,}7 et le 55 vaut 5×0,01=0,055 \times 0{,}01 = 0{,}05.
  3. 3 Comparer : aligner les virgules et comparer chiffre par chiffre en partant de la gauche. Exemple : 2,9>2,502{,}9 > 2{,}50 car les dixièmes (9>59 > 5) suffisent.
  4. 4 Ranger : du plus petit au plus grand (croissant) ou l'inverse (décroissant).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Ranger dans l'ordre croissant : 5,075{,}07 ; 5,75{,}7 ; 5,0075{,}007 ; 5,705{,}70.
Démarche :
  1. Parties entières toutes égales à 55.
  2. Dixièmes : 5,0075{,}007 a 00 dixième, 5,075{,}07 a 00 dixième, 5,75{,}7 et 5,705{,}70 ont 77 dixièmes.
  3. Pour 5,0075{,}007 vs 5,075{,}07 : centièmes 0<70 < 7, donc 5,007<5,075{,}007 < 5{,}07.
  4. 5,7=5,705{,}7 = 5{,}70 (même valeur).
Réponse : 5,007<5,07<5,7=5,705{,}007 < 5{,}07 < 5{,}7 = 5{,}70

📐 Formules clés

3,75=3+710+5100=3+0,7+0,053{,}75 = 3 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{5}{100} = 3 + 0{,}7 + 0{,}05
Comparer : a,bc<a,bda{,}bc < a{,}bd si c<dc < d (à partie entière égale)
Encadrement entier : tout décimal est compris entre deux entiers consécutifs, par exemple 7<7,83<87 < 7{,}83 < 8

🎨 Illustrations

Nombres décimaux
Positionner des décimaux proches sur une droite graduée

Sur l'exemple du cours, 5,0075{,}007, 5,075{,}07 et 5,75{,}7 (=5,70= 5{,}70) se comparent en regardant les dixièmes, puis les centièmes.

Droite graduee comparant 5,007 ; 5,07 et 5,7 Le schema montre une droite graduee de 5,0 a 5,8 avec les points 5,007 ; 5,07 et 5,7 places selon leur valeur, 5,7 et 5,70 etant le meme point. Ordre : 5,007 < 5,07 < 5,7 = 5,70 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,007 5,07 5,7 = 5,70
  • 1 Les parties entières valent toutes 55 : on compare donc les dixièmes en premier.
  • 2 5,0075{,}007 et 5,075{,}07 ont 00 dixième ; on compare alors les centièmes : 0<70 < 7, donc 5,007<5,075{,}007 < 5{,}07.
  • 3 5,75{,}7 a 77 dixièmes, largement plus que les deux précédents : c'est le plus grand des trois valeurs distinctes.
  • 4 Ajouter un zéro à droite ne change pas la valeur : 5,7=5,705{,}7 = 5{,}70, ils occupent donc le même point sur la droite.
Ce qu'il faut lire : Plus de chiffres après la virgule ne signifie pas « plus grand » : 5,0075{,}007 a trois décimales mais reste le plus petit des quatre nombres.
Droite graduée positionnant 5,0075{,}007, 5,075{,}07 et 5,75{,}7 (=5,70= 5{,}70) selon l'exemple du cours.
Valeur positionnelle
Ce que vaut chaque chiffre de 3,753{,}75

Un chiffre ne vaut pas ce qu'il est écrit, il vaut ce que sa colonne lui donne : dans 3,753{,}75, le 77 ne vaut pas sept, il vaut 0,70{,}7, et le 55 ne vaut pas cinq, il vaut 0,050{,}05.

Tableau de numeration decomposant le nombre 3,75 Un tableau de numeration a trois colonnes est dessine : unites, dixiemes et centiemes. Le chiffre 3 est place dans la colonne des unites, le chiffre 7 dans la colonne des dixiemes et le chiffre 5 dans la colonne des centiemes. Une virgule separe la colonne des unites des deux colonnes suivantes. Sous chaque colonne est indiquee la valeur reelle du chiffre qui s y trouve : le 3 vaut 3, le 7 vaut 0,7 et le 5 vaut 0,05. Une derniere ligne rappelle que la somme de ces trois valeurs, 3 plus 0,7 plus 0,05, redonne bien le nombre 3,75. Chaque colonne vaut dix fois moins que celle placee immediatement a sa gauche. Le nombre 3,75 rangé dans son tableau de numération unités dixièmes centièmes 3 7 5 , vaut 3 vaut 0,7 vaut 0,05 3 + 0,7 + 0,05 = 3,75
  • 1 Chaque colonne vaut dix fois moins que celle qui la précède : unités, puis dixièmes (×0,1\times 0{,}1), puis centièmes (×0,01\times 0{,}01).
  • 2 Le 77 occupe la colonne des dixièmes, il vaut donc 7×0,1=0,77 \times 0{,}1 = 0{,}7 ; le 55 occupe celle des centièmes, il vaut 5×0,01=0,055 \times 0{,}01 = 0{,}05.
  • 3 En additionnant les valeurs réelles on retrouve le nombre entier de départ : 3+0,7+0,05=3,753 + 0{,}7 + 0{,}05 = 3{,}75. C'est la vérification qui prouve qu'on a bien lu le tableau.
Ce qu'il faut lire : Lis le tableau de haut en bas, colonne par colonne. La ligne du milieu donne le chiffre écrit, la ligne du bas donne ce qu'il vaut vraiment. Un même chiffre 77 vaudrait 7070 dans la colonne des dizaines et 0,070{,}07 dans celle des centièmes : seule la position décide.
Décomposition positionnelle de 3,753{,}75 : 33 unités, 77 dixièmes et 55 centièmes.
Le piège du chapitre
Pourquoi 1,91{,}9 est plus grand que 1,121{,}12

Comparer deux décimaux, ce n'est jamais comparer les parties décimales comme des entiers. On aligne les virgules et on descend colonne par colonne : la première différence tranche, et ici les dixièmes suffisent.

Comparaison colonne par colonne de 1,9 et 1,12 Deux nombres sont ecrits l un sous l autre, alignes sur leur virgule : 1,9 en haut et 1,12 en dessous. Trois colonnes sont marquees : les unites, les dixiemes et les centiemes. Dans la colonne des unites les deux nombres portent le meme chiffre 1, la comparaison ne tranche donc pas et on passe a la colonne suivante. Dans la colonne des dixiemes, le premier nombre porte un 9 et le second un 1 : neuf est plus grand que un, la comparaison est terminee et le premier nombre est le plus grand. La colonne des centiemes est barree car on ne la lit meme pas. En bas figure la conclusion correcte, 1,9 est superieur a 1,12, puis en dessous, en trait plus faible et tirete, le raisonnement errone qui consiste a dire douze est plus grand que neuf donc 1,12 serait le plus grand. On aligne les virgules, puis on descend colonne par colonne unités dixièmes centièmes 1 9 0 1 1 2 1,9 1,12 égaux 9 > 1 jamais lue 1,9 > 1,12 à éviter : dire 12 > 9 donc 1,12 serait le plus grand
  • 1 Les parties entières sont égales (11 et 11) : cette colonne ne tranche pas, on passe à la suivante.
  • 2 Les dixièmes tranchent immédiatement : 9>19 > 1, donc 1,9>1,121{,}9 > 1{,}12. La comparaison s'arrête là, les centièmes ne sont même pas lus.
  • 3 Le raisonnement « 12>912 > 9 » compare 1212 centièmes à 99 dixièmes, c'est-à-dire deux grandeurs qui n'ont pas la même unité. Pour les comparer honnêtement il faudrait écrire 1,901{,}90 et 1,121{,}12, et alors 90>1290 > 12.
Ce qu'il faut lire : Descends les colonnes de gauche à droite et arrête-toi à la première où les chiffres diffèrent : c'est elle qui décide, tout ce qui suit est inutile. Si une écriture a moins de décimales que l'autre, complète-la par des zéros à droite (1,9=1,901{,}9 = 1{,}90) pour que les colonnes se correspondent.
Comparaison position par position : les dixièmes suffisent à conclure que 1,9>1,121{,}9 > 1{,}12.
Encadrement
Entre quels entiers se trouve 7,837{,}83 ?

Tout décimal est coincé entre deux entiers consécutifs. Les lire sur la droite graduée donne un ordre de grandeur immédiat, avant même de regarder le détail des décimales.

Encadrement de 7,83 entre les entiers 7 et 8 Une droite graduee va de l entier 7 a l entier 8. L intervalle entre ces deux entiers est partage en dix graduations egales qui correspondent aux dixiemes. Le nombre 7,83 est place par un point plein entre la huitieme et la neuvieme graduation, donc nettement plus pres de 8 que de 7. Deux traits verticaux marquent les bornes 7 et 8 et une bande coloree couvre l intervalle qui va de 7 jusqu au point. On lit ainsi l encadrement 7 inferieur a 7,83 inferieur a 8. Une mention indique que le point est plus proche de 8, donc que l arrondi a l unite vaut 8. 7 8 7,83 7 < 7,83 < 8 le point tombe après le milieu : arrondi à une unité, 8
  • 1 Les deux entiers qui encadrent un décimal se lisent directement dans son écriture : la partie entière de 7,837{,}83 est 77, donc 7<7,83<87 < 7{,}83 < 8.
  • 2 L'intervalle est coupé en 1010 graduations : chacune vaut 0,10{,}1. Le point se place à la 8e8^{\text{e}} graduation, plus un peu, puisque 7,837{,}83 compte 88 dixièmes et 33 centièmes.
  • 3 Le milieu de l'intervalle est 7,57{,}5. Le point tombe après ce milieu, donc l'arrondi à l'unité est 88 et non 77.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord les deux entiers, c'est-à-dire les deux traits forts. Compte ensuite les petites graduations depuis celui de gauche : chacune vaut un dixième. Cette lecture grossière suffit souvent pour vérifier qu'un résultat de calcul est plausible.
Encadrement à l'unité : 7<7,83<87 < 7{,}83 < 8, avec un arrondi à 88.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

affirmer que 1,12>1,91{,}12 > 1{,}9 parce que 12>912 > 9.

✅ La suggestion

Ce raisonnement ne fonctionne pas pour les décimaux : il faut comparer les dixièmes d'abord : 9>19 > 1, donc 1,9>1,121{,}9 > 1{,}12.

💡 À retenir

  • Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule.
  • On compare chiffre par chiffre de gauche à droite : les dixièmes d'abord, puis les centièmes.
  • Plus de chiffres après la virgule ne signifie pas « plus grand » (2,9>2,502{,}9 > 2{,}50).
  • Ajouter des zéros à droite ne change pas la valeur : 2,5=2,50=2,5002{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500.
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