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Nombres entiers et décimaux

Lire, écrire, comparer, ranger

Un nombre décimal s'écrit avec une partie entière (à gauche de la virgule) et une partie décimale (à droite). Par exemple, $3{,}75$ = 3 unités + 7 dixièmes + 5 centièmes.

L'erreur la plus fréquente : croire que $1{,}12 > 1{,}9$ parce que « $12 > 9$ ». Ce raisonnement ne marche pas avec les décimaux : il faut comparer position par position en partant de la gauche. Les dixièmes ( $1$ vs $9$ ) donnent déjà la réponse : $1{,}9 > 1{,}12$ .

Ce concept de valeur positionnelle est fondamental : chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position (unités, dixièmes, centièmes…). Plus de chiffres ne veut pas dire plus grand.

📖 Vocabulaire clé

Partie entière : Les chiffres à gauche de la virgule. Pour

47{,}35

, la partie entière est

47

Partie décimale : Les chiffres à droite de la virgule. Pour

47{,}35

, la partie décimale est

35

(3 dixièmes et 5 centièmes).

Valeur positionnelle : La valeur d'un chiffre dépend de sa position : dixièmes (

\times \frac{1}{10}

), centièmes (

\times \frac{1}{100}

), millièmes (

\times \frac{1}{1000}

Encadrement : Placer un nombre entre les deux entiers consécutifs qui l'entourent :

7 < 7{,}83 < 8

. On dit que

7

8

encadrent

7{,}83

à l'unité près.

📋 Méthode en 4 étapes

1 Identifier la partie entière et la partie décimale. Exemple : $56{,}709$ → partie entière = $56$ , dixièmes = $7$ , centièmes = $0$ , millièmes = $9$ .
2 Repérer la valeur positionnelle de chaque chiffre. Exemple : dans $3{,}75$ , le $7$ vaut $7 \times 0{,}1 = 0{,}7$ et le $5$ vaut $5 \times 0{,}01 = 0{,}05$ .
3 Comparer : aligner les virgules et comparer chiffre par chiffre en partant de la gauche. Exemple : $2{,}9 > 2{,}50$ car les dixièmes ( $9 > 5$ ) suffisent.
4 Ranger : du plus petit au plus grand (croissant) ou l'inverse (décroissant).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Ranger dans l'ordre croissant :

5{,}07

;

5{,}7

;

5{,}007

;

5{,}70

Démarche :

Parties entières toutes égales à $5$ .
Dixièmes : $5{,}007$ a $0$ dixième, $5{,}07$ a $0$ dixième, $5{,}7$ et $5{,}70$ ont $7$ dixièmes.
Pour $5{,}007$ vs $5{,}07$ : centièmes $0 < 7$ , donc $5{,}007 < 5{,}07$ .
$5{,}7 = 5{,}70$ (même valeur).

Réponse :

5{,}007 < 5{,}07 < 5{,}7 = 5{,}70

📐 Formules clés

3{,}75 = 3 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{5}{100} = 3 + 0{,}7 + 0{,}05

Comparer :

a{,}bc < a{,}bd

c < d

(à partie entière égale)

Encadrement entier : tout décimal est compris entre deux entiers consécutifs, par exemple

7 < 7{,}83 < 8

🎨 Illustration

Nombres décimaux

Positionner des décimaux proches sur une droite graduée

Sur l'exemple du cours, $5{,}007$ , $5{,}07$ et $5{,}7$ ( $= 5{,}70$ ) se comparent en regardant les dixièmes, puis les centièmes.

1 Les parties entières valent toutes $5$ : on compare donc les dixièmes en premier.
2 $5{,}007$ et $5{,}07$ ont $0$ dixième ; on compare alors les centièmes : $0 < 7$ , donc $5{,}007 < 5{,}07$ .
3 $5{,}7$ a $7$ dixièmes, largement plus que les deux précédents : c'est le plus grand des trois valeurs distinctes.
4 Ajouter un zéro à droite ne change pas la valeur : $5{,}7 = 5{,}70$ , ils occupent donc le même point sur la droite.

Ce qu'il faut lire : Plus de chiffres après la virgule ne signifie pas « plus grand » :

5{,}007

a trois décimales mais reste le plus petit des quatre nombres.

Droite graduée positionnant

5{,}007

5{,}07

5{,}7

(

= 5{,}70

) selon l'exemple du cours.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

affirmer que $1{,}12 > 1{,}9$ parce que $12 > 9$ .

✅ La suggestion

Ce raisonnement ne fonctionne pas pour les décimaux : il faut comparer les dixièmes d'abord : $9 > 1$ , donc $1{,}9 > 1{,}12$ .

💡 À retenir

Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule.
On compare chiffre par chiffre de gauche à droite : les dixièmes d'abord, puis les centièmes.
Plus de chiffres après la virgule ne signifie pas « plus grand » ( $2{,}9 > 2{,}50$ ).
Ajouter des zéros à droite ne change pas la valeur : $2{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500$ .

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