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Angles

Mesurer, construire, types d'angles

🔬 Application physique-chimie : Au cycle 4, ces mesures servent à démontrer : deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes et correspondants, dont l'égalité prouve le parallélisme. La somme des angles du triangle, vue ici, s'étend alors à tous les polygones.
Poussez une porte : elle s'entrouvre à peine, puis à moitié, puis complètement. Comment dire à quelqu'un, au téléphone, de quelle « quantité » exactement la porte est ouverte ?

Donner sa largeur ne sert à rien : la porte a toujours la même largeur, ouverte ou fermée. Mesurer l'écart entre son bord et le mur ne marche pas mieux, car cet écart change selon qu'on le mesure en haut de la porte ou près des gonds. Aucune longueur ne répond à la question.

C'est qu'il s'agit d'une grandeur d'une autre nature : un angle, c'est-à-dire l'écartement entre deux demi-droites parties d'un même sommet. Sa grande propriété est justement de ne pas dépendre de la longueur des côtés : un angle de 60°60° reste un angle de 60°60° que les côtés mesurent 11 cm ou 11 km.

On le mesure en degrés (°) avec un rapporteur, en se raccrochant à trois repères familiers : un tour complet fait 360°360°, un demi-tour 180°180°, un quart de tour 90°90°.

Une fois cette mesure en main, on peut raisonner sans rien tracer : deux angles complémentaires ont pour somme 90°90°, deux angles supplémentaires 180°180°. On retrouvera ces angles partout, jusqu'en physique — angle d'incidence en optique, inclinaison d'un plan en mécanique.

📖 Vocabulaire clé

Angle aigu : Angle dont la mesure est comprise entre 0°0° et 90°90° (exclu).
Angle droit : Angle mesurant exactement 90°90°. Symbolisé par un petit carré.
Angle obtus : Angle dont la mesure est comprise entre 90°90° (exclu) et 180°180° (exclu).
Angles complémentaires : Deux angles dont la somme vaut 90°90°. Exemple : 35°35° et 55°55°.
Angles supplémentaires : Deux angles dont la somme vaut 180°180°. Exemple : 120°120° et 60°60°.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Identifier le type d'angle : aigu (0°<α<90°0° < \alpha < 90°), droit (=90°= 90°), obtus (90°<α<180°90° < \alpha < 180°), plat (=180°= 180°). Exemple : α=115°\alpha = 115° est obtus car 90°<115°<180°90° < 115° < 180°.
  2. 2 Utiliser les relations d'angles : complémentaires (somme =90°= 90°), supplémentaires (somme =180°= 180°), triangle (somme =180°= 180°). Exemple : dans un triangle avec 47°47° et 68°68°, le troisième angle =180°−47°−68°=65°= 180° - 47° - 68° = 65°.
  3. 3 Mesurer au rapporteur : poser le centre sur le sommet, aligner le 00 sur un côté, lire la graduation traversée par l'autre côté sur la série de nombres qui part de ce 00.

    Contrôle : un angle plus fermé que l'angle droit mesure moins de 90°90°, un angle plus ouvert mesure plus de 90°90°. Si la lecture contredit ce contrôle, c'est l'autre graduation qu'il fallait lire.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 37°37°. Calculer l'autre angle aigu.
Démarche :
  1. Un triangle rectangle a un angle de 90°90°.
  2. La somme des trois angles d'un triangle vaut 180°180°.
  3. α=180°−90°−37°=53°\alpha = 180° - 90° - 37° = 53°.
  4. Vérification : 90°+37°+53°=180°90° + 37° + 53° = 180° ✓
Réponse : L'autre angle aigu mesure 53°53°.

📐 Formules clés

α+β=90°\alpha + \beta = 90° (angles complémentaires)
α+β=180°\alpha + \beta = 180° (angles supplémentaires)
A^+B^+C^=180°\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180° (triangle)
Un tour complet mesure 360°360°, un demi-tour 180°180°, un quart de tour 90°90°

🎨 Illustrations

Types d'angles et somme d'un triangle
Reconnaître aigu, droit, obtus, plat — et retrouver les 180° d'un triangle

Le même sommet, un écartement différent : c'est la seule chose qui distingue un angle aigu, droit, obtus ou plat. Dans un triangle, les trois angles s'additionnent toujours à 180°180°.

Quatre types d'angles et un triangle rectangle Quatre secteurs angulaires (45°, 90°, 120°, 180°) et un triangle rectangle dont les angles mesurent 37°, 53° et 90°, soit une somme de 180°. Aigu 45° Droit 90° Obtus 120° Plat 180° Triangle — la somme des angles vaut 180° A B C 37° 53° 90° 37° + 53° + 90° = 180°
  • 1 Angle aigu (ici 45°45°) : strictement compris entre 0°0° et 90°90°.
  • 2 Angle droit (90°90°) : repéré par le petit carré au sommet, jamais par un arc.
  • 3 Angle obtus (ici 120°120°) : strictement compris entre 90°90° et 180°180°.
  • 4 Angle plat (180°180°) : les deux côtés forment une ligne droite.
  • 5 Dans le triangle rectangle de l'exemple du cours, les trois angles vérifient 37°+53°+90°=180°37° + 53° + 90° = 180°.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le sommet, le point où les deux côtés se rejoignent : c'est entre ces deux côtés que se mesure l'angle, jamais le long d'un seul côté.
Les quatre types d'angles (aigu, droit, obtus, plat) et le triangle rectangle de l'exemple du cours, où 37°+53°+90°=180°37° + 53° + 90° = 180°.
Mode d'emploi
Placer le rapporteur pour mesurer un angle

Trois gestes, toujours les mêmes : le centre du rapporteur sur le sommet, le zéro sur un côté, puis on lit où passe l'autre côté.

Un rapporteur pose sur un angle de 50 degres Un rapporteur demi-circulaire est pose sur un angle a mesurer. Le centre du rapporteur, marque par un point, est place exactement sur le sommet de l'angle. Le trait du zero est aligne sur le cote horizontal de l'angle. Le second cote de l'angle traverse le bord gradue du rapporteur en face de la graduation 50, ce qui donne la mesure de l'angle : 50 degres. Trois reperes numerotes rappellent les trois gestes : poser le centre sur le sommet, aligner le zero sur un cote, puis lire la graduation traversee par l'autre cote. 50° centre sur le sommet zéro sur ce côté on lit ici 1 — poser le centre sur le sommet 2 — aligner le 0 sur un côté 3 — lire la graduation du second côté 0 180 90
  • 1 Geste 1 : le centre du rapporteur (le petit repère au milieu du bord droit) se pose exactement sur le sommet de l'angle.
  • 2 Geste 2 : le 00 se place sur l'un des deux côtés — peu importe lequel, mais il faut ensuite lire sur la graduation qui part de ce 00.
  • 3 Geste 3 : on lit la graduation traversée par le second côté. Ici l'angle mesure 50°50°.
Ce qu'il faut lire : Si le sommet n'est pas exactement sous le centre du rapporteur, toute la mesure est fausse, même si la lecture est soignée : c'est le geste 11 qui décide de la précision, pas le geste 33.
Les trois gestes de la mesure au rapporteur, sur un angle de 50°50°.
Le piège du rapporteur
Deux graduations : 50°50° ou 130°130° ?

Un rapporteur porte deux séries de nombres qui vont en sens contraires. Sur le même trait on lit à la fois 5050 et 130130 : c'est la forme de l'angle, et elle seule, qui dit lequel est le bon.

Les deux graduations opposees d'un rapporteur Un meme trait de rapporteur porte deux nombres : cinquante sur la graduation exterieure qui se lit de gauche a droite, et cent trente sur la graduation interieure qui se lit de droite a gauche. A gauche du schema, un angle aigu nettement plus ferme qu'un angle droit doit se lire cinquante degres. A droite, un angle obtus nettement plus ouvert qu'un angle droit doit se lire cent trente degres. La regle de controle est rappelee : un angle plus ferme que le droit mesure moins de quatre-vingt-dix degres, un angle plus ouvert mesure plus de quatre-vingt-dix degres. Sur le même trait on lit 50 et 130 50° angle droit plus fermé que le droit donc moins de 90° : on lit 50° 130° plus ouvert que le droit donc plus de 90° : on lit 130°
  • 1 Les deux graduations sont supplémentaires : 50+130=18050 + 130 = 180. C'est pourquoi une erreur de graduation donne toujours le supplémentaire de la bonne réponse, jamais une valeur au hasard.
  • 2 Le seul contrôle fiable est visuel : comparer l'angle à l'angle droit avant de lire le nombre.
  • 3 Plus fermé que l'angle droit ⇒\Rightarrow moins de 90°90° ; plus ouvert ⇒\Rightarrow plus de 90°90°.
Ce qu'il faut lire : Prends l'habitude d'annoncer la réponse avant de lire le rapporteur : « cet angle est aigu, je m'attends à moins de 90°90° ». Si le nombre lu contredit l'annonce, c'est la graduation qui est mauvaise, pas l'annonce.
Le piège des deux graduations : le même trait porte 5050 et 130130.
Deux mots à ne pas confondre
Complémentaires (90°90°) et supplémentaires (180°180°)

Deux angles complémentaires forment ensemble un angle droit ; deux angles supplémentaires forment un angle plat. La figure donne le moyen de ne plus les intervertir.

Angles complementaires et angles supplementaires A gauche, deux angles de 35 et 55 degres sont accoles au meme sommet : ensemble ils forment un angle droit de 90 degres, ce sont des angles complementaires. A droite, deux angles de 120 et 60 degres sont accoles au meme sommet le long d'une droite : ensemble ils forment un angle plat de 180 degres, ce sont des angles supplementaires. Les deux exemples reprennent les valeurs des definitions du cours. COMPLÉMENTAIRES : 90° 35° 55° 35 + 55 = 90 : un angle droit SUPPLÉMENTAIRES : 180° 60° 120° 120 + 60 = 180 : un angle plat le mot le plus court va avec le nombre le plus petit
  • 1 Complémentaires : 35°+55°=90°35° + 55° = 90°, les deux côtés extérieurs forment un angle droit.
  • 2 Supplémentaires : 120°+60°=180°120° + 60° = 180°, les deux côtés extérieurs sont alignés et forment une droite.
  • 3 Moyen mnémotechnique : le mot le plus court (complémentaires) va avec le nombre le plus petit (90°90°).
Ce qu'il faut lire : Cherche toujours ce que forment les deux côtés extérieurs : s'ils dessinent un coin, les angles sont complémentaires ; s'ils dessinent une droite, ils sont supplémentaires. Le nom se déduit du dessin, il n'y a rien à apprendre par cœur.
Angles complémentaires (35°+55°=90°35° + 55° = 90°) et supplémentaires (120°+60°=180°120° + 60° = 180°).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Piège du rapporteur : le même trait porte deux nombres (5050 et 130130, par exemple).

✅ La suggestion

Avant de lire, regarde l'angle : plus fermé qu'un angle droit, il mesure moins de 90°90° ; plus ouvert, plus de 90°90°.

Et souviens-toi qu'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés : 60°60° reste 60°60° que les côtés mesurent 11 cm ou 11 km.

💡 À retenir

  • Un angle mesure l'écartement entre deux demi-droites, indépendamment de leur longueur.
  • Complémentaires : somme =90°= 90°. Supplémentaires : somme =180°= 180°.
  • La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°180°.
  • Ne pas confondre la mesure d'un angle avec la longueur d'un côté.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Au cycle 4, ces mesures servent à démontrer : deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes et correspondants, dont l'égalité prouve le parallélisme. La somme des angles du triangle, vue ici, s'étend alors à tous les polygones.

Mots-clés associés : Angle aiguAngle obtusAngle droitDegréAngles supplémentairesAngles complémentaires
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