Fractions

Nommer, simplifier, comparer

🔬 Application physique-chimie : Fraction massique, fraction volumique, rapport de grandeurs en chimie

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ représente $a$ parts d'un tout divisé en $b$ parts égales. C'est aussi un rapport, une division, et une façon de mesurer n'importe quelle proportion.

Quand $a > b$ , la fraction est supérieure à $1$ ( $\dfrac{7}{3} > 1$ ) : elle représente plus d'un entier. Deux fractions peuvent être égales avec des chiffres différents : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}$ , car $\dfrac{k \times a}{k \times b} = \dfrac{a}{b}$ .

Une part de gâteau, une remise de $\dfrac{1}{4}$ sur un prix, une échelle de carte : dès qu'on partage ou qu'on compare deux grandeurs, on écrit une fraction. Savoir la simplifier et la comparer, c'est pouvoir lire toutes ces situations avec les mêmes outils.

📖 Vocabulaire clé

Fraction : Écriture

\dfrac{a}{b}

où

a

est le numérateur et

b

le dénominateur (

b \neq 0

). Elle représente

a

parts sur

b

Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que

1

: on ne peut plus la simplifier.

Diviseur commun : Nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Par exemple

3

divise

6

9

: c'est un diviseur commun de

\dfrac{6}{9}

Fractions égales :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}

pour tout

k \neq 0

. Multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre ne change pas la valeur.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Simplifier : chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, diviser les deux par ce nombre, puis recommencer tant qu'on en trouve un. Exemple : $\dfrac{18}{24}$ — les deux sont pairs, on divise par $2$ : $\dfrac{9}{12}$ . Les deux sont dans la table de $3$ , on divise par $3$ : $\dfrac{3}{4}$ . Vérifie : $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun → irréductible ✓
2 Comparer : mettre les deux fractions au même dénominateur. Le plus simple est de multiplier les dénominateurs entre eux. Exemple : comparer $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$ → dénominateur commun $3 \times 5 = 15$ . On amplifie : $\dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{10}{15}$ et $\dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}$ . Comme $10 > 9$ , on conclut $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$ . Astuce rapide : $\dfrac{a}{b}$ vs $\dfrac{c}{d}$ → comparer $a \times d$ et $b \times c$ (produit en croix).
3 Convertir en décimal : poser la division du numérateur par le dénominateur. Exemple : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$ . Certaines divisions tombent juste et donnent une valeur exacte ; d'autres ne s'arrêtent jamais et se répètent indéfiniment : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ On arrondit alors au rang demandé.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Simplifier

\dfrac{42}{56}

et donner sa valeur décimale.

Démarche :

Les deux nombres sont pairs : on divise par $2$ . $\dfrac{42}{56} = \dfrac{21}{28}$ .
Les deux sont maintenant dans la table de $7$ : on divise par $7$ . $\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$ .
Vérification : $3$ et $4$ n'ont plus aucun diviseur commun → irréductible ✓
Valeur décimale : $3 \div 4 = 0{,}75$ .

Réponse :

\dfrac{42}{56} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

📐 Formules clés

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

(simplification par

k

)

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n}

(amplification par

n

)

\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a \times d < b \times c

(si

b, d > 0

)

🎨 Illustration

Équivalence de fractions

Trois façons de colorier la même moitié

Un disque, une bande de $6$ parts et une grille de $100$ cases : dans chaque cas, exactement la moitié est coloriée, donc $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}$ .

1 Le disque est coupé en $2$ parts égales, la bande en $6$ parts égales, la grille en $100$ cases égales : dans chaque figure, on colorie exactement la moitié de la surface.
2 On passe de $\dfrac{1}{2}$ à $\dfrac{3}{6}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $3$ , et de $\dfrac{1}{2}$ à $\dfrac{50}{100}$ en multipliant par $50$ : c'est la propriété $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n}$ .
3 Pour retrouver la forme la plus simple $\dfrac{1}{2}$ à partir de $\dfrac{50}{100}$ , on divise les deux termes par un même diviseur commun, ici $50$ .

Ce qu'il faut lire : Compte les parts coloriées et le nombre total de parts dans chaque figure : le rapport colorié/total reste toujours

1

sur

2

Trois représentations visuelles de la même fraction :

\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Erreur fréquente : simplifier $\dfrac{a + k}{b + k}$ en divisant par $k$ .

✅ La suggestion

IMPOSSIBLE ! On ne peut simplifier qu'en multipliant ou divisant numérateur ET dénominateur par un même facteur. $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ ✓ mais $\dfrac{6+3}{9+3} \neq \dfrac{2}{3}$ ✗.

💡 À retenir

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible quand $a$ et $b$ n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$ .
Pour simplifier, on divise numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que possible.
Pour comparer, on utilise le même dénominateur ou les produits en croix.
On ne simplifie JAMAIS par addition/soustraction, seulement par multiplication/division.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Fraction massique, fraction volumique, rapport de grandeurs en chimie

Mots-clés associés : NumérateurDénominateurSimplificationFraction irréductibleComparaison

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