Matières › 📐 Mathématiques › Collège › Fractions
½

Fractions

Nommer, simplifier, comparer

🔬 Application physique-chimie : La proportionnalité en cinquième : un tableau de proportionnalité n'est rien d'autre qu'une suite de fractions égales, et le coefficient joue le rôle du facteur d'amplification. Les pourcentages et les échelles de carte en découlent directement.
Quatre amis veulent se partager trois gâteaux identiques, sans rien jeter et sans que personne soit lésé. Chacun aura moins d'un gâteau entier, c'est certain — mais combien, exactement ?

Essaie de répondre avec les nombres que tu connais déjà : 00 est trop peu, 11 est trop. Aucun nombre entier ne convient. Le partage ne « tombe pas juste », et pourtant la part de chacun existe bel et bien : on peut la découper, la poser sur une assiette, la comparer à celle du voisin.

Il faut donc un nouveau type de nombre pour écrire ce résultat. Coupons chaque gâteau en quatre parts égales : cela fait 1212 parts, que l'on distribue une à une. Chacun repart avec trois parts sur les quatre d'un gâteau.

C'est exactement ce qu'écrit une fraction : 34\dfrac{3}{4} se lit « trois quarts », soit 33 parts d'un tout découpé en 44. Le nombre du bas dit en combien de parts on a coupé, celui du haut combien on en prend. Une seule écriture, et le partage impossible devient un résultat exact.

Ce petit outil sert bien au-delà des gâteaux : une remise de 14\dfrac{1}{4} sur un prix, une échelle de carte, la part d'un terrain. Dès que l'on partage ou que l'on compare deux grandeurs, la fraction est là.

📖 Vocabulaire clé

Fraction : Écriture ab\dfrac{a}{b} où aa est le numérateur et bb le dénominateur (b≠0b \neq 0). Elle représente aa parts sur bb.
Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 11 : on ne peut plus la simplifier.
Diviseur commun : Nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Par exemple 33 divise 66 et 99 : c'est un diviseur commun de 69\dfrac{6}{9}.
Fractions égales : ab=a×kb×k\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} pour tout k≠0k \neq 0. Multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre ne change pas la valeur.

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Simplifier : chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, diviser les deux par ce nombre, puis recommencer tant qu'on en trouve un.

    Exemple : 1824\dfrac{18}{24} — les deux sont pairs, on divise par 22 : 912\dfrac{9}{12}.

    Les deux sont dans la table de 33, on divise par 33 : 34\dfrac{3}{4}.

    Vérifie : 33 et 44 n'ont plus de diviseur commun → irréductible ✓
  2. 2 Comparer : mettre les deux fractions au même dénominateur. Le plus simple est de multiplier les dénominateurs entre eux.

    Exemple : comparer 23\dfrac{2}{3} et 35\dfrac{3}{5} → dénominateur commun 3×5=153 \times 5 = 15.

    On amplifie : 2×53×5=1015\dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{10}{15} et 3×35×3=915\dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}.

    Comme 10>910 > 9, on conclut 23>35\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}.
  3. 3 Convertir en décimal : poser la division du numérateur par le dénominateur. Exemple : 34=3÷4=0,75\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75. Certaines divisions tombent juste et donnent une valeur exacte ; d'autres ne s'arrêtent jamais et se répètent indéfiniment : 13=0,333…\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots On arrondit alors au rang demandé.
  4. 4 Prendre une fraction d'une quantité : partager d'abord en autant de parts égales que le dénominateur, puis prendre autant de parts que le numérateur.

    Exemple : 34\dfrac{3}{4} de 2828 billes → une part vaut 28÷4=728 \div 4 = 7 billes, et 33 parts valent 3×7=213 \times 7 = 21 billes.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Simplifier 4256\dfrac{42}{56} et donner sa valeur décimale.
Démarche :
  1. Les deux nombres sont pairs : on divise par 22. 4256=2128\dfrac{42}{56} = \dfrac{21}{28}.
  2. Les deux sont maintenant dans la table de 77 : on divise par 77. 2128=34\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}.
  3. Vérification : 33 et 44 n'ont plus aucun diviseur commun → irréductible ✓
  4. Valeur décimale : 3÷4=0,753 \div 4 = 0{,}75.
Réponse : 4256=34=0,75\dfrac{42}{56} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

📐 Formules clés

ab=a÷kb÷k\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k} (simplification par kk)
ab=a×nb×n\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n} (amplification par nn)
Pour comparer : même dénominateur, puis on compare les numérateurs

🎨 Illustrations

Équivalence de fractions
Trois façons de colorier la même moitié

Un disque, une bande de 66 parts et une grille de 100100 cases : dans chaque cas, exactement la moitié est coloriée, donc 12=36=50100\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}.

Equivalence de fractions 1/2, 3/6 et 50/100 Un disque coupe en 2 parts avec une moitie coloree, une bande coupee en 6 parts avec 3 parts colorees, et une grille de 100 cases avec 50 cases colorees : les trois figures representent la meme proportion. 1/2 = 3/6 = 50/100
  • 1 Le disque est coupé en 22 parts égales, la bande en 66 parts égales, la grille en 100100 cases égales : dans chaque figure, on colorie exactement la moitié de la surface.
  • 2 On passe de 12\dfrac{1}{2} à 36\dfrac{3}{6} en multipliant numérateur et dénominateur par 33, et de 12\dfrac{1}{2} à 50100\dfrac{50}{100} en multipliant par 5050 : c'est la propriété ab=a×nb×n\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n}.
  • 3 Pour retrouver la forme la plus simple 12\dfrac{1}{2} à partir de 50100\dfrac{50}{100}, on divise les deux termes par un même diviseur commun, ici 5050.
Ce qu'il faut lire : Compte les parts coloriées et le nombre total de parts dans chaque figure : le rapport colorié/total reste toujours 11 sur 22.
Trois représentations visuelles de la même fraction : 12=36=50100\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}.
Amplifier, simplifier
La même part, découpée trois fois plus fin

Amplifier une fraction ne change rien à la quantité : on découpe seulement les mêmes parts en morceaux plus petits, et on en compte donc davantage. C'est pourquoi 34=68=912\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}.

Trois barres identiques decoupees en 4, 8 puis 12 parts avec la meme portion coloree Trois barres rectangulaires de meme longueur sont empilees les unes sous les autres. La premiere barre est decoupee en 4 parts egales et 3 de ces parts sont colorees : elle represente trois quarts. La deuxieme barre est decoupee en 8 parts egales et 6 sont colorees : elle represente six huitiemes. La troisieme barre est decoupee en 12 parts egales et 9 sont colorees : elle represente neuf douziemes. Dans les trois cas la zone coloree se termine exactement a la meme abscisse, marquee par un trait vertical qui traverse les trois barres. La longueur coloree est donc identique partout : seul le nombre de traits de decoupe change. On lit ainsi que trois quarts, six huitiemes et neuf douziemes sont trois ecritures de la meme quantite. Trois découpes de la même barre, la part coloriée ne bouge pas 3/4 6/8 9/12 la frontière du colorié tombe au même endroit sur les trois barres
  • 1 De 34\dfrac{3}{4} à 68\dfrac{6}{8}, on coupe chaque part en deux : il y a deux fois plus de parts au total et deux fois plus de parts coloriées. On a multiplié les deux termes par 22.
  • 2 De 34\dfrac{3}{4} à 912\dfrac{9}{12}, on coupe chaque part en trois : c'est la même opération avec 33. En général, ab=a×nb×n\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n}.
  • 3 Lue à l'envers, la figure donne la simplification : en regroupant les parts de la dernière barre par 33, on revient à 34\dfrac{3}{4}, qui est la forme irréductible.
Ce qu'il faut lire : Ne compare pas les nombres écrits à gauche, compare les longueurs coloriées. Elles sont identiques : c'est le seul argument dont tu as besoin. Le numérateur et le dénominateur grandissent tous les deux, et c'est précisément parce qu'ils grandissent ensemble que la valeur ne change pas.
Amplification par 22 puis par 33 : 34=68=912\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}.
Comparer deux fractions
Mettre 23\dfrac{2}{3} et 35\dfrac{3}{5} au même dénominateur

On ne peut pas comparer des parts qui n'ont pas la même taille. Amplifier les deux fractions jusqu'à un dénominateur commun découpe les deux barres de la même façon : il ne reste plus qu'à compter.

Deux barres de meme longueur decoupees en quinziemes pour comparer 2/3 et 3/5 Deux barres rectangulaires de longueur totale identique sont posees l une au dessus de l autre. La barre du haut represente deux tiers : elle est decoupee en 3 grandes parts dont 2 sont colorees, et un decoupage plus fin en 15 parts montre que cela fait 10 quinziemes. La barre du bas represente trois cinquiemes : elle est decoupee en 5 grandes parts dont 3 sont colorees, et le meme decoupage en 15 parts montre que cela fait 9 quinziemes. Les deux zones colorees commencent au meme bord gauche. La zone coloree de la barre du haut depasse celle de la barre du bas de exactement une part sur quinze. On conclut que dix quinziemes est superieur a neuf quinziemes, donc que deux tiers est superieur a trois cinquiemes. Même longueur totale, même découpage : les parts deviennent comparables 2/3 10/15 3/5 9/15 une part de plus 10/15 > 9/15, donc 2/3 > 3/5
  • 1 Le dénominateur commun choisi est 1515, car 1515 est dans la table de 33 et dans celle de 55 : 3×5=153 \times 5 = 15.
  • 2 On amplifie chaque fraction pour l'y amener : 23=2×53×5=1015\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{10}{15} et 35=3×35×3=915\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}.
  • 3 Une fois les dénominateurs identiques, la comparaison se fait sur les seuls numérateurs : 10>910 > 9, donc 23>35\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}. L'écart visible vaut exactement 115\dfrac{1}{15}.
Ce qu'il faut lire : Les deux barres ont volontairement la même longueur totale : c'est ce qui autorise à comparer les longueurs coloriées. Si les barres avaient des tailles différentes, une plus grande zone coloriée ne prouverait plus rien — c'est l'erreur classique quand on compare des fractions de deux gâteaux de tailles différentes.
Comparaison de 23\dfrac{2}{3} et 35\dfrac{3}{5} ramenées à 1015\dfrac{10}{15} et 915\dfrac{9}{15}.
Fraction et division
La barre de fraction est un signe de division

Écrire 34\dfrac{3}{4}, c'est écrire 3÷43 \div 4 : partager trois unités entre quatre personnes. Chacune reçoit moins qu'une unité entière, et exactement 0,750{,}75.

Partage de trois galettes entre quatre personnes En haut, trois disques identiques representent trois galettes a partager. Chaque disque est coupe en quatre quarts par deux traits perpendiculaires, ce qui donne douze quarts au total. En bas, quatre parts sont dessinees cote a cote : ce sont les parts recues par les quatre personnes. Chaque part est un assemblage de trois quarts, dont les deux traits de coupe restent visibles ; elle n est pas une galette entamee, car ses trois quarts proviennent de trois galettes differentes. Chaque personne recoit trois quarts de galette, soit trois des douze quarts disponibles. On verifie que quatre fois trois quarts redonne bien les douze quarts de depart. Une derniere ligne rappelle que trois divise par quatre vaut 0,75, donc que chaque personne recoit exactement trois quarts d une galette, c est-a-dire moins qu une galette complete. 3 galettes à partager entre 4 personnes 12 quarts chacun reçoit 3 quarts : 3 ÷ 4 = 0,75
  • 1 Les 33 galettes coupées en quarts donnent 3×4=123 \times 4 = 12 quarts. Partagés entre 44 personnes, cela fait 12÷4=312 \div 4 = 3 quarts chacun, c'est-à-dire 34\dfrac{3}{4} de galette.
  • 2 La barre de fraction se lit donc comme une division : 34=3÷4=0,75\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75. Une fraction est un nombre, pas seulement un dessin de parts.
  • 3 Vérification par le sens inverse : 4×34=34 \times \dfrac{3}{4} = 3, on retrouve bien les trois galettes du départ.
Ce qu'il faut lire : Le numérateur dit combien on partage, le dénominateur dit entre combien. Quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, chacun reçoit moins qu'une unité entière et la fraction est donc inférieure à 11 : ici 0,75<10{,}75 < 1.
Partage de 33 unités entre 44 personnes : 34=3÷4=0,75\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Erreur fréquente : simplifier a+kb+k\dfrac{a + k}{b + k} en divisant par kk.

✅ La suggestion

IMPOSSIBLE ! On ne peut simplifier qu'en multipliant ou divisant numérateur ET dénominateur par un même facteur. 69=23\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} ✓ mais 6+39+3≠23\dfrac{6+3}{9+3} \neq \dfrac{2}{3} ✗.

💡 À retenir

  • Une fraction ab\dfrac{a}{b} est irréductible quand aa et bb n'ont plus aucun diviseur commun autre que 11.
  • Pour simplifier, on divise numérateur et dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que possible.
  • Pour comparer, on met les deux fractions au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
  • On ne simplifie JAMAIS par addition/soustraction, seulement par multiplication/division.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
La proportionnalité en cinquième : un tableau de proportionnalité n'est rien d'autre qu'une suite de fractions égales, et le coefficient joue le rôle du facteur d'amplification. Les pourcentages et les échelles de carte en découlent directement.

Mots-clés associés : NumérateurDénominateurSimplificationFraction irréductibleComparaison
1 / 49 → Volumes