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Transformée de Laplace

Définition, propriétés, résolution d'équations différentielles

🔬 Application physique-chimie : Automatique et asservissement : fonction de transfert, stabilité, réponse d'un circuit RC/RL

La transformée de Laplace convertit une équation différentielle (domaine temporel) en une équation algébrique (domaine de $p$ ), rendant la résolution beaucoup plus systématique.

La clé est la propriété de dérivation : $\mathcal{L}\{f'\}=pF(p)-f(0)$ — la condition initiale $f(0)$ apparaît explicitement, ce qui "encode" l'état de départ du système directement dans le calcul.

En automatique BTS, la transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert $H(p)=S(p)/E(p)$ d'un système (asservissement, régulateur PID, filtre actif) et d'analyser sa stabilité via les pôles (valeurs de $p$ qui annulent le dénominateur).

Le passage au domaine fréquentiel s'obtient en posant $p=j\omega$ : on retrouve alors la réponse en fréquence classique (diagramme de Bode).

Piège majeur : oublier le terme $-f(0)$ dans $\mathcal{L}\{f'\}=pF(p)-f(0)$ donne une solution incorrecte dès que les conditions initiales ne sont pas nulles.

📖 Vocabulaire clé

Transformée de Laplace $\mathcal{L}\{f\}$ : Opération qui convertit une fonction temporelle

f(t)

en une fonction

F(p) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}\,dt

dans le domaine de la variable complexe

p

. Les équations différentielles deviennent algébriques.

Fonction de transfert $H(p)$ : Rapport

H(p) = S(p)/E(p)

entre la sortie et l'entrée d'un système linéaire dans le domaine de Laplace. Elle caractérise complètement le comportement du système.

Pôles d'un système : Valeurs de

p

qui annulent le dénominateur de

H(p)

. Ils déterminent la stabilité : si tous les pôles ont une partie réelle négative, le système est stable.

Éléments simples : Décomposition d'une fraction rationnelle en somme de fractions plus simples, inversibles directement par le tableau des transformées. Ex. :

\frac{1}{(p+1)(p+3)} = \frac{A}{p+1} + \frac{B}{p+3}

📋 Résoudre une ED par Laplace

1 Transformation et équation algébrique : appliquer $\mathcal{L}\{f'\}=pF(p)-f(0)$ à l'équation différentielle.

Exemple : $y' + 5y = 10$ , $y(0) = 0$ → $pY(p) - 0 + 5Y(p) = 10/p$ → $(p+5)Y(p) = 10/p$ .
2 Résolution algébrique : isoler $F(p)$ dans l'équation obtenue.

Exemple : $Y(p) = \frac{10}{p(p+5)}$ .
3 Décomposition en éléments simples : $F(p)$ se réécrit comme une somme de fractions simples inversibles directement.

Exemple : $\frac{10}{p(p+5)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+5}$ . En $p=0$ : $A = 2$ . En $p=-5$ : $B = -2$ . Donc $Y(p) = \frac{2}{p} - \frac{2}{p+5}$ .
4 Transformation inverse : utiliser le tableau des transformées pour retrouver $f(t)$ .

Exemple : $y(t) = 2 - 2e^{-5t} = 2(1 - e^{-5t})$ pour $t \geq 0$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un circuit RC (

R = 1

kΩ,

C = 1

mF) est soumis à un échelon de tension

E = 5

V à

t = 0

(condensateur initialement déchargé :

u_C(0) = 0

). L'équation différentielle est

\tau u_C' + u_C = E

avec

\tau = RC = 1

s. Résoudre par Laplace.

Démarche :

Transformation : $\tau[pU_C(p) - u_C(0)] + U_C(p) = E/p$ . Avec $u_C(0) = 0$ : $(\tau p + 1)U_C(p) = E/p$ .
$U_C(p) = \frac{E}{p(\tau p + 1)} = \frac{5}{p(p + 1)}$ (car $\tau = 1$ ).
Éléments simples : $\frac{5}{p(p+1)} = \frac{5}{p} - \frac{5}{p+1}$ . (Vérification : $\frac{5(p+1) - 5p}{p(p+1)} = \frac{5}{p(p+1)}$ ✓)
Transformée inverse : $u_C(t) = 5 - 5e^{-t} = 5(1 - e^{-t/\tau})$ V.
Vérification : $u_C(0) = 0$ ✓, $u_C(+\infty) = 5$ V ✓, $u_C(\tau) = 5(1-e^{-1}) \approx 3{,}16$ V ( $63\%$ de la valeur finale).

Réponse :

u_C(t) = 5(1 - e^{-t})

V. Le condensateur se charge exponentiellement vers

5

V avec une constante de temps

\tau = 1

📐 Formules clés

\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{p}

\mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{p-a}

\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{p^{n+1}}

\mathcal{L}\{f'\}=pF(p)-f(0)

\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{p}{p^2+\omega^2}

\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}

🎨 Illustration

Réponse indicielle

Charge du condensateur dans un circuit RC (échelon de tension)

La tension $u_C(t)$ croît exponentiellement vers sa valeur finale de $5$ V, avec une constante de temps $\tau=1$ s : au bout d'une durée $\tau$ , elle a déjà atteint $63\%$ de cette valeur finale.

1 À $t=0$ , le condensateur est déchargé : $u_C(0)=0$ V.
2 Après une durée $\tau=RC=1$ s, la tension atteint $u_C(\tau)=5(1-e^{-1})\approx3{,}16$ V, soit $63\%$ de la valeur finale — c'est la définition même de la constante de temps.
3 Après environ $5\tau$ , la tension est quasiment confondue avec l'asymptote à $5$ V : le régime transitoire est terminé.

Ce qu'il faut lire : La courbe monte vite au début puis ralentit en s'approchant de l'asymptote horizontale à

5

V, qu'elle n'atteint jamais tout à fait.

Réponse indicielle

u_C(t)=5(1-e^{-t/\tau})

d'un circuit RC avec

\tau=RC=1

s — le point marqué correspond à

t=\tau

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

La transformée de Laplace est définie pour $t\ge0$ et suppose des conditions initiales à $t=0$ .

✅ La suggestion

Elle ne s'applique pas directement à des signaux définis sur $]-\infty;+\infty[$ .

💡 À retenir

La transformée de Laplace convertit une ED en équation algébrique : dériver ↔ multiplier par $p$ .
Ne JAMAIS oublier le terme $-f(0)$ dans $\mathcal{L}\{f'\} = pF(p) - f(0)$ : il encode les conditions initiales.
La décomposition en éléments simples est la clé de l'inversion : chaque fraction simple correspond à une fonction standard du tableau.
La fonction de transfert $H(p) = S(p)/E(p)$ caractérise un système ; ses pôles déterminent la stabilité (partie réelle < 0 = stable).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Automatique et asservissement : fonction de transfert, stabilité, réponse d'un circuit RC/RL

Mots-clés associés : LaplaceTransforméeÉquation différentielleFonction de transfertSystème

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